Analysis Schüler
Kurvendiskussion
 – Video

Kurvendiskussionen können am Anfang sehr unübersichtlich sein, aber keine Bange! Hier rechnen wir mit dir eine vollständige Kurvendiskussion-Aufgabe mit der Funktion f(x) = (x-2)\cdot e^x aus. Schau dir auch unser passendes Video an!

Kurvendiskussion einfach erklärt

Wenn du eine e-Funktion wie zum Beispiel f(x) = (x-2)\cdot e^x diskutieren willst, befolgst du am Besten folgende Schritte:

  1. Definitionsbereich bestimmen (Definitionslücken)
  2. y-Achsenabschnitt berechnen
  3. x-Achsenabschnitte berechnen (Nullstellen)
  4. Verhalten im Unendlichen (Grenzverhalten/ Limes)
  5. Symmetrieverhalten bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)
  6. Extrempunkte berechnen (Hochpunkte und Tiefpunkte)
  7. Monotonieverhalten bestimmen (Steigungsverhalten)
  8. Wendepunkte berechnen (Links-Rechts- und Rechts-Links-Punkte)
  9. Krümmungsverhalten bestimmen (Zweite Ableitung)
  10. Wertebereich bestimmen (Wertemenge)
  11. Funktionsgraph zeichnen
Ableitung

In der Aufgabe brauchst du die erste, zweite und dritte Ableitung . Es lohnt sich, die Funktion vorher abzuleiten. Dafür brauchst du bei Exponentialfunktionen

1. Ableitung

Die Beispielfunktion f(x)= (x-2)\cdot e^x leitest du mit der Produktregel ab. Rechne dir dafür zuerst die Ableitungen der einzelnen Terme in deiner Funktion aus. Vergiss nicht, dass die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ist.

    \[ (\textcolor{red}{x-2})' = \textcolor{orange}{1} \qquad (\textcolor{blue}{e^x})' = \textcolor{teal}{e^x} \]

Setze die Teile zusammen und du hast deine Ableitung. Zuletzt kannst du noch ex ausklammern, um deine Funktion zu vereinfachen.

    \[ f'(x) = \textcolor{orange}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x-2})\cdot \textcolor{teal}{e^x} = (1+x-2)\cdot e^x = (x-1)\cdot e^x \]

2. Ableitung

Die zweite Ableitung findest du durch das Ableiten deiner ersten Ableitung. Leite wieder zuerst die einzelnen Terme ab:

    \[ (\textcolor{red}{x-1})' = \textcolor{orange}{1} \qquad (\textcolor{blue}{e^x})' = \textcolor{teal}{e^x} \]

Setze die Teile zusammen und du hast deine Ableitung. Zuletzt kannst du noch ex ausklammern, um deine Funktion zu vereinfachen.

    \[ f''(x) = \textcolor{orange}{1}\cdot\textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x-1})\cdot\textcolor{teal}{e^x}  = (1+x-1)\cdot e^x = x\cdot e^x \]

3. Ableitung

Die dritte Ableitung findest du durch Ableiten deiner zweiten Ableitung. Gehe wieder wie bei den ersten beiden Ableitungen vor.

    \[ (\textcolor{red}{x})' = \textcolor{orange}{1} \qquad (\textcolor{blue}{e^x})' = \textcolor{teal}{e^x} \]

Setze die Teile zusammen und du hast deine Ableitung. Zuletzt kannst du noch ex ausklammern, um deine Funktion zu vereinfachen.

    \[ f'''(x) = \textcolor{orange}{1}\cdot\textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{teal}{e^x} = (x+1)\cdot e^x \]

Ableitungen

Gegebene Funktion: f(x) = (x-2)\cdot e^x

  • 1. Ableitung: f'(x) =(x-1)\cdot e^x
  • 2. Ableitung: f''(x) = x\cdot e^x
  • 3. Ableitung: f'''(x) &= (x+1)\cdot e^x

Definitionsbereich ermitteln

Was sind Definitionsbereiche?

Die Definitionsmenge ist die Antwort auf die Frage: Welche x-Werte darfst du in die Funktion einsetzen?

Der erste Schritt in jeder Kurvendiskussion ist das Ermitteln der Definitionsmenge. Bei Exponentialfunktionen und Polynomen ist die Definitionsmenge \mathbb{D}_f immer gleich der Menge der reellen Zahlen \mathbb{R}. Da die Funktion f(x) = (x-2)\cdot e^x aus einem Polynom und der e-Funktion besteht, darfst du hier alle reelen Zahlen einsetzen:

    \[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \]

y-Achsenabschnitt berechnen

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Du findest ihn, indem du x=0 in deine Funktion einsetzt.

