Induktive Statistik

p Wert

In diesem Beitrag erklären wir dir alles, was du zum Thema p Wert wissen solltest. Nachdem wir dir kurz aufzeigen, wofür du den p Wert benötigst und welche Aufgabe er erfüllt, führen wir dich schrittweise durch die Berechnung und zeigen dir so, wie du diese ganz einfach auch selbst durchführen kannst.

Wenn dir also Fragen wie „Was bedeutet ein kleiner p Wert?“ durch den Kopf gehen, dann bist du hier genau richtig. In unserem Video  erklären wir dir das Ganze außerdem visuell! 

Inhaltsübersicht

p Wert einfach erklärt 

Der p Wert ist ein wichtiger Teil des Hypothesentests. Seine Hauptaufgabe besteht darin, bei der Ablehnung der Nullhypothese zu helfen, was durch den Vergleich mit dem Signifikanzniveau geschieht. Fällt beim Vergleich mit dem Signifikanzniveau der p Wert kleiner aus, dann kannst du die Nullhypothese ablehnen und dafür die Alternativhypothese H_1 annehmen. Überschreitet der p Wert das Signifikanzniveau aber, musst du die Nullhypothese vorläufig beibehalten. Berechnen lässt sich der p Wert auf zwei wesentliche Arten: über die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung oder allgemein über die z-Transformation und die Normalverteilungstabelle.

p Wert berechnen 

An einem ausführlichen Rechenbeispiel erklären wir dir in diesem Abschnitt, wie du den p Wert per Hand berechnen kannst. Es gibt dabei unterschiedliche Herangehensweisen. In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du den p-Wert für binomialverteilte Variablen einmal mit niedriger Fallzahl über die Wahrscheinlichkeitsfunktion und einmal mit hoher Fallzahl über die Teststatistik berechnen kannst.

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Berechnungsarten des p Werts

p Wert Beispiel 

Dazu bedienen wir uns an einem Beispiel. An deutschen Universitäten brechen circa 28% der Studierenden ihr Studium vor dem Bachelor und daher ohne Abschluss ab. Die kleine Privatuniversität „Schmetterling“ will etwas gegen diese erschreckenden Zahlen unternehmen und startet ein Programm, das Studierenden mehrfach während des Semesters eine intensive individuelle Studienberatung garantiert und anbietet. Nach einer ersten Anlaufphase will die Universität die Abbruchquote unter der Annahme, dass nun weniger als 28% abbrechen, überprüfen.

Im Zuge der Untersuchung werden folgende Hypothesen aufgestellt:

H_1: Individuelle Studienberatung minimiert die Abbruchquote Studierender auf unter 28%

H_0: Die Anzahl der Studienabbrüche liegt bei 28%

Da die Privatuniversität „Schmetterling“ nur sehr wenige Studenten hat, kann nur eine kleine Stichprobe von 25 neu gestarteten Studenten betrachtet werden. Von diesen 25 Studenten haben nach Anlauf der Maßnahme „individuelle Studienberatung“ tatsächlich nur 4 Studenten wieder abgebrochen, was einer Quote von 16% entspricht und somit zuerst einmal klar unter dem flächendeckenden Wert von 28% liegt. Aber Vorsicht: ist dieser Wert wirklich der Maßnahme „individuelle Studienberatung“ geschuldet oder vielleicht nur durch Zufall zustande gekommen? Genau aus diesem Grund berechnen wir nun den p Wert, um festzustellen ob wir die H1 annehmen können oder wir wir die H0 vorerst beibehalten müssen.

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Beispiel p Wert

p Wert Wahrscheinlichkeitsfunktion 

Der p Wert lässt sich bei einer so kleinen Fallzahl über die Wahrscheinlichkeitsfunktion relativ einfach bestimmen. Zur Erinnerung hier die ausgeschriebene Wahrscheinlichkeitsfunktion:

f(k) = P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k

Über diese Funktion berechnen wir jetzt, wie wahrscheinlich es ist, dass nur 4 oder weniger (also 4, 3, 2, 1, oder 0) Studenten ihr Studium vorzeitig abbrechen. Diese Wahrscheinlichkeiten werden im Anschluss aufsummiert und wir erhalten den p Wert. Sollte dieser Wert dann das Signifikanzniveau \alpha = 0,05 unterschreiten, dann können wir die Nullhypothese ablehnen.

Zuerst berechnen wir also die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für alle Werte x \le 4.

