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Schnittpunkt berechnen einfach erklärt

Der Schnittpunkt ist die Stelle im Koordinatensystem, an der sich zwei Funktionsgraphen schneiden.

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Was ist ein Schnittpunkt?

Wenn du die Graphen vor dir hast, kannst du den Schnittpunkt natürlich einfach ablesen – hier wäre er S(1|2). Aber was, wenn du den Schnittpunkt berechnen sollst?

Da die Funktionen f(x) und g(x) an ihrem Schnittpunkt gleich sein sollen, musst du sie gleich setzen.

    \begin{align*}f(x) &= g(x) \\2x &= x+1\end{align*}

Dann kannst du nach x auflösen, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.

    \begin{align*}2x &= x+1 \qquad |-x \\x &= \textcolor{magenta}{1}\end{align*}

Anschließend kannst du dein x in eine der beiden Funktionen einsetzen und kommst so zu dem y-Wert des Schnittpunktes.

f(1) = 2⋅1 = 2

Du siehst: du hast den Schnittpunkt S(1|2) jetzt auch rechnerisch bestimmen können!

Schnittpunktberechnung in 3 Schritten
  1. Setze beide Funktionen gleich.
  2. Löse nach x auf.
  3. Setze x in eine der beiden Funktionen ein, um y zu berechnen.

Eine ausführlichere Erklärung und viele anschauliche Beispiele zur Schnittpunktberechnung bei verschiedenen Funktionen siehst du jetzt.

Schnittpunkt berechnen – lineare Funktionen

Am einfachsten lassen sich die Schnittpunkte linearer Funktionen also von Geraden, bestimmen. Ein kurzes Beispiel dazu hast du ja schon gesehen.

Probiere die Vorgehensweise jetzt gleich mal selber an diesem Beispiel aus und bestimme den Schnittpunkt: 

f(x) = 2x-4      und    g(x) = -x+5

Dazu gehst du wie beschrieben vor:

  1. Zuerst setzt du die Funktionen gleich.

        \begin{align*}f(x) &= g(x) \\2x-4 &= -x+5\end{align*}

  2. Löse dann nach x auf .

        \begin{align*}2x-4 &= -x+5 \qquad | +x \\3x-4 &= 5 \qquad\qquad | +4 \\3x &= 9 \qquad\qquad | :3 \\ \x &= \textcolor{magenta}{3}\end{align*}

  3. Setze x in eine der beiden Funktionen ein. Dabei ist es egal, in welche der beiden Funktionen du x einsetzt, schließlich haben sie an der Stelle ja den gleichen Wert.

f(3) = 2⋅3-4 = 2

Das heißt: Der Schnittpunkt liegt bei S(3|2)! Das kannst du auch auf dem Bild sehen:

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Schnittpunkt linearer Funktionen

Schau dir jetzt noch ein Beispiel an. Hier sollst du den Schnittpunkt dieser Funktionen berechnen:

f(x) = -x+7        und     g(x) = -x+5

  1. Setze die Funktionen gleich.

        \[\]

        \begin{align*}f(x) &= g(x) \\-x+7 &= -x+5\end{align*}

  2. Löse nach x auf.

        \begin{align*}-x+7 &= -x+5 \qquad |+x \\\textcolor{red}{7} &\textcolor{red}{= 5}\end{align*}

Das ist offensichtlich falsch! Da du rechnerisch keinen Schnittpunkt bestimmen kannst, heißt das, dass es gar keinen Schnittpunkt gibt.

Das siehst du auch, wenn du dir die Graphen der Funktionen anschaust: Da die Geraden die selbe Steigung haben, schneiden sie sich nie. Stattdessen sind sie parallel.

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parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt
Merke

Einen Schnittpunkt gibt es nur, wenn die Steigung der Funktionsgleichungen  unterschiedlich ist:

  • z. B. f(x) = 2x + 1 und g(x) = 3x + 2.

