Analysis Schüler
Summen
 – Video

In diesem Beitrag erklären wir dir, was ein Summenzeichen ist und wie du damit eine Summe berechnen kannst. Wenn du gerade weniger Zeit hast, schau dir unser Video dazu an.

Summenzeichen einfach erklärt

Das Summenzeichen hilft dir, eine Addition von vielen Zahlen in kurzer Schreibweise zu notieren. Es wird mit dem griechischen Buchstaben \Sigma (Sigma) dargestellt. Das Summenzeichen besteht aus verschiedenen Bausteinen.

Summe, Plus, Additon, Endwert, Startwert, Funktion, Variable
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Summenzeichen
  • Laufvariable = Laufindex: Variable, über die die Summe läuft.
  • Startwert = untere Grenze: kleinster Wert der Laufvariable.
  • Endwert = obere Grenze: größter Wert der Laufvariable.

Die Summe sprichst du dann wie folgt aus: Die Summe über a_k von \textcolor{blue}{k}=\textcolor{red}{1} bis \textcolor{red}{n}.

Summe berechnen

Du kannst eine Summe berechnen, indem du nacheinander alle Werte vom Startwert bis zum Endwert einsetzt. Das zeigen wir dir mit zwei Beispielen.

Beispiel 1 

Stell dir vor, du sollst diese Summe berechnen. 

\sum\limits_{k=1}^4 4 \cdot k

Wie gehst du vor?

  • 1. Startwert und Endwert finden: Die untere und obere Grenze der Summe findest du über und unter dem Summenzeichen.

\sum\limits_{k=\textcolor{red}{1}}^{\textcolor{red}{4}}} 4 \cdot k

  • 2. Funktionswerte berechnen: Rechne jetzt für k = 1 bis k = 4 die Funktion 4 \cdot k aus. Dafür setzt du für k die Zahlen von 1 bis 4 ein.
k = 1 k = 2 k = 3 k = 4
4 1 = 4 4 2 = 8 4 3 = 12 4 4 = 16
  • 3. Funktionswerte addieren: Um die Summe zu berechnen musst du nur noch die einzelnen Funktionswerte addieren.

\sum\limits_{k=\textcolor{red}{1}}^{\textcolor{red}{4}} 4 \cdot k =4 \cdot \textcolor{red}{1} + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot \textcolor{red}{4}

= 4 + 8 + 12 +16 = 40

Du sagst dann „Die Summe über 4 \cdot k von k = 1 bis k = 4 ist 40″.

Beispiel 2

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Stell dir vor, du sollst folgende Summe berechnen.

\sum\limits_{j=7}^9 j^2 

  • 1. Startwert und Endwert finden:

\sum\limits_{j=\textcolor{red}{7}}^\textcolor{red}{9}} j^2

  • 2. Funktionswerte berechnen: 
j = 7 j = 8 j = 9
72 = 49 82 = 64 92 = 81
  • 3. Funktionswerte addieren: 

\sum\limits_{j=\textcolor{red}{7}}^{\textcolor{red}{9}} j^2 = \textcolor{red}{7}^2 + 8^2 + \textcolor{red}{9}^2

= 49 + 64 + 81 = 194

Die Summe von 7 bis 9 über j^2 ist 194.

Summenzeichen Regeln

Wir erklären dir nun die Summenzeichen Rechenregeln und geben dir jeweils ein kurzes Beispiel.

Konstante Faktoren vorziehen

Du kannst konstante Faktoren mithilfe des Distributivgesetzes aus der Summe herausziehen.

\sum\limits_{k=1}^n \textcolor{red}{c} \cdot a_k = \textcolor{red}{c} \cdot \sum\limits_{k=1}^n a_k

Beispiel: Bei der folgenden Summe ist die 4 eine Konstante. Du kannst sie deshalb einfach vor das Summenzeichen ziehen.

\sum\limits_{k=1}^{4} \textcolor{red}{4} \cdot k = \textcolor{red}{4} \cdot \sum\limits_{k=1}^{4} k

Jetzt musst du nur noch die Summe berechnen.

\textcolor{red}{4} \cdot (1 + 2 + 3 +4) = \textcolor{red}{4} \cdot 10 = 40

Mehrere Summen addieren

Mit dem Assoziativgesetz kannst du das Summenzeichen auch vor jeden Summanden schreiben.

