Ortskurve
Was ist eine Ortskurve und wie kannst du eine Ortskurve berechnen? Die Antworten auf deine Fragen bekommst du hier und in unserem Video !
Inhaltsübersicht
Ortskurve einfach erklärt
Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Gemeinsamkeit haben. Diese Gemeinsamkeit kann zum Beispiel sein, dass sie alle Extrempunkte , Scheitelpunkte oder Wendepunkte der Funktionsschar sind. Ortskurven kannst du auch Trägergraphen nennen.
In der Abbildung geht die Ortskurve durch alle Scheitelpunkte der Parabeln.
Du kannst die Funktion einer Ortskurve bestimmen. Wie das geht, zeigen wir dir jetzt an einem Beispiel!
Ortskurve berechnen Beispiel
Um die Ortskurve berechnen zu können, folgst du einfach unserer Schritt-für-Schritt-Anleitung. Schau sie dir direkt an einem Beispiel an:
Du willst die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionsschar fk(x) = x2 + 2kx + 3 bestimmen.
1. Bestimme die gesuchten Punkte in Abhängigkeit des Parameters k. In deiner Lösung soll die Variable k also noch vorkommen.
In diesem Fall interessierst du dich für die Scheitelpunkte. Wie du den Scheitelpunkt bestimmen kannst, erfährst du in diesem Video ! Die Scheitelpunkte der Funktionsschar haben allgemein die Koordinaten
S(– k | 3 – k2)
2. Schreibe zwei Gleichungen für x und y des Scheitelpunktes auf.
- Gleichung: x = – k
- Gleichung: y = 3 – k2
3. Löse eine der Gleichungen nach dem Parameter k auf.
Hier löst du die erste Gleichung nach k auf.
x = – k | · (- 1)
– x = k
k = – x
4. Setze deinen Wert für k in die andere Gleichung ein.
Hier setzt du k also in die zweite Gleichung ein.
y = 3 – k2
y = 3 – (– x)2
y = 3 – x2
Fertig! Deine Ortslinie hat die Gleichung y = 3 – x2!
Dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung für Ortskurven kannst du immer folgen. Schau dir direkt noch eine Aufgabe dazu an!
Ortskurve berechnen Aufgabe
Im nächsten Beispiel sollst du die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionsschar fk(x) = x2 + 2kx + 1 bestimmen.
1. Bestimme die gesuchten Punkte in Abhängigkeit des Parameters k. In deiner Lösung soll die Variable k also noch vorkommen.
In diesem Fall interessierst du dich für die Tiefpunkte der Funktion. Wie du die Extremstellen bestimmen kannst, erfährst du ausführlich in diesem Video !
Um die Tiefpunkte herauszufinden, leitest du die Funktion zweimal ab. Dabei behandelst du das k wie eine ganz normale Zahl.
fk(x) = x2 + 2kx + 1
f‘k(x) = 2x + 2k
f“k(x) = 2
Nun berechnest du die Nullstelle der ersten Ableitung.
f‘k(x) = 0
2x + 2k = 0 | – 2k
2x = -2k | : 2
x = – k
Weil die zweite Ableitung positiv ist (f“k(x) = 2), handelt es sich bei der Extremstelle um einen Tiefpunkt. Bestimme nun die y-Koordinate des Tiefpunkts, indem du x in die normale Funktion einsetzt.
fk(– k) = (- k)2 + 2k · (- k) + 1
fk(– k) = k2 – 2k2 + 1
fk(– k) = – k2 + 1
Der Tiefpunkt in Abhängigkeit vom Parameter k lautet T(– k | – k2 + 1).
2. Schreibe zwei Gleichungen für x und y des Tiefpunktes auf.
- Gleichung: x = – k
- Gleichung: y = – k2 + 1
3. Löse eine der Gleichungen nach dem Parameter k auf.
x = – k | · (- 1)
– x = k
k = – x
4. Setze deinen Wert für k in die andere Gleichung ein.
y = – (– x)2 + 1
y = – x2 + 1
Fertig! Die Gleichung deiner Ortslinie lautet y = – x2 + 1!
Die Funktion der Ortslinie bestimmst du, indem du die Koordinaten x und y in Abhängigkeit von dem Parameter k berechnest. Dann setzt du eine Koordinate in die Funktion der anderen Koordinate ein, um nach k aufzulösen.
Kurvendiskussion
Neben den Ortskurven kannst du noch viel mehr Eigenschaften einer Funktion berechnen. In der Kurvendiskussion machst du genau das! Wie eine Kurvendiskussion geht und worauf du achten musst, zeigen wir dir hier !
