Analysis Schüler
Differentialrechnung
 – Video

Was ist die mittlere Änderungsrate und was hat es mit dem Differenzenquotienten auf sich? Die Antworten auf diese Fragen, bekommst du hier und in unserem Video !

Mittlere Änderungsrate einfach erklärt

Stell dir vor, du hast einen Graphen gegeben und kennst die Punkte A(a|f(a)) und B(b|f(b)). Verbindest du sie, bekommst du eine Gerade, die dir die durchschnittliche Steigung m zwischen den beiden Punkten zeigt. Diese Gerade nennst du Sekante und ihre Steigung m ist die sogenannte mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b].

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Graph mit Sekante

Du berechnest die Steigung m der Sekante mit dem sogenannten Differenzenquotient .

    \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Er beschreibt die Berechnung des Steigungsdreiecks , das du zeichnen kannst.

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Graph mit Sekante und Steigungsdreieck
Mittlere Änderungsrate Definition

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion. Du nennst sie auch durchschnittliche Änderungsrate, Sekantensteigung oder Durchschnittssteigung. Um sie zu berechnen, benutzt du den Differenzenquotienten.

Beispiel 1

Die durchschnittliche Änderungsrate hilft dir dabei, das durchschnittliche Wachstum oder die durchschnittliche Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitraum zu bestimmen.

Schau dir dazu ein Beispiel an, bei dem du die Änderungsrate berechnen sollst:

Das Wachstum eines Baumes wird durch die Funktion f(x) = \sqrt{2x} beschrieben. x gibt die Zeit in Wochen und f(x) die Höhe des Baumes in Meter an.

Wie viel wächst der Baum im Zeitraum [0;4] durchschnittlich pro Woche?

Du kennst die Grenzen deines Intervalls a = 0 und b = 4.

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Mittlere Änderungsrate

Setze deine Werte in die Formel für die mittlere Änderungsrate ein.

    \begin{align*} m&=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ &=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &=0,71\\ \end{align*}

Der Baum wächst in den ersten vier Wochen durchschnittlich 0,71 m pro Woche.

Beispiel 2

Schau dir an noch einem Beispiel an, wie du die durchschnittliche Steigung berechnen kannst.

Ein Kuchen kühlt nach seiner Backzeit ab. Der Abkühlvorgang wird durch die Funktion h(x) = 80e-0,15x + 15 dargestellt. Du sollst nun die durchschnittliche Temperaturveränderung in den ersten 11 Minuten berechnen.

Dein betrachtetes Intervall sind die ersten 11 Minuten, also [0;11].

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Mittlere Änderungsrate – negative Steigung

Diese Werte setzt du in den Differenzenquotienten ein (a = 0; b = 11).

    \begin{align*} m&=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}\\ &=\frac{h(11)-h(0)}{11-0}\\ &=\frac{80e^{-0,15\cdot 11}+15-95}{11}\\ &=- 5,9\\ \end{align*}

Die Steigung der Sekante beträgt -5,9. Das bedeutet, dass der Kuchen im Intervall [0,11] pro Minute um 5,9° Celsius abkühlt.

Was ist eine durchschnittliche Änderungsrate?

Die durchschnittliche Änderungsrate gibt dir an, wie sehr sich eine Funktion pro Einheit innerhalb eines Intervalls durchschnittlich ändert. Ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate ist die Steigung der Geraden zwischen den Funktionswerten am Anfangs- und am Endpunkt des Intervalls.

Mittlere Änderungsrate – Momentane Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung der Sekante. Du berechnest sie mithilfe des Differenzenquotienten. Verwechsle sie nicht mit der momentanen Änderungsrate!

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Graph mit Sekante

Die lokale/momentane Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate. Du nennst ihn Differentialquotient:

    \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]

Anschaulich bedeutet das: Der Punkt (x|f(x)) rückt immer näher an den Punkt (x0|f(x0)) heran. Aus der Sekante wird eine Tangente (Gerade, die den Graphen an einer Stelle berührt). Die lokale Änderungsrate ist die Steigung dieser Tangente.

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Tangente aus Sekante
Momentane Änderungsrate – kurz & knapp

Die momentane/lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung der Tangente, also die Ableitung der Funktion. Du berechnest sie mit dem Differentialquotienten.

Schau dir an einem Beispiel den Unterschied zwischen der momentanen und der mittleren Wachstumsrate an:

Beispiel 3

Die Funktion f(x) = 5x2 beschreibt die Anzahl von Keimen bei einem Versuch. x gibt dabei die Zeit in Minuten an. Du kennst die Werte f(3) = 45 und f(9) = 405. 

f(3) = 45 bedeutet, dass es in der dritten Minute 45 Keime gibt.
f(9) = 405 bedeutet, dass es in der neunten Minute 405 Keime gibt.

Berechne als erstes die mittlere Änderungsrate im Intervall [3,9]. Sie gibt an, um welche Anzahl sich die Keime im betrachteten Zeitraum pro Minute vermehren.

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Graph mit Sekante

Um die mittlere Änderungsrate berechnen zu können, setzt du die Grenzen des Intervalls in den Differenzenquotienten ein.

    \begin{align*} m&=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ &=\frac{f(405)-f(45)}{9-3}\\ &=60\\ \end{align*}

Im Zeitraum [3,9] werden es durchschnittlich 60 Keime pro Minute mehr.

Nun sollst du die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x0=3 berechnen. Sie gibt an, um wie viel die Anzahl der Keime in Minute 3 wächst oder schrumpft.

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Graph mit Tangente

Dazu verwendest du die Formel für den Differentialquotienten.

    \begin{align*} f^\prime\left(x_0\right)&=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\\ f^\prime\left(3\right)&=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}}\\ \end{align*}

Wenn du wissen willst, wie genau du die momentane Änderungsrate berechnen kannst, schau dir unseren Beitrag dazu an.

Als Ergebnis erhältst du f'(3) = 30. Bei Sekunde 3 nimmt die Anzahl der Keime pro Minute also um 30 zu.

Fazit: In diesem Beispiel siehst du, dass die mittlere Änderungsrate das durchschnittliche Wachstum in einem bestimmten Zeitintervall beschreibt. Die momentane Änderungsrate gibt hingegen an, um wieviel die Anzahl der Keime zu einem bestimmten Zeitpunkt wächst.

Momentane Änderungsrate

Du willst dir die momentane Änderungsrate genauer anschauen? In unserem Beitrag und Video dazu findest du noch einige Rechenbeispiele mit ausführlicher Erklärung. 

Zum Video: Momentane Änderungsrate
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