Analysis Schüler
Integralrechnung
 – Video

Die e-Funktion ist eine Funktion, die sich besonders leicht ableiten lässt, aber wie funktioniert das e-Funktion Integrieren? Genau das zeigen wir dir hier und in unserem Video.

Exponentialfunktion integrieren einfach erklärt

Ein unbestimmtes Integral von ex ist leicht zu berechnen. Die Stammfunktion der e-Funktion ist nämlich gleich ex mit einer zusätzlichen Integrationskonstante C.

    \[ \int e^x \mathop{\mathrm{d}x} = e^x + C \]

Auch wenn du eine Exponentialfunktion mit Vorfaktor (hier 2) integrieren („aufleiten“) willst, ist die Stammfunktion wieder deine Ausgangsfunktion: 

    \[ \int \textcolor{red}{2}\cdot e^{x} \mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{2}\cdot \int  e^{x} \mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{2}\cdot e^{x} + C \]

Der Vorfaktor bleibt einfach beim Integral berechnen stehen. Zur Kontrolle kannst du die Exponentialfunktion ableiten. Die Ableitung deiner Stammfunktion muss gleich deiner ursprünglichen e-Funktion sein: \left(2e^x\right)'=2e^x.

Wenn deine Funktionen schwieriger sind, kannst du ihre Stammfunktionen bilden („aufleiten“), indem du die Integration durch Substitution oder die partielle Integration benutzt. Schaue dir an ein paar Beispielen an, wie du die Integrale berechnen kannst.

Partielle Integration

Wenn du ein Produkt integrieren willst, brauchst du die partielle Integration oder auch Produktintegration. Wie kannst du also die Stammfunktion bilden, wenn deine Exponentialfunktion f(x) = 2x · ex ist? Für die partielle Integration musst du zuerst deine Teilfunktionen u und v‘ aufschreiben: f(x) = u · v‘.

    \[ \textcolor{blue}{u = 2x} \qquad \textcolor{orange}{v' = e^x} \]

Danach rechnest du die Ableitung u‘ und die Stammfunktion von v aus.

    \[ \textcolor{teal}{u' = 2} \qquad \textcolor{red}{v =} \int \textcolor{orange}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{e^x} \]

Als Nächstes kannst du deine Teilfunktionen in die Formel der partiellen Integration einsetzen und deine Stammfunktion bilden.

    \begin{align*} F(x) &= \int f(x) \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \int \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{orange}{v'} \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{red}{v} - \int \textcolor{teal}{u'} \cdot \textcolor{red}{v} \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \int \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} \end{align*}

Jetzt hast du nicht mehr ein Produkt aus x und ex und kannst es wie die anderen Beispiele integrieren. Weil dein Vorfaktor 2 nicht von x abhängt, kannst du ihn aus der Integralfunktion ziehen und vor das Integral schreiben. Dann musst du nur von der Exponentialfunktion die Stammfunktion bilden.

    \begin{align*} F(x) &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \textcolor{teal}{2}  \underbrace{ \int \textcolor{red}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} }_{e^x + C} \\ &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \textcolor{teal}{2} e^x +C \end{align*}

Hier kannst du noch 2ex ausklammern und du hast dein unbestimmtes Integral gefunden. Eine e-Funktion integrieren ist gar nicht schwer, oder?

    \[ F(x) = \int f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = (x-1) \cdot 2e^x +C  \]

Integration durch Substitution

Beim e-Funktion integrieren brauchst du auch die Integration durch Substitution . Wenn Du eine kompliziertere Funktion wie f(x) = e0,25x-1 hast, ersetzt du als erstes deinen Exponenten 0,25x-1 durch eine neue Variable z. Das nennst du Substitution.

    \begin{gather*} \textcolor{red}{z} = 0,25x-1 \end{gather*}

    \[ F(x) = \int e^{0,25x-1}} \mathop{\mathrm{d}x} = \int e^{\textcolor{red}{z}} \mathop{\mathrm{d}x} \]

Durch die Substitution kannst du jetzt die Stammfunktion bilden. Dafür musst du zuerst dx durch einen Ausdruck mit dz ersetzen, indem du den Exponenten z deiner Exponentialfunktion ableitest. Das schreibst du als z'=\nicefrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}. Die Ableitung z‘ ist gleich 0,25.

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d} (0,25x-1)}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}}{\mathrm{d}x} &= 0,25 \end{align*}

Jetzt kommt der Trick: Du stellst deine Ableitung nach dx um und bekommst einen Ausdruck mit dz

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}}{\mathrm{d}x} &= 0,25 \\ \mathrm{d}\textcolor{red}{z} &= 0,25\mathop{\mathrm{d}x} \\ \mathrm{d}x&= 4\mathop{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}} \end{align*}

Als Nächstes musst du in deinem Integral nur noch dx durch 4dz ersetzen. Die 4 kannst du wieder aus der Integralfunktion ziehen und musst nur noch die reine e-Funktion integrieren.

    \begin{align*} F(x) &= \int e^{\textcolor{red}{z}} \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \int e^{\textcolor{red}{z}} \cdot 4\mathop{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}} \\ &= 4 \int e^{\textcolor{red}{z}} \mathop{\mathrm{d}\textcolor{red}{z}} \end{align*}

Das Integral deiner reinen e-Funktion ist die e-Funktion selbst. Deine Stammfunktion ist also:

    \[F(x) = 4 e^{\textcolor{red}{z}} + C .\]

Zuletzt fehlt noch die Resubstitution. Du ersetzt z wieder durch 0,25x-1. Mit der Resubstitution kannst du dann deine Stammfunktion berechnen:

    \[ F(x) = 4 e^{0,25x-1} + C .\]

Weitere Stammfunktionen

Schaue dir auch unser Video über Stammfunktionen an, wenn du herausfinden willst, wie du zum Beispiel Logarithmen, Brüche oder trigonometrische Funktionen integrierst. Bis gleich!

Zum Video: Stammfunktion
Zum Video: Stammfunktion

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