Du möchtest wissen, wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst? Dann bist du hier genau richtig! Auch in unserem Video zeigen wir dir viele Beispiele zum Monotonie berechnen.
Mit dem Monotonieverhalten bestimmst du die Bereiche, in denen der Graph einer Funktion steigt oder fällt. Du kannst die Monotonie berechnen, indem du dir die 1. Ableitung anschaust:
Für den Fall, dass eine Funktion steigt/fällt, zwischendrin aber kurz zum Stillstand kommt, kannst du das Monotonieverhalten einer Funktion f auch noch genauer definieren:
Aber wie kannst du die Monotonie berechnen?
Eine Möglichkeit, das Monotonieverhalten einer Funktion zu berechnen, sieht so aus:
Schau dir das gleich mal an einem Beispiel an. Du sollst das Monotonieverhalten folgender Funktion bestimmen:
f(x) = 2x3-3x2
Dazu gehst du wie beschrieben vor:
Dein Ergebnis kannst du überprüfen, indem du den Graphen aufzeichnest:
Wichtig: Du musst immer darauf achten, dass es sich bei den Nullstellen von f'(x) auch wirklich um Extremstellen handelt. Handelt es sich nämlich nur um einen Sattelpunkt — also wenn f“(x) an dieser Stelle auch gleich 0 ist –, ändert sich das Monotonieverhalten nicht!
Du findest das Berechnen der Ableitungen lästig? Dann ist die Monotonie Tabelle die passendere Methode für dich, die Monotonie zu berechnen! Denn hier benötigst du nur die 1. Ableitung.
Dafür gehst du wie folgt vor:
Schau dir das wieder direkt an einem Beispiel an. Du sollst das Monotonieverhalten folgender Funktion bestimmen:
f(x) = 2x3-6x
Dazu gehst du am besten wie in der Schritt-für-Schritt Anleitung beschrieben vor.
Intervall | ]-∞, -1[ | -1 | ]-1, 1[ | 1 | ]1, ∞[ |
f'(x) | ? | 0 | ? | 0 | ? |
Intervall | ]-![]() |
-1 | ]-1, 1[ | 1 | ]1, ![]() |
f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
Super, jetzt hast du das Monotonieverhalten der Funktion berechnet! Am Graphen kannst du deine Ergebnisse überprüfen:
Diese Methode zum Monotonie Berechnen ist besonders dann nützlich, wenn es sehr zeitintensiv wäre, die 2. Ableitung zu bestimmen. Das ist häufig bei gebrochen rationalen Funktionen der Fall.
Gebrochen rationale Funktionen sind Brüche, bei denen im Zähler (oben) und im Nenner (unten) ein x vorkommt. Ein Beispiel dafür ist
Prinzipiell kannst du beim Monotonie berechnen vorgehen wie immer. Aber Achtung: Du musst auch die Polstellen in die Vorzeichentabelle mit einbeziehen, denn auch dort kann sich das Vorzeichen ändern!
Intervall | ]-![]() |
-2 | ]-2, 0[ | 0 | ]0, ![]() |
f'(x) | 0 | undefiniert |
Intervall | ]-![]() |
-2 | ]-2, 0[ | 0 | ]0, ![]() |
f'(x) | – | 0 | + | 0 | – |
Genau dieses Monotonieverhalten kannst du auch sehen, wenn du den Graphen aufzeichnest:
Das Monotonieverhalten kannst du alternativ auch so definieren:
Beispiel: f(x) = 2x+3
Hier kannst du z. B. x1 = 2 und x2 = 3 wählen, da 2 < 3. Setzt du sie in f(x) ein, erhältst du f(2) = 2⋅2+3 = 7 und f(3) = 2⋅3 +3 = 9. Es gilt f(2) < f(3). Da das für alle Werte der Fall ist, bei denen x1 < x2 gilt, ist die Funktion streng monoton steigend.
Super, jetzt weißt du, wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen und ihre Monotonie berechnen kannst! Das Monotonieverhalten ist ein Teil der Kurvendiskussion, bei der du das Aussehen eines Graphen untersuchst. Weitere wichtige Begriffe der Kurvendiskussion sind:
Du möchtest alles wichtige zur Kurvendiskussion auf einen Blick sehen? Dann schau dir einfach unser Video dazu an!
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