Graphisches Ableiten

Graphisches Ableiten einfach erklärt

Beim graphischen Ableiten hast du den Graphen einer Funktion gegeben und willst daraus den Graphen der Ableitung bestimmen. Dazu betrachtest du deinen gegebenen Graphen G_f der Funktion f. 

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Um ihn graphisch abzuleiten, schaust du dir jetzt besondere Punkte des Funktionsgraphen an. Die sind nämlich auch spezielle Punkte auf dem Ableitungsgraphen. Mithilfe der so gefundenen Punkte kannst du den dann skizzieren.

Für den Ableitungsgraph A_f von f‘ untersuchst du die folgenden Punkte:

• Extrempunkte von G_f werden zu Schnittpunkten von A_f mit der x-Achse.
• Wendepunkte von G_f werden zu Extrempunkten von A_f.
• Überall, wo die Steigung von G_f positiv ist, verläuft A_f oberhalb der x-Achse.
• Überall, wo die Steigung von G_f negativ ist, verläuft A_f unterhalb der x-Achse.

Graphisch Ableiten Schritt für Schritt

Schaue dir den Beispielgraphen G_f der Funktion f(x) = 2x⁵+2x²  einmal an.

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Überlege Schritt für Schritt, wie du die Ableitungsfunktion A_f zeichnen kannst.

Schritt 1: Extrempunkte 

Markiere zuerst die Extrempunkte des Graphen.

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Wie du siehst, hat die Funktion f(x) hier einen Hochpunkt (A) und einen Tiefpunkt (C).

Schritt 2: Wendestellen 

Notiere dir jetzt die Wendestellen des Graphen G_f. 

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In unserem Beispiel hat der Graph genau eine Wendestelle (B) zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt.

Schritt 3: Verlauf 

Jetzt schauen wir uns den Verlauf des Ursprungsgraphen zwischen seinen Extrempunkten an. Solange der Graph steigt, muss der Ableitungsgraph oberhalb der x-Achse verlaufen. Wenn der Graph fällt, dann verläuft der Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse.

Schritt 4: Skizzieren 

Am Ende nimmst du all deine Informationen zusammen und kannst den Graphen der Ableitung skizzieren.

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Du beginnst mit den Nullstellen des Ableitungsgraphen an den Punkten A und C. Dann markierst du einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse an der Wendestelle B. Am Ende zeichnest du den Graphen. Er kommt von oben aus dem Bild, schneidet den Punkt A, verläuft danach in einer Kurve und nimmt die Extremstelle B mit. Ab da verläuft er weiter hoch, schneidet C und läuft nach oben weg.

Graphisches Ableiten Beispielaufgabe

Wenn du Aufgaben zum Thema „graphisch differenzieren“ lösen sollst, musst du nicht immer einen Ableitungsgraphen für eine Funktion skizzieren. Manchmal kann es auch vorkommen, dass du einen Funktionsgraphen gegeben bekommst und jetzt sagen musst, ob Aussagen zu dem Graphen richtig oder falsch sind.

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Sind die folgenden Aussagen über den dargestellten Graphen f wahr, falsch oder kannst du keine Aussage treffen:

1. Der Graph von f hat bei x = 0 einen Hochpunkt.
   → Lösung: wahr, der Graph hört hier auf zu steigen und beginnt zu fallen.
2. Der Graph von f hat bei x = 0 eine Nullstelle.
   → Lösung: wahr, der Graph berührt hier die x-Achse.
3. f hat bei x = 0,5 eine Steigung von -2.
   → Lösung: keine Aussage machbar, da du die Steigung nicht genau ablesen kannst.
4. Der Graph der Ableitung f‘ hat bei x = 0 eine Nullstelle.
   → Lösung: wahr, da ein Extrempunkt von f gleichzeitig eine Nullstelle von f‘ ist.
5. Die Ableitung von f hat insgesamt zwei Nullstellen.
   → Lösung: falsch, f hat nämlich drei Extrempunkte und f‘ damit drei Nullstellen.
6. Die Ableitung von f hat insgesamt zwei Extremstellen.
   → Lösung: wahr, denn f hat zwei Wendestellen.
7. Der Graph der Ableitung beginnt über der x-Achse und endet auch darüber.
   → Lösung: falsch, die Steigung fällt zu Beginn des Graphen ab und steigt am Ende. Die Ableitung beginnt also unterhalb der x-Achse und endet darüber.

Um die Aussagen beantworten zu können, musst du dir den Graphen ganz genau anschauen, analysieren und du solltest auch den Ableitungsgraphen zeichnen. Verwende dazu einfach die Schritt-für-Schritt-Anleitung.

Graphisches Ableiten — häufigste Fragen

• Wie leite ich graphisch ab?
  Um einen Funktionsgraphen graphisch abzuleiten, untersuchst du wichtige Eigenschaften des Graphen, wie die Extrempunkte, Wendestellen und das Steigungsverhalten. Daraus kannst du den Ableitungsgraphen skizzieren.
   
• Was zeigt der Graph der ersten Ableitung?
  Mit der ersten Ableitung beschreibst du die Änderungsrate (Tangentensteigung) der Stammfunktion an einer bestimmten Stelle. Dadurch kannst du auch bestimmte Eigenschaften der Funktion erkennen, z. B. ob sie steigt oder fällt.
   
• Wie viele Ableitungen gibt es?
  Generell kann es unendlich viele Ableitungen geben. Bei ganzrationalen Funktionen wird die Ableitung allerdings jedes Mal um einen Potenzgrad kleiner, bis sie nur noch 0 ist. Manche Funktionen kannst du aber auch unendlich oft differenzieren.

Ableitungen Übungen

Du willst das graphische Ableiten weiter üben? Dann versuche dich doch an den Ableitungen Übungen hier und zeichne die Graphen vorher auf.