In diesem Beitrag erklären wir dir, was ein Summenzeichen ist und wie du damit eine Summe berechnen kannst. Wenn du gerade weniger Zeit hast, schau dir unser Video dazu an.
Das Summenzeichen hilft dir, eine Addition von vielen Zahlen in kurzer Schreibweise zu notieren. Es wird mit dem griechischen Buchstaben ∑ (Sigma) dargestellt. Das Summenzeichen besteht aus verschiedenen Bausteinen.
Die Summe sprichst du dann wie folgt aus: Die Summe über von
bis
.
Das Summenzeichen (den griechischen Buchstaben ∑ ) verwendest du in der Mathematik als Abkürzung, also Symbol, für eine Summe. Anstatt x1 + x2 + x3 kannst du ∑ xk schreiben. Unter dem ∑ steht dann k = 1, darüber steht eine 3.
Stell dir vor, du sollst diese Summe berechnen.
Wie gehst du vor?
k = 1 | k = 2 | k = 3 | k = 4 |
4 ⋅ 1 = 4 | 4 ⋅ 2 = 8 | 4 ⋅ 3 = 12 | 4 ⋅ 4 = 16 |
Du sagst dann „Die Summe über von k = 1 bis k = 4 ist 40″.
Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Stell dir vor, du sollst folgende Summe berechnen.
j = 7 | j = 8 | j = 9 |
72 = 49 | 82 = 64 | 92 = 81 |
Die Summe von 7 bis 9 über ist 194.
Du kannst konstante Faktoren mithilfe des Distributivgesetzes aus der Summe herausziehen.
Beispiel: Bei der folgenden Summe ist die 4 eine Konstante. Du kannst sie deshalb einfach vor das Summenzeichen ziehen.
Jetzt musst du nur noch die Summe berechnen.
Mit dem Assoziativgesetz kannst du das Summenzeichen auch vor jeden Summanden schreiben.
Beispiel: Nehmen wir als Beispiel folgende Summe an.
Das gleiche gilt auch bei der Subtraktion, nur musst du dann ein Minus zwischen die beiden getrennten Summenzeichen schreiben und Klammern setzen.
Du kannst die Summe auch in verschiedene Teile aufspalten. Dazu beendest du eine Summe mit einem Wert, der kleiner ist als der Endwert. Danach machst du mit der nächstgrößeren Zahl als Startwert ein zweites Summenzeichen.
mit m < n
Beispiel: Als konkreten Fall kannst du dir das so vorstellen.
Bei der Indexverschiebung änderst du den Startwert und den Endwert um den gleichen Betrag m.
Beispiel: Nehmen wir mal an, du sollst die Grenzen eines Summenzeichens um 3 erhöhen.
Um den Startwert und Endwert eines Summenzeichens um 3 zu erhöhen, musst du den Funktionswert um den umgekehrten Betrag anpassen, also um 3 reduzieren. Deshalb ändert sich zu
.
Es gibt ein paar besondere Fälle, die wir dir im Folgenden zeigen.
Es kann auch vorkommen, dass die Funktion im Summanden nicht von der Laufvariable abhängt, sondern einfach eine Konstante ist. Dann kannst du das gesamte Summenzeichen auch einfach zu einem Produkt umwandeln.
Beispiel:
Wenn der Startwert gleich dem Endwert ist, hast du nur einen einzigen Summanden, der gleichzeitig dein Ergebnis ist.
Beispiel:
Mit der Gaußschen Summenformel kannst du zum Beispiel ganz leicht eine beliebig große Summe natürlicher Zahlen ausrechnen. Schau dir unser Video dazu an!
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