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abc Formel

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abc Formel einfach erklärt

abc Formel Aufgaben

Du willst wissen, was es mit der abc Formel auf sich hat? Dann bist du bei unserem Video und Beitrag genau richtig!

Inhaltsübersicht

abc Formel einfach erklärt

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Die abc-Formel verwendest du, um Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c (z.B. f(x) = 2x² + x – 1) zu bestimmen. Um das zu tun, setzt du deine quadratische Funktion gleich 0:

ax² + bx + c = 0

abc Formel

Zum Berechnen der beiden Nullstellen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung verwendest du die abc-Formel:

$x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Den Teil unter der Klammer b²– 4ac bezeichnest du als Diskriminante D. Mit ihr kannst du herausfinden, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat:

D > 0: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
D = 0: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung

D < 0: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

abc Formel Aufgaben

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Möchtest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der abc Formel ausrechnen, kannst du unsere Schritt-für-Schritt-Anleitung befolgen.

Beispiel 1: 2x² – 16 = 4x

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen. Um die abc-Formel anzuwenden, muss auf einer Seite der Gleichung die Null stehen. Ggf. musst du die Gleichung umstellen.

2x² – 16 = 4x | – 4x

2x² – 16 – 4x = 0

2x² – 4x – 16 = 0

Schritt 2: Koeffizienten a, b und c ablesen

ax² + bx + c = 0

2x² – 4x – 16 = 0

a = 2, b = -4, c = -16

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-(\textcolor{blue}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-4})^2-4\cdot \textcolor{red}{2}\cdot (\textcolor{olive}{-16}})}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16-8 \cdot (-16)}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{144}}{4} =\cfrac{4 \pm 12}{4}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{4+12}{4}= 4$ und $x_2 = \frac{4-12}{4}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = 4

x₂ = -2

Beispiel 2: f(x) = x² + 4x + 4

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen

x² + 4x + 4 = 0

Schritt 2: a, b und c ablesen

a = 1, b = 4, c = 4

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{4} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2-4\cdot\textcolor{red}{1}\cdot\textcolor{olive}{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{1}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \cfrac{-4 \pm 0}{2}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{-4+0}{2}= -2$ und $x_2 = \frac{-4-0}{2}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = -2

x₂ = -2

Deine Funktion hat bei x= -2 eine doppelte Nullstelle.

abc Formel Herleitung

Abschließend zeigen wir dir, wie du die abc Formel herleiten kannst. Das ist gar nicht so schwer, da hier die allgemeine Form lediglich nach x aufgelöst wird. Für die Herleitung benötigst du die quadratische Ergänzung und die erste binomische Formel .

$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0 \qquad | -c\\ ax^2+bx&=-c \qquad| \div a \\ x^2+\cfrac{b}{a}x &= -\cfrac{c}{a}\qquad | \text{ quadratische Ergänzung}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \cfrac{b^2}{4a^2}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}\qquad | \text{ erste binomische Formel}\\ \left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2} \qquad |\sqrt\\ x+\cfrac{b}{2a} &=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \qquad | -\cfrac{b}{2a}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow x_{1,2} &= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align*}$

pq-Formel

Neben der abc-Formel kannst du zum Lösen von quadratischen Gleichungen auch die pq-Formel verwenden. Welche Formel das ist und wie du sie anwendest, zeigen wir dir in unserem Video!

pq Formel, quadratische Gleichungen lösen, Nullstellen berechnen — Zum Video: pq Formel

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