Analysis Schüler
Kurvendiskussion
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Was sind Funktionsscharen? Alles, was du über Scharfunktionen wissen musst, erfährst du hier% und in unserem Video!

Was ist eine Funktionsschar?

Bei einer Funktionsschar hast du eine Funktion mit einem Parameter k, zum Beispiel: fk(x) = x2 + k. Setzt du für den Parameter k verschiedene Werte ein, verändert sich deine Funktion: Sie wird schmaler, breiter, höher oder tiefer. In diesem Beispiel verschiebt sich die Funktion nur nach oben oder unten.

Setzt du in die Funktion fk(x) = x2 + k verschiedene Werte für k ein, erhältst du eine Funktionenschar.

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Funktionsschar
k fk(x)
0 f0(x) = x2 + 0
1 f1(x) = x2 + 1
2 f2(x) = x2 + 2
3 f3(x) = x2 + 3

Du kannst dir merken, dass k beim Rechnen mit Funktionsscharen immer wie eine normale Zahl behandelt wird. Sie ist nicht die Variable der Funktion. Das ist das x.

Funktionsschar — einfach erklärt%FS

Eine Funktionsschar ist eine Menge verschiedener Kurven. Sie entsteht, wenn du für den Parameter in einer Funktion verschiedene Werte einsetzt. Du nennst sie auch Kurvenschar, Funktionenschar oder Parameterfunktion.

Funktionsschar Nullstellen

Um die Nullstellen von Funktionsscharen in Abhängigkeit von k zu berechnen, setzt du deine Scharfunktion einfach gleich 0. Dabei behandelst du den Parameter k wie eine normale Zahl. Schau dir direkt ein Beispiel dazu an:

fk(x) = x2 – 4k2

Berechne die Nullstellen, indem du fk(x) = 0 setzt.

fk(x) = 0

x2 – 4k2 = 0   | + 4k2 

x2 =  4k2     | √

x = ± 2k

Die Nullstellen deiner Funktionsschar liegen bei x1 = 2k und x2 = – 2k

Du hast die Nullstellen deiner Funktionsschar in Abhängigkeit von k berechnet. Jetzt kannst du jeden beliebigen Wert für k einsetzen und erhältst die Nullstellen für die entsprechende Funktion der Funktionsschar. 

Beispiel: Für k = 3 hat die Scharfunktion die Nullstellen 

  • x1 = 2 · 3 = 6
  • x2 = – (2 · 3) = – 6
Funktionsschar Nullstellen — Merke!%FS

Durch den Parameter k kann die Funktion fk(x) gestreckt, gestaucht oder verschoben werden. Dadurch kann sich die Lage und die Anzahl der Nullstellen der Funktionsschar verändern!

Funktionsschar Fallunterscheidung

Bei Funktionsscharen ist oft eine Fallunterscheidung nötig! Das verstehst du am folgenden Beispiel:

Berechne die Extremstellen der Funktionenschar ga(x) = ax2.

Leite die Funktion dafür zwei Mal ab.

1. Ableitung: g‘a(x) = 2ax

2. Ableitung: g“a(x) = 2a

Die Nullstellen der ersten Ableitung geben dir die x-Werte für die Extremstellen:

g‘a(x) = 0

2ax = 0   | : 2a

x = 0

Du hast also immer eine Extremstelle bei x = 0, unabhängig von a.

Die zweite Ableitung zeigt dir jetzt, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt. Ist sie größer 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ist die zweite Ableitung kleiner 0, hast du einen Hochpunkt. Hier ist also eine Fallunterscheidung notwendig:

  • a positiv ⇒ Tiefpunkt
  • a negativ ⇒ Hochpunkt

Wichtig: Stell dir immer die Frage, welche Werte k überhaupt annehmen darf.

Beispiel: fk(x) = \frac{2x^2}{\textcolor{orange}{k}}

In diesem Fall darf k nicht 0 sein, denn im Nenner darf nie eine Null stehen! Du darfst also nur k > 0 und k < 0 einsetzen, aber nicht k = 0.