Ansatz

    \[ y = f(0) \]

Was ergibt das für deine Beispielfunktion?

    \begin{align*} y &= f(x) = (x-2)\cdot e^x\\ y &= f(\textcolor{red}{0}) = (\textcolor{red}{0}-2)\cdot e^{\textcolor{red}{0}} = -2\cdot 1 = -2 \end{align*}

Fazit: Dein Graph schneidet die y-Achse in dem Punkt (0|-2).

Nullstellen berechnen

Natürlich kann dein Funktionsgraph auch die x-Achse schneiden. Das sind die Nullstellen . Um sie zu finden, setzt du die Funktion gleich 0.

Ansatz

    \[ f(x) = 0 \]

Wann wird deine Beispielfunktion gleich 0?

    \[ \textcolor{red}{(x-2)}\cdot \textcolor{blue}{e^x}=0 \]

Weil ein Produkt 0 ist, wenn einer von beiden Termen (x-2 oder ex) 0 ist, kannst du es dir ein bisschen leichter machen die Nullstellen zu finden: Fange mit x-2 an. Wo sind die Nullstellen von diesem Term?

    \[ \textcolor{red}{x-2} = 0 \Longleftrightarrow x_1 = 2 \]

Du hast also eine Nullstelle bei x1=2. Schaue dir zuletzt ex an. Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle. f(x) hat also nur eine Nullstelle.

Fazit: Deine Funktion hat eine einfache Nullstelle bei x1=2. Der Punkt (2|0) ist also der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse.

Verhalten im Unendlichen bestimmen

Als Nächstes kümmerst du dich um das Grenzwertverhalten deiner Funktion. Das geht bei e-Funktionen sehr schnell. Wenn du ganz große oder sehr kleine Zahlen in deine Beispielfunktion einsetzt, ist es egal, womit du ex multiplizierst. Die Grenzwerte von f(x) werden nur von ex bestimmt.

Alle möglichen Grenzwerte der e-Funktion 

Die e-Funktion kann auf viele verschiedene Weisen in deinen Aufgaben auftauchen. Damit du dir ihre Grenzwerte nicht jedes Mal selber überlegen musst, haben wir dir die wichtigsten hier zusammengefasst:

    \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} +e^x = 0 && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} +e^x = +\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -e^x = 0 && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -e^x = -\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{e^x} = +\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{-1}{e^x} = -\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{e^x} = 0 \\ \end{align*}

Hier hast du die Exponentialfunktion ex in deiner Funktion stehen. Das heißt, deine Funktion kommt von 0 und geht nach plus unendlich.

    \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x-2)\cdot\textcolor{red}{e^x} = \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \textcolor{red}{e^x} &= 0 \\ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (x-2)\cdot\textcolor{red}{e^x} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \textcolor{red}{e^x} &= +\infty \end{align*}

Symmetrieverhalten bestimmen

Das Symmetrieverhalten ermittelst du, indem du -x in deine Funktion einsetzt.

Die wichtigsten Symmetriearten

Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)

Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x)

Mit deiner Beispielfunktion sieht es dann so aus:

    \[ f(-x) = (-x-2)\cdot e^{-x} = -(x+2)\cdot e^{ -x} \]

Wenn du dein Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion f(x) = (x-2)\cdot e^x vergleichst, siehst du:

    \begin{align*} f(-x) \neq +f(x)&\Rightarrow \text{keine Achsensymmetrie zur y-Achse} \\ f(-x) \neq -f(x) &\Rightarrow \text{keine Punktsymmetrie zum Ursprung} \end{align*}

Fazit: Dein Funktionsgraph deiner Exponentialfunktion ist also weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Extrempunkte berechnen

Spätestens jetzt musst du die Ableitungen von f ausrechnen.

Extremstellen berechnen

An Hochpunkten gilt: f'(x) = 0 und f''(x) < 0

An Tiefpunkten gilt: f'(x) = 0 und f''(x) > 0

1. Nullstelle der ersten Ableitung

Als erstes musst du die Nullstellen der ersten Ableitung finden (notwendige Bedingung f'(x) = 0).

    \[ f'(x) = (x-1)\cdot e^x = 0 \]

Wie beim Suchen der Nullstellen der ursprünglichen Funktion, brauchst du dir nur den ganzrationalen Teil (x-1) deiner Funktion anschauen. Die e-Funktion wird ja nie 0.

    \[ (x-1) = 0 \Longleftrightarrow x_2 = 1 \]

Deine erste potentielle Extremstelle ist also x2=1.

Fazit: Bei der Stelle x2=1 könnte es sich um Extremstellen handeln.

