Ausmultiplizieren und Ausklammern

Dein nächster Schritt

Ausmultiplizieren und Ausklammern einfach erklärt

Durch Ausmultiplizieren und Ausklammern kannst du in Mathe Klammern auflösen oder erzeugen. Im Video zeigen wir dir ausführlich, wie du dabei vorgehen musst.

Mit dem Ausmultiplizieren und Ausklammern kannst du deine Rechnungen vereinfachen.

Was ist ausmultiplizieren?

Sollst du eine Zahl mit einer Klammern multiplizieren, kannst du die Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen. Steht vor der Klammer beispielsweise ein Faktor 2, multiplizierst du ihn mit den einzelnen Summanden in der Klammer. Die Ergebnisse addierst du anschließend.

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Wie geht ausklammern?

Beim Ausklammern in Mathe machst du das Ausmultiplizieren rückgängig. Anstatt Klammern aufzulösen setzt du sie. Wenn zwei Summanden eines Terms den gleichen Faktor haben, kannst du ausklammern. Da hier sowohl 10x als auch 3x die Variable x enthalten, kannst du x ausklammern.

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Schauen wir uns an einigen Beispielen das Ausmultiplizieren und Ausklammern genauer an!

Ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren musst du Klammern mit dem Faktor davor multiplizieren. Dadurch kannst du die Klammer auflösen und den Term vereinfachen.

Beispiel: Zahl mal Klammer

Du kannst Klammern mit einer Zahl multiplizieren, indem du jeden Summanden in der Klammer mit der Zahl malnimmst. Die Ergebnisse addierst du anschließend.

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Multipliziere die einzelnen Summanden mit dem Faktor 5

5 ⋅ (3x + 1) = 5 ⋅ 3x + 5 ⋅ 1

Berechne das Ergebnis

5 ⋅ 3x + 5 ⋅ 1 = 15x + 5

Hinweis: Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht spielt dabei keine Rolle.

5 ⋅ (3x + 1) = (3x + 1) ⋅ 5

Beispiel: Terme ausmultiplizieren

Neben Zahlen kannst du Klammern auch mit ganzen Termen multiplizieren. Beim Terme ausmultiplizieren gehst du genauso vor wie im vorherigen Beispiel.

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Multipliziere die einzelnen Summanden in der Klammer mit dem Faktor 6x

6x ⋅ (2x + 1) = 6x ⋅ 2x + 6x ⋅ 1

Berechne das Ergebnis

6x ⋅ 2x + 6x ⋅ 1 = 12x² + 6x

Beispiel: Klammern ausmultiplizieren

Willst du mehrere Klammern miteinander multiplizieren musst du aufpassen, dass du keine Zahl übersiehst. Hier multiplizierst du alle Terme einmal miteinander.

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Multipliziere 2x mit den Summanden der zweiten Klammer

2x ⋅ x + 2x ⋅ (-3) = 2x² – 6x

Multipliziere 4 mit den Summanden der zweiten Klammer

4 ⋅ x + 4 ⋅ (-3) = 4x – 12

Addiere die Ergebnisse

2x² – 6x + 4x – 12 = 2x² – 2x – 12

Ausklammern

Durch Ausklammern kannst du in Mathe Terme vereinfachen. Dabei wandelst du eine Summe oder Differenz in ein Produkt um. Du machst also das Ausmultiplizieren rückgängig.

Beispiel: Zahl ausklammern

Du kannst eine Zahl ausklammern, wenn beide Summanden durch die Zahl teilbar sind. Schau dir dazu folgende Addition an

6 + 10x.

Suche eine Zahl, die in beiden Summanden vorkommt: 6 und 10 haben den gemeinsamen Teiler $\textcolor{blue}{2}$ . Daher kann die $\textcolor{blue}{2}$ ausgeklammert werden.

6 + 10x = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 ⋅ x

Klammer die Zahl $\textcolor{blue}{2}$ aus

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Beispiel: x ausklammern

Variablen kannst du genauso ausklammern wie Zahlen. Wenn in allen Summanden eines Terms ein x vorkommt, kannst du ganz einfach x ausklammern.