\sum\limits_{k=1}^n \textcolor{red}{a_k} + \textcolor{blue}{b_k} = \sum\limits_{k=1}^n \textcolor{red}{a_k} +\sum\limits_{k=1}^n \textcolor{blue}{b_k}

Beispiel: Nehmen wir als Beispiel folgende Summe an.

\sum\limits_{k=1}^5 \textcolor{red}{(k - 1)} + \textcolor{blue}{k^3} = \sum\limits_{k=1}^5 \textcolor{red}{(k - 1)} + \sum\limits_{k=1}^5 \textcolor{blue}{k^3}

Das gleiche gilt auch bei der Subtraktion, nur musst du dann ein Minus zwischen die beiden getrennten Summenzeichen schreiben und Klammern setzen.

Summe in Teilsummen aufteilen

Du kannst die Summe auch in verschiedene Teile aufspalten. Dazu beendest du eine Summe mit einem Wert, der kleiner ist als der Endwert. Danach machst du mit der nächstgrößeren Zahl als Startwert ein zweites Summenzeichen.

\sum\limits_{k=1}^n a_k = \sum\limits_{k=1}^{\textcolor{red}{m}} a_k + \sum\limits_{k=\textcolor{red}{m+1}}^n a_k           mit m < n 

Beispiel: Als konkreten Fall kannst du dir das so vorstellen.

\sum\limits_{k=1}^9 k^2 = \sum\limits_{k=1}^{\textcolor{red}{4}} k^2 + \sum\limits_{k=\textcolor{red}{4+1=5}}^9 k^2

Indexverschiebung

Bei der Indexverschiebung änderst du den Startwert und den Endwert um den gleichen Betrag m.

\sum\limits_{k=1}^n a_k = \sum\limits_{k=1+\textcolor{red}{m}}^{n +\textcolor{red}{m}} a_{k -\textcolor{red}{m}}

Beispiel: Nehmen wir mal an, du sollst die Grenzen eines Summenzeichens um 3 erhöhen.

\sum\limits_{k=1}^7 a_k = \sum\limits_{k=1+\textcolor{red}{3}=4}^{7+\textcolor{red}{3}=10} a_{k-\textcolor{red}{3}} 

Um den Startwert und Endwert eines Summenzeichens um 3 zu erhöhen, musst du den Funktionswert um den umgekehrten Betrag anpassen, also um 3 reduzieren. Deshalb ändert sich a_k zu a_{k-\textcolor{red}{3}}.

Häufige Fehler

Bei einer Multiplikation darfst du das Summenzeichen nicht vor jeden Faktor schreiben!

\sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot b_k   \textcolor{red}{\neq}   \sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot \sum\limits_{k=1}^n b_k

 Du darfst auch einen Exponenten nicht aus der Summe herausziehen!

\sum\limits_{k=1}^n {a_k}^2  \textcolor{red}{\neq}  \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k \right)^2

Besondere Summen

Es gibt ein paar besondere Fälle, die wir dir im Folgenden zeigen.

Konstante im Summenzeichen

Es kann auch vorkommen, dass die Funktion im Summanden nicht von der Laufvariable abhängt, sondern einfach eine Konstante ist. Dann kannst du das gesamte Summenzeichen auch einfach zu einem Produkt umwandeln.

\sum\limits_{k=m}^n \textcolor{red}{c} = (n - m + 1) \cdot \textcolor{red}{c}

Beispiel:      \sum\limits_{k=10}^{15} \textcolor{red}{4} = (15 - 10 + 1) \cdot \textcolor{red}{4} = 6 \cdot \textcolor{red}{4} = 24

Startwert gleich Endwert

Wenn der Startwert gleich dem Endwert ist, hast du nur einen einzigen Summanden, der gleichzeitig dein Ergebnis ist.

\sum\limits_{k=\textcolor{red}{n}}^{\textcolor{red}{n}} a_k = a_\textcolor{red}{n}

Beispiel:    \sum\limits_{k=\textcolor{red}{3}}^{\textcolor{red}{3}} k^2 = \textcolor{red}{3}^2 = 9

Gaußsche Summenformel

Mit der Gaußschen Summenformel kannst du zum Beispiel ganz leicht eine beliebig große Summe natürlicher Zahlen ausrechnen. Schau dir unser Video dazu an!

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Zum Video: Gaußsche Summenformel

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