Analysis Schüler
Krümmungsverhalten
 – Video

Wie kannst du das Krümmungsverhalten einer Funktion berechnen? Beschreibt sie eine Linkskurve oder eine Rechtskurve? Alles, was du über die Krümmung einer Funktion wissen musst, erfährst du hier im Beitrag und im zugehörigen Video .

Krümmungsverhalten — das Wichtigste auf einen Blick

Die Krümmung einer Funktion f kannst du an ihrer zweiten Ableitung f“ ablesen: 

  • f“(x) < 0 → f rechtsgekrümmt (konkav) an der Stelle x 
  • f“(x) > 0 → f linksgekrümmt (konvex) an der Stelle x 
  • f“(x) = 0keine Krümmung an der Stelle x
Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
direkt ins Video springen
Rechtskurve und Linkskurve

Krümmung berechnen

Um das Krümmungsverhalten einer Funktion f herauszufinden, musst du also zunächst ihre zweite Ableitung f“ berechnen. Dabei gibt es drei Möglichkeiten, wie sie aussehen kann:

  • f“(x) ist eine negative Zahl (z. B. f“(x) = – 2) → f ist überall rechtsgekrümmt.
  • f“(x) ist eine positive Zahl (z. B. f“(x) = 6) → f ist überall linksgekrümmt.
  • f“(x) enthält noch ein x Es kann sein, dass f sein Krümmungsverhalten an den Nullstellen von f“(x) ändert.

Schau dir nun genauer an, wie du in den einzelnen Fällen die Krümmung berechnest.

Krümmungsverhalten berechnen — rechtsgekrümmt

Du hast zum Beispiel die Funktion f(x) = – xgegeben und sollst ihr Krümmungsverhalten berechnen. Dazu bestimmst du zunächst die zweite Ableitung f“(x)

  • f(x) = – x2
  • f'(x) = – 2x
  • f“(x) = – 2 < 0

f“(x) ist also für jedes x negativ. Damit ist der Graph von f(x) = – xüberall rechtsgekrümmt

Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
direkt ins Video springen
Rechtsgekrümmte Funktion

Krümmungsverhalten berechnen — Linksgekrümmt

Betrachte nun die Funktion f(x) = 3x

  • f(x) = 3x2
  • f'(x) = 6x
  • f“(x) = 6 > 0

f“(x) ist dieses Mal immer eine positive Zahl. Daher ist der zugehörige Graph eine einzige Linkskurve.

Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
direkt ins Video springen
Linksgekrümmte Funktion
Merkhilfen — Linkskurve und Rechtskurve
  • Stell dir vor, der Funktionsgraph ist ein Weg auf dem du mit dem Fahrrad fährst. In welche Richtung musst du lenken?
    • Nach rechts → Rechtsgekrümmte Funktion
    • Nach linksLinksgekrümmte Funktion
  • Du kannst dich auch an den Buchstaben in den Wörtern orientieren:
    • f“(x) negativrechtskrümmt
    • f“(x) positivlinkskrümmt
  • Die Fachbegriffe konkav und konvex kannst du dir zum Beispiel mit folgenden Sprüchen merken: 
    • Konkav ist der Buckel vom Schaf.“
    • Konvex ist der Kochtopf von der Hex.“

Krümmung berechnen — Linkskurve und Rechtskurve

Was passiert aber, wenn in der zweiten Ableitung noch ein x auftaucht? Am Beispiel der Funktion f(x) = x3 + 3xzeigen wir dir, wie du in so einem Fall vorgehst.

Um die Krümmung zu berechnen, musst du auch hier zuerst die zweite Ableitung bilden:

  • f(x) = x3 + 3x2
  • f'(x) = 3x2 + 6x
  • f“(x) = 6x + 6

Das Krümmungsverhalten ist jetzt nicht an jeder Stelle x dasselbe. Du musst dich also fragen: 

Für welche x ist f“(x) = 6x + 6 kleiner als 0? Dazu löst du die Ungleichung  6x + 6 < 0.

      6x + 6 < 0
⇔ 6x < -6
⇔ x < -1

Für alle x < -1 ist also f“(x) < 0. Damit ist f rechtsgekrümmt (konkav) für alle x, die kleiner als -1 sind.

Um die Stellen zu finden, wo die Funktion eine Linkskurve macht, löst du die umgekehrte Ungleichung

      6x + 6 > 0
⇔ 6x > -6
⇔ x > -1

Das bedeutet: f ist linksgekrümmt (konvex) für alle x, die größer als -1 sind.

Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
direkt ins Video springen
Krümmungsverhalten ändert sich

Zwischen der Rechts– und der Linkskurve gibt es eine Stelle x, wo die Funktion keine Krümmung hat. Dort gilt f“(x) = 0. (Hier: f(-1) = 0). Solche Punkte, wo die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, nennst du Wendepunkte. Eine Funktion kann auch mehrere Wendepunkte haben und damit mehrmals ihre Krümmung wechseln

Achtung: Bei der Funktion f(x) = x4 kommt in der zweiten Ableitung f“(x) = 12x2 auch ein x vor. An der Stelle x = 0 ist f“(x) = 0. Davor und danach ist f“(x) aber immer positiv (denn x2 ist nie negativ). Der Funktionsgraph von f(x) = xist also eine einzige Linkskurve und ändert sein Krümmungsverhalten nicht!

Wendepunkt berechnen

Klasse! Wenn in Mathe die Begriffe konvex und konkav auftauchen, weißt du nun Bescheid. Das Krümmungsverhalten einer Funktion zu berechnen ist jetzt kein Problem mehr für dich! Aber was genau hat es mit diesen Wendepunkten auf sich? Mehr dazu erfährst du in unserem Video !

Zum Video: Wendepunkt berechnen
Zum Video: Wendepunkt berechnen

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.