Haben zwei Funktionen die gleiche Steigung, sind sie entweder echt parallel (keinSchnittpunkt):

  • z. B. f(x) = 2x + 2 und g(x) = 2x + 5 

oder identisch (unendlich viele Schnittpunkte):

  • z.B. f(x) = 3x – 4 und g(x) = 3x – 4

Wenn du also bei zwei linearen Funktionen die gleiche Steigung entdeckst, kannst du dir die Schnittpunktberechnung auch sparen!

Super, jetzt weißt du, wie man die Schnittpunkte linearer Funktionen bestimmt. Aber wie sieht die Schnittpunktberechnung bei quadratischen Funktionen aus?

Schnittpunkt berechnen – lineare und quadratische Funktion

Wenn du den Schnittpunkt einer linearen und quadratischen Funktion bestimmen möchtest, gehst du wie gewohnt vor. Nur die Auflösung nach x kann noch einen Schritt mehr erfordern.

Schau dir dazu direkt folgende Funktionsgleichungen an:

f(x) = x        und      g(x) = x2-4x+4

  1. Setze die Funktionen gleich.

        \begin{align*}f(x) &= g(x) \\x &= x^2-4x+4\end{align*}

  2.  Löse nach x auf. Da hier ein x2 und ein x dabei sind, kannst du die Gleichung nicht mehr so leicht durch Umformungen nach x auflösen. Stattdessen musst du hier die Mitternachtsformel verwenden. Dazu brauchst du die Form 0 = \textcolor{red}{a}x^2+\textcolor{blue}{b}x+\textcolor{teal}{c}.

        \[\]

        \begin{align*}x &= x^2-4x+4 \qquad |-x \\0 &= \textcolor{red}{1}x^2\textcolor{blue}{-5}x+\textcolor{teal}{4}\end{align*}

    Jetzt kannst die Mitternachtsformel anwenden:

        \[x_{1,2} = \frac{-\textcolor{blue}{b}\pm\sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4 \textcolor{red}{a} \textcolor{teal}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}} = \frac{- \textcolor{blue}{(-5)}\pm\sqrt{\textcolor{blue}{(-5)}^2-4\cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{teal}{4}}}{2\cdot \textcolor{red}{1}} =\frac{5\pm3}{2} \]

        \[\rightarrow x_1 = 1,\qquad x_2 = 4\]

    Du siehst, dass du hier zwei mögliche Lösungen für x hast! Das bedeutet, die Funktionen schneiden sich auch zwei mal.

        \[\]

  3. Setze deine zwei Ergebnisse für x in eine der beiden Funktionen ein. 

f(1) = 1           f(4) = 4

Das bedeutet: Deine zwei Schnittpunkte sind S1(1|1) und S2(4|4).

Genau das kannst du auch an den Graphen sehen:

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Schnittpunkt berechnen lineare und quadratische Funktion

Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen

Wie du die Schnittpunkte von einer linearen und einer quadratischen Funktion bestimmen kannst, weißt du jetzt. Die Schnittpunktberechnung von zwei quadratischen Funktionen stellt dann auch kein Problem mehr für dich dar!

Probier das doch gleich mal an diesen quadratischen Funktionen aus und berechne den Schnittpunkt:

f(x) = x2+1        und     g(x) = 2x2

  1. Setze die Funktionen gleich.

        \begin{align*}f(x) &= g(x) \\x^2+1 &= 2x^2\end{align*}

  2. Löse nach x auf. Da du hier kein x dabei hast, kannst diese Gleichung auch ohne Mitternachtsformel und nur mit Umformungen lösen.

        \[\]

        \begin{align*}x^2+1 &= 2x^2 \qquad |-x^2 \\1 &= x^2  \qquad | \sqrt{...} \\ \rightarrow x_1 &= \textcolor{magenta}{-1} \qquad x_2 = \textcolor{orange}{1}\end{align*}