$7\textcolor{blue}{x} + 3\textcolor{blue}{x}$

Setze den Term in Klammern

$7\textcolor{blue}{x} + 3\textcolor{blue}{x}=(7\textcolor{blue}{x} + 3\textcolor{blue}{x})$

Ziehe die Variable x vor die Klammer

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Beispiel: Terme ausklammern

Anstatt Zahlen und Variablen einzeln auszuklammern, kannst du auch ganze Terme ausklammern.

9x + 12xy

Suche einen Term, der in beiden Summanden vorkommt: Beide Summanden 9x und 12xy enthalten ein x. Zusätzlich sind beide Zahlen 9 und 12 durch 3 teilbar. Du kannst daher den Term 3x ausklammern.

9x + 12xy = 3 ⋅ 3 ⋅ x = 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y

Berechne den Term in Klammern: Teile dazu die Summanden durch 3x.

9x : 3x = 3

12xy : 3x = 4y

Ziehe 3x vor die Klammer: Dabei schreibst du die Ergebnisse aus dem letzten Schritt als Summanden in die Klammer.

Zusammenfassung — Ausmultiplizieren und Ausklammern

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Ausmultiplizieren und Ausklammern — häufigste Fragen

Warum darf ich beim Ausmultiplizieren die Klammer danach weglassen?

Beim Ausmultiplizieren darfst du die Klammer weglassen, weil du die Multiplikation schon auf jeden Summanden verteilt hast. Danach ist keine Klammer-Rechnung mehr übrig. Konkret bedeutet das: $3(2x-5)=3\cdot2x+3\cdot(-5)=6x-15$ . Beide Terme sind gleichwertig.

Woher weiß ich in einer Aufgabe, ob ich ausmultiplizieren soll oder ob ich lieber ausklammern muss?

Ob du ausmultiplizierst oder ausklammerst, erkennst du am Ziel der Aufgabe. Du multiplizierst aus, wenn du Klammern entfernen und Terme zusammenfassen willst. Du klammerst aus, wenn du eine Summe als Produkt brauchst, zum Beispiel für Nullstellen mit $u\cdot v=0$ . Konkret bedeutet das: 2(x+3)+x=3x+6

, aber

Was passiert mit den Vorzeichen, wenn vor einer Klammer ein Minus steht und ich die Klammer auflösen will?

Wenn vor einer Klammer ein Minus steht, löst du die Klammer auf, indem du mit

multiplizierst. Deshalb wechseln alle Vorzeichen in der Klammer. Konkret bedeutet das: -(x-4)=(-1)(x-4)=-x+4

. Genauso gilt: a-(b+c)=a-b-c

Wie multipliziere ich zwei Klammern miteinander, ohne am Ende einen Term zu vergessen?

Zwei Klammern multiplizierst du ohne Fehler, indem du systematisch jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizierst und alles sofort aufschreibst. Danach fasst du zusammen. Konkret bedeutet das: $(x+2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+2\cdot x+2\cdot(-3)=x^2-x-6$ .

Wie finde ich beim Ausklammern den größten gemeinsamen Faktor, wenn Zahlen und Variablen zusammen in einem Term vorkommen?

Den größten gemeinsamen Faktor findest du in zwei Schritten. Zuerst bestimmst du den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen. Dann nimmst du nur Variablen, die in allen Summanden vorkommen, und davon jeweils die kleinste Potenz. Konkret bedeutet das: 12x^2y+8xy^3=4xy(3x+2y^2)

Faktorisieren

Super! Jetzt weißt du wie Ausmultiplizieren und Ausklammern funktioniert. Beim Ausklammern wandelst du in Mathe eine Summe oder Differenz in ein Produkt um. Das heißt du faktorisierst einen Term. In unserem extra Video dazu bekommst du weitere Beispiele und erfährst, welche Möglichkeiten es zur Faktorisierung gibt. Schau es dir gleich an!