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Mitternachtsformel

Wichtige Inhalte in diesem Video

So lautet die Mitternachtsformel

Das zeigt dir die Diskriminante D der Mitternachtsformel

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D > 0

Mit der Mitternachtsformel kannst du quadratische Gleichungen ganz leicht lösen. Wie du sie richtig einsetzt, zeigen wir dir hier und im Video.

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Inhaltsübersicht

So lautet die Mitternachtsformel

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Die Mitternachtsformel nutzt du, um quadratische Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 zu lösen.

Dafür setzt du nur die drei Koeffizienten a, b und c in die Formel ein. Achte dabei darauf, auch ihre Vorzeichen mitzunehmen.

$x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{b} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{b}^2 - 4\textcolor{orange}{a}\textcolor{magenta}{c}}}{2\textcolor{orange}{a}}$

Wenn du die Formel ausrechnest, erhältst du zwei mögliche Lösungen für x — x₁ und x₂. Das sind gleichzeitig die Nullstellen der quadratischen Funktion.

➡️Beispiel:

3x² − 7x + 2 = 0

$x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{(-7)} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{(-7)}^2 - 4 \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{magenta}{2}}}{2 \cdot \textcolor{orange}{3}} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = 0,\bar{3}$

Übrigens: Du nennst die Mitternachtsformel auch ABC-Formel.

Das zeigt dir die Diskriminante D der Mitternachtsformel

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Die Diskriminante D der Mitternachtsformel ist der Term unter der Wurzel — also b² − 4ac.

An ihr erkennst du, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung hat:

D > 0 → zwei Lösungen
D = 0 → eine Lösung
D < 0 → keine Lösung

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Mitternachtsformel: So rechnest du bei D > 0

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Liegt D > 0 vor, gibt es zwei verschiedene Lösungen. Hierbei gehst du in vier Schritten vor.

➡️Beispiel:
2x² − 3x − 5 = 0

Schritt 1 — Koeffizienten ablesen
Lies aus der quadratischen Gleichung a, b und c ab. Achte dabei unbedingt auf die richtigen Vorzeichen:

a = 2
b = -3
c = -5

Schritt 2 — Diskriminante berechnen
Setze die Koeffizientien in die Formel der Diskriminanten ein:

D = b² − 4ac =
(−3)² − 4 · 2 · (−5) =
9 + 40 = 49

D = 49 > 0 → zwei verschiedene Lösungen

Schritt 3 — Mitternachtsformel anwenden
Setze a, b und D in die Mitternachtsformel ein:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2}$
$= \frac{3 \pm 7}{4}$

Schritt 4 — Lösungen berechnen
Berechne x₁ und x₂, indem du im Zähler einmal addierst und einmal subtrahierst.

$x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

$x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Die Gleichung hat also die Nullstellen x₁ = 2,5 und x₂ = −1.

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D = 0

Liegt D = 0 vor, liefert die Mitternachtsformel immer dasselbe Ergebnis — egal ob du die Diskriminante addierst oder subtrahierst. Deswegen gibt es nur eine Lösung. Trotzdem gehst du genauso vor wie bei D > 0.

➡️Beispiel:
x² − 6x + 9 = 0

Schritt 1 — Koeffizienten ablesen
Lies aus der quadratischen Gleichung a, b und c ab. Achte dabei wieder auf die richtigen Vorzeichen:

a = 1
b = -6
c = 9

Schritt 2 — Diskriminante berechnen
Setze die Koeffizienten in die Formel der Diskriminanten ein:

D = b² − 4ac =
(−6)² − 4 · 1 · 9 =
36 − 36 = 0

D = 0 → genau eine Lösung

Schritt 3 — Mitternachtsformel anwenden
Setze a, b und D in die Mitternachtsformel ein:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} =$

$\frac{6 \pm 0}{2}$

Schritt 4 — Lösung berechnen
Berechne x, indem du im Zähler durch Nenner teilst.

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} =$

$\frac{6}{2} = 3$

Die Gleichung hat also die Lösung x = 3.

Hier erhältst du also nur eine Lösung — die doppelte Nullstelle. An dieser Stelle kreuzt der Graph die x-Achse nicht, sondern berührt sie bloß.

Mitternachtsformel: So rechnest du bei D < 0

Ist D < 0, gibt es keine Lösung. Das liegt daran, dass du eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsstest. Das ist im reellen Zahlbereich nicht möglich.

➡️Beispiel:
x² + 2x + 5 = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = 2; c = 5

Diskriminante:
D = b² − 4ac =
2² − 4 · 1 · 5 =
4 − 20 = −16

Du kannst hier also nicht weiterrechnen. Die quadratische Gleichung hat keine Nullstellen.

Quadratische Gleichungen in die Normalform umstellen

Manchmal bekommst du quadratische Gleichungen, die nicht in der Normalform (ax² + bx + c = 0) vorliegen. Dann musst du sie zuerst umformen.

➡️Beispiel:

$3x - 5 + x^2 = 2x - 3 + \frac{1}{2}x^2$

So bringst du die Gleichung in die Normalform:

Schritt 1 — Alle Terme auf eine Seite bringen
Forme so um, dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

$3x - 5 + x^2 = 2x - 3 + \frac{1}{2}x^2$ |

,

und

-\frac{1}{2}x^2

$3x - 5 + x^2 - 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

Schritt 2 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Fasse alle x²-Terme, alle x-Terme und alle konstanten Zahlen zusammen, indem du sie jeweils addierst oder subtrahierst.

$3x - 5 + x^2 - 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

$3x - 2x - 5 + 3 + x^2 - \frac{1}{2}x^2 = 0$

$x - 2 + \frac{1}{2}x^2 = 0$

Schritt 3 — Brüche beseitigen
Falls Brüche vorkommen, musst du die gesamte Gleichung mit dem