     
  3. Setze die 2 Punkte in eine der beiden Funktionen ein. 

f(-1) = (-1)2+1 = 2            f(1) = 12+1 = 2

Laut der Schnittpunktberechnung hast du also Schnittpunkte bei S1(-1|2) und S2(1|2). Das kannst du auch am Graphen sehen:

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Schnittpunkt berechnen quadratische Funktion

Schnittpunkt berechnen Vektoren

Geraden kannst du auch im dreidimensionalen Raum mithilfe von Vektoren darstellen. Zwei Geraden werden dort so dargestellt:

    \[ f:\vec{x}=\vec{A} + \lambda \cdot \vec{u} \qquad \qquad g:\vec{x} = \vec{B} + \mu \cdot \vec{v}\]

Dabei sind \vec{A} und \vec{B}  Ortsvektoren und \vec{u} und \vec{v}  die Richtungsvektoren.

Für die Schnittpunktberechnung der Geraden f und g im dreidimensionalen Raum gehst du am besten so vor:

  1. Überprüfe, ob die Richtungsvektoren \vec{u} und \vec{v} Vielfache voneinander sind.

        \[\]

    Falls ja: Die Richtungsvektoren sind dann linear abhängig . Das bedeutet, die Vektoren zeigen in die gleiche Richtung. Die Geraden sind also entweder identisch oder echt parallel.

        \[\]

    Um das zu überprüfen, kannst du den Ortsvektor von g mit f gleichsetzen und prüfen, ob du \lambda eindeutig bestimmen kannst. Ist das der Fall, dann sind sie identisch.

        \[\]

    Falls nein: Die Geraden haben dann entweder einen Schnittpunkt oder keinen Schnittpunkt – solche Geraden nennt man dann windschief. Hier kannst du dann bei Schritt 2 weiter machen und versuchen, den Schnittpunkt zu berechnen.

        \[\]

  2. Setze die beiden Geradengleichungen gleich und löse das dazugehörige Gleichungssystem nach \lambda und \mu auf.

        \[\]

  3. Setze \lambda in die Geradengleichung f ein und bestimme so den Schnittpunkt.

Beispiel:

Du sollst den Schnittpunkt dieser Geraden in Vektordarstellung%heißt das Wort so?%done bestimmen:

    \[ \left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)\]

  1. Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren \vec{u} = \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) und \vec{v} = \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) Vielfache voneinander sind. Hier ist das nicht der Fall, denn du kannst keine Zahl finden, mit der du \vec{v} so multiplizieren kannst, dass du \vec{u} rausbekommst.

        \[\]

    Also sind die Geraden nicht parallel, sondern haben entweder einen Schnittpunkt oder sind windschief zueinander.

        \[\]

  2. Setze die beiden Geradengleichungen gleich

        \[ \left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)\]

    und löse dann das dazugehörige Gleichungssystem nach \lambda und \mu auf.

        \begin{align*}1 + 2\cdot \lambda &= 2 \\0 &= -1 + \mu \\  4\lambda &= 3-\mu\end{align*}

        \[\]

    Aus der ersten Zeile folgt direkt, dass \lambda = \frac{1}{2}. Aus der zweiten Zeile kannst du sofort ablesen, dass \mu = 1 gelten muss.

        \[\]

    Wenn du das in die dritte Zeile einsetzt, erhältst du 2 = 2. Das ist immer wahr!%lieber :"das ist immer wahr!"%done Also haben die Geraden einen Schnittpunkt und sind nicht windschief.

        \[\]

  3. Jetzt kannst du den Schnittpunkt ganz leicht berechnen, indem du \lambda in die Geradengleichung f einsetzt. \left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right).

Dein Schnittpunkt liegt also bei \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right).

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Schnittpunkt im dreidimensionalen Raum

Nullstellen berechnen

Super, jetzt weißt du, wie du bei verschiedenen Funktionsarten den Schnittpunkt berechnen kannst. Oft sind aber nicht nur Schnittpunkte, sondern auch Nullstellen von Funktionen gefragt. Wie du die berechnest, siehst du in unserem Video dazu.

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