Funktionsscharen ableiten und integrieren

Willst du eine Funktionsschar ableiten, behandelst du den Parameter k einfach wie eine normale Zahl. Hier haben wir ein paar Beispiele dafür, wie du Funktionsscharen ableiten kannst:

fk(x) f‘k(x)
2k 0
k2 0
kx k
k2x k2
kx2 2kx
3k2x3 9k2x2
kx3 – 4kx + k 3kx2 – 4k

In dieser Tabelle siehst du ein paar Beispiele für die Integration von Funktionsscharen:

fk(x) Fk(x)
k kx
k2 k2x
kx k/2 · x2
k2x k2/2 · x2
kx2 k/3 · x3
Scharfunktion — kurz & knapp%FS

Bei einer Funktionsschar fk(x) handelt es sich um eine Vielzahl von Funktionen. Ihre Funktionsgleichung hat neben der Variable x noch einen veränderlichen Parameter k. Zu jedem Wert des Parameters k gibt es eine Funktion in der Schar (Scharfunktion). Alle Graphen der Funktionsschar bilden die sogenannte Kurvenschar.%Wow, ich find das echt gelungen. Alle Begriffe drin und trotzdem wesentlich verständlicher als das aktuelle 

Übrigens: Handelt es sich bei deiner Funktionsschar um Geraden, sprichst du auch von einer Geradenschar.

Funktionsscharen Aufgaben: Ortskurve berechnen 

Die Berechnung der Ortskurve gehört zu den häufigsten Funktionsschar Aufgaben in einer Kurvendiskussion.

Erinnerung: Eine Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionsschar liegen, die eine bestimmt Gemeinsamkeit haben. Auf der Kurve liegen zum Beispiel alle Tiefpunkte, Scheitelpunkte oder Wendepunkte der Funktion.

Schau dir das direkt an einem Beispiel an:

Du willst die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar fk(x) = x2kx bestimmen.

1. Als Erstes bestimmst du die Tiefpunkte in Abhängigkeit des Parameters k

Dazu berechnest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.

fk(x) = x2kx

f‘k(x) = 2x – k

f“k(x) = 2

Die Extremstelle der Funktionenschar bekommst du, indem du die erste Ableitung gleich 0 setzt.

f‘k(x) = 0

2x – k = 0   | + k

2x = k   | : 2

x = \frac{\textcolor{orange}{k}}{2}

Da die zweite Ableitung f“k(x) = 2 größer 0 ist, handelt es sich bei x = \frac{\textcolor{orange}{k}}{2} um einen Tiefpunkt. Um seine y-Koordinate zu bestimmen, setzt du x in die normale Funktion ein:

fk(\frac{\textcolor{orange}{k}}{2}) = (\frac{\textcolor{orange}{k}}{2})2k · \frac{\textcolor{orange}{k}}{2} = – \frac{\textcolor{orange}{k}^2}{4}

Der Tiefpunkt hat also allgemein die Koordinaten T(\frac{\textcolor{orange}{k}}{2}|-\frac{\textcolor{orange}{k}^2}{4}).

2. Schreibe zwei Gleichungen für x und y des Tiefpunktes auf.

  1. Gleichung: x =\frac{\textcolor{orange}{k}}{2}
  2. Gleichung: y = -\frac{\textcolor{orange}{k}^2}{4}

3. Löse eine der Gleichungen nach dem Parameter k auf.

    \[x =\frac{\textcolor{orange}{k}}{2}   | \cdot 2\]

k = 2x

4. Setze deinen Wert für k in die andere Gleichung ein.

    \[y = -\frac{\textcolor{orange}{(2x)}^2}{4}\]

    \[y = - \frac{4x^2}{4} = - x^2\]

Fertig! Deine Ortslinie hat die Gleichung y = – x2

Du willst noch mehr Beispiele zur Berechnung der Ortskurve? Dann schau dir unbedingt unser Video zu den Ortskurven an!%Thumbnailverweis 

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