2. Potentielle Extremstellen in zweite Ableitung einsetzen

Jetzt musst du noch überprüfen, ob x2 tatsächliche eine Hoch- oder Tiefstelle ist. Das machst du, indem du das Vorzeichen der zweiten Ableitung anschaust (hinreichende Bedingung f''(x) <0 bzw. f''(x)> 0):

    \[ f''(\textcolor{red}{x_2}) = f''(\textcolor{red}{1}) = \textcolor{red}{1}\cdot e^{\textcolor{red}{1}} \approx 2,71 &> 0 \Longrightarrow \text{Tiefpunkt} \]

Fazit: Du hast einen Tiefpunkt bei x2=1.

Zuletzt musst du nur noch heraufinden, welcher y-Wert zu deinem x-Wert gehört.

3. Extremstellen in ursprüngliche Funktion einsetzen

Zuletzt setzt du den x-Wert deiner Extremstelle in deine ursprüngliche Funktion ein, um den passenden y-Wert zu berechnen.

    \[ f(\textcolor{red}{x_2}) &= f(\textcolor{red}{1}) = (\textcolor{red}{1}-2)\cdot e^{\textcolor{red}{1}} = -e \approx 2,71 \]

Fazit: Du hast also einen Tiefpunkt bei T=(1|-e).

Monotonieverhalten bestimmen

Steigungsverhalten ermitteln

Streng monoton fallend: f'(x) < 0 / Monoton fallend: f'(x) \leq 0

Streng monoton steigend: f'(x) > 0 / Monoton steigend: f'(x) \geq 0

Du kannst deine Ergebnisse aus den vorherigen Schritten jetzt benutzen, um das Steigungsverhalten deiner Funktion zu finden. Du brauchst:

  • Die Lage und Art der Extrempunkte (Wo sind Hoch- und Tiefpunkte?)
  • und die erste Ableitung (Wie steigt der Graph an einem bestimmten Punkt?)

Bestimme das Steigungsverhalten immer nur für Intervalle bis zum nächsten Extrempunkt. Hier schaust du dir zuerst die Monotonie von minus unendlich bis zum Tiefpunkt bei x=1 (Intervallschreibweise: \left]-\infty; 1\right[) an. Danach hinter dem Tiefpunkt bei x=1, also in \left]1; +\infty\right[. Um das Vorzeichen der ersten Ableitung zu finden, setzt du eine beliebige Zahl aus deinem Intervall ein. Ist die Ableitung positiv, steigt deine Funktion streng monoton. Ist sie negativ, fällt sie streng monoton.

Das Monotonieverhalten kannst du gut in einer Monotonietabelle zusammenfassen:

Intervall \left]-\infty; 1\right[ \left]1; +\infty\right[
Vorzeichen von f'(x) +
Graph von f(x) fällt streng monoton steigt streng monoton

Wendepunkt und Wendetangente berechnen

Am Wendepunkt ändert der Graph seine Krümmung.

Wendestellen berechnen

An einem Wendepunkt gilt:

    \[ f''(x) = 0\quad\text{und}\quad f'''(x) \neq 0 \]

1. Nullstelle der zweite Ableitung finden

Wegen der notwendigen Bedingung f''(x) = 0, ist die Wendestelle die Nullstelle der zweiten Ableitung.

    \[ f''(x) = x\cdot e^x &= 0 \]

Für die Nullstellen kannst du ex wieder ignorieren und nur den ersten Faktor x anschauen. Die zweite Ableitung hat also eine Nullstelle bei x3=0.

Fazit: Bei x3=0 könnte also ein Wendepunkt liegen.

2. Potentielle Wendestelle in dritte Ableitung einsetzen

Wegen der hinreichenden Bedingung f'''(x) \neq 0 darf die dritte Ableitung am Wendepunkt nicht 0 sein.

    \[ f'''(\textcolor{red}{x_3}) = f'''(\textcolor{red}{0}) = (\textcolor{red}{0}+1)\cdot e^{\textcolor{red}{0}} = 1 \neq 0 \Longrightarrow \text{Wendepunkt} \]

Fazit: Die Stelle x3=1 ist tatsächlich eine Wendestelle. Jetzt möchtest du nur noch ihren y-Wert herausfinden.

3. Wendestelle in ursprüngliche Funktion einsetzen

Zuletzt setzt du deine Wendestelle in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate deines Wendepunktes zu finden.

    \[ f(\textcolor{red}{x_3}) = f(\textcolor{red}{0})= (\textcolor{red}{0}-2)\cdot e^{\textcolor{red}{0}} = -2 \]

Fazit: Dein Funktionsgraph hat einen Wendepunkt bei W=(0|-2).

4. Finde die Wendetangente

Die Wendetangente ist eine Gerade, die am Wendepunkt die gleiche Steigung wie dein Graph hat.

Wendetangente Gleichung

Die Gleichung deiner Wendetangente lautet: t_W: y = m\cdot (x-x_W) + y_W

m ist die Steigung der Wendetangente und (xW|yW) ist der Wendepunkt.

Weil du schon weißt, wo der Wendepunkt liegt, musst du nur noch die Steigung ausrechnen. Das findest du mit der ersten Ableitung heraus. Setze deine Wendestelle (xW = x3 = 0) in die erste Ableitung ein:

    \[ m = f'(\textcolor{red}{x_3}) = f'(\textcolor{red}{0}) = (\textcolor{red}{0}-1)\cdot e^{\textcolor{red}{0}} = -1 \]

Setze alles in die Gleichung deiner Wendetangente ein:

    \[ t_W: y = \textcolor{red}{m}\cdot (x-\textcolor{blue}{x_W})+\textcolor{orange}{y_W} = \textcolor{red}{-1} \cdot (x -\textcolor{blue}{0}) +(\textcolor{orange}{-2}) = -x-2\]

Fazit: Die Wendetangente hat die Gleichung t_W: y = - x - 2.

Krümmungsverhalten bestimmen

Nachdem du den Wendepunkt kennst, kannst du auch das Krümmungsverhalten deines Graphen bestimmen.

Krümmungen ermitteln

Wenn f''(x) > 0 gilt, ist der Graph linksgekrümmt.

Wenn f''(x) < 0 gilt, ist der Graph rechtsgekrümmt.

Weil du weißt, dass sich die Krümmung am Wendepunkt W=(0|-2) ändert, brauchst du nur das Krümmungsverhalten von zwei Punkten rechts und links vom Wendepunkt bestimmen. Nimm zum Beispiel die Stellen x=-1 und x=+1:

    \begin{align*} f''(\textcolor{red}{-1}) = \textcolor{red}{-1} \cdot e^{\textcolor{red}{-1}} = \frac{-1}{e} \approx -0,37 &< 0 \Longrightarrow \text{rechtsgekrümmt} \\ f''(\textcolor{blue}{+1}) = \textcolor{blue}{+1} \cdot e^{\textcolor{blue}{+1}} = e \approx 2,71 &> 0 \Longrightarrow \text{linksgekrümmt} \end{align*}

Fazit: Dein Graph ist im Intervall \left]-\infty;0\right[ rechtsgekrümmt und im Intervall \left]0;+\infty\right[ linksgekrümmt.

Wertebereich bestimmen

Als letztes musst du noch den Wertebereich ermitteln. Die Frage ist: Welche y-Werte kann deine Funktion alles ausgeben?

Wertebereich der e-Funktion
Die e-Funktion hat einen Wertebereich zwischen 0 und plus/minus unendlich. Je nachdem mit welchem Polynom du die Exponentialfunktion multiplizierst, kann sich das ändern. Dein Wertebereich liegt deshalb zwischen dem Extrempunkt und plus/minus unendlich.

Deine Beispielfunktion f(x) = (x-2)\cdot e^x hat einen Tiefpunkt bei (1|-e) und den Grenzwert plus unendlich. Seine Wertemenge \mathbb{W}_f sind deswegen alle reelle Zahlen zwischen -e und plus unendlich. In der Intervallschreibweise sieht das so aus:

    \[ \mathbb{W}_f = \left[ -e;+\infty\right[ \]

Funktionsgraph zeichnen

Jetzt hast du alle wichtigen Informationen, um den Graphen der Funktion zu zeichnen. Markiere dir alle wichtigen Punkte, bevor du deinen Graphen zeichnest:

  • einfache Nullstelle bei x = 2
  • y-Achsenabschnitt bzw. Wendepunkt bei (0|-2)
  • Tiefpunkt bei (1|-e)
  • Asymptote bei x = 0

Du kannst dir auch eine Wertetabelle erstellen, um den Graphen einfacher zu zeichnen.

x -2,5 -2 -1 1 1,5 2,5 3
f(x) -0,3 -0,5 -1,1 -2,7 -2,2 6,1 20,1
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Funktionsgraph mit Nullstelle x1, dem Tiefpunkt T, dem Wendepunkt W und dem y-Achsenabschnitt y1.

Kurvendiskussion ganzrationale Funktion 

Mit der Kurvendiskussion bei Exponentialfunktionen kennst du dich jetzt aus. Für deine nächste Prüfung solltest du aber auch die ganzrationalen Funktionen untersuchen können. Sieh dir deshalb unbedingt noch unser Aufgaben-Video dazu an!

Zum Video Kurvendiskussion Aufgaben
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