\left( \begin{array}{c} 25 \\ 4 \end{array} \right)\cdot 0,28^4\cdot 0,72^2^1 = 0,0785

\left( \begin{array}{c} 25 \\ 3 \end{array} \right)\cdot 0,28^3\cdot 0,72^2^2 = 0,0367

\left( \begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array} \right)\cdot 0,28^2\cdot 0,72^2^3 = 0,0123

\left( \begin{array}{c} 25 \\ 1 \end{array} \right)\cdot 0,28^1\cdot 0,72^2^4 = 0,0026

\left( \begin{array}{c} 25 \\ 0 \end{array} \right)\cdot 0,28^0\cdot 0,72^2^5 = 0,0003

 

Jetzt rechnest du nur noch alle deine Ergebnisse zusammen für den endgültigen p Wert:

p = 0,0785 + 0,0367 + 0,0123 + 0,0026 + 0,0003 = 0,1304 = 13,04%

p Wert Signifikanz 

Beim Vergleich mit dem Signifikanzniveau wir nun schnell klar: der berechnete p Wert liegt bei 13,04% und damit deutlich über dem veranschlagten Signifikanzniveau von 5%.

p (0,1304) > \alpha (0,05)

Wir können die Nullhypothese daher vorerst nicht ablehnen, da wir nicht mit genügend Sicherheit sagen können, dass unser gemessenes Ergebnis durch die Maßnahme „individuelle Studienberatung“ anstatt durch Zufall zustande gekommen ist.

p Wert Teststatistik 

Der p Wert lässt sich allerdings noch auf andere Art und Weise berechnen; und zwar für größere Fallzahlen über die sogenannte Teststatistik oder Prüfgröße T. Dazu spannen wir unser Beispiel weiter und bleiben im gleichen Themenfeld.

Die große staatliche Universität „Elefant“ sieht großes Potenzial in der Idee der Privatuniversität „Schmetterling“ und führt ebenfalls die Maßnahme „individuelle Studienberatung“ ein, um so die Abbruchquote unter den Studierenden zu senken. Im ersten Jahr nach Einführung der Maßnahme haben von 1000 neuen Studierenden 245 abgebrochen, was einer Quote von 24,5% entspricht und auch wieder deutlich unter den üblichen 28% liegt. Es soll nun also wieder, diesmal jedoch mit einer höheren Fallzahl, geprüft werden, ob die Maßnahme für die Senkung ausschlaggebend war oder es doch der Zufall hätte sein können.

Die Hypothesen wurden leicht angepasst und lauten jetzt folgendermaßen:

H_1: Individuelle Studienberatung minimiert die Abbruchquote Studierender auf unter 28%

H_0: Individuelle Studienberatung minimiert die Abbruchquote Studierender nicht auf unter 28%

Für die Berechnung des p Wertes bei hohen Fallzahlen benötigt man zuerst einmal mehrere Randinformationen: den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobe. Diese lassen sich ganz einfach über folgende Formeln berechnen:

\bar{x} = n \cdot\ p     \bar{x} = 1000 \cdot 0,28 = 280

s = \sqrt{n\ \cdot p \cdot (1-p)}     s = \sqrt{1000 \cdot 0,28 \cdot 0,72} = 14,2

 

Die dadurch gewonnen Daten setzt man nun in die Formel ein, durch die man die Teststatistik berechnet und dann die Prüfgröße erhält. Zusätzlich braucht man für diese Formel noch den Wert für k. Er steht für die Anzahl der beobachteten Fälle und ist in diesem Beispiel daher 245.

Teststatistik \ T = \frac{x_i - \mu_0}{s}     Teststatistik \ T = \frac{245 - 280}{14,2} = -2,47

Nach Einsetzen aller Werte erhältst du für die Prüfgröße T der Teststatistik ein Ergebnis von -2,47.

p Wert Tabelle 

Doch was passiert jetzt mit dem Wert von -2,47? Was sagt dieser eigentlich aus? Mit der Berechnung der Teststatistik haben wir essenziell nichts anderes gemacht, als eine z-Transformation durchgeführt. Das ermöglicht es uns, diesen Wert nun in einer Tabelle für die Standardnormalverteilung nachzuschlagen und zu überprüfen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert auftritt, der gleich groß oder kleiner ist. Wir erinnern uns: diese Wahrscheinlichkeit muss unter dem Signifikanzniveau von \alpha = 0,05 liegen, damit die Nullhypothese abgelehnt werden kann.

Bei einem Wert von -2,47 musst du auf der vertikalen Spalte -2,4 auswählen und auf der horizontalen 0,07, um im Endeffekt die Wahrscheinlichkeit für -2,47 ablesen zu können. Diese ist 0,0068.

p (0,0068) < \alpha (0,05)

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p Wert in der Normalverteilungstabelle nachschlagen

p Wert Interpretation 

Da unser p Wert deutlich kleiner als unser Signifikanzniveau ausfällt, können wir die Nullhypothese ablehnen und die H_1 annehmen. Aus diesem Grund kann die staatliche Universität „Elefant“ nach Durchführung ihrer Untersuchung behaupten: die Maßnahme „individuelle Studienberatung“ minimiert die Abbruchquote Studierender auf unter 28%.

Wäre unser berechneter p Wert höher als \alpha = 0,05 ausgefallen, hätten wir die Nullhypothese wieder vorläufig beibehalten müssen. Wir hätten also nicht behaupten können, dass unsere Maßnahme erfolgreich war, sondern immer noch annehmen müssen, dass die Abbruchquote bei durchschnittlich 28% liegt.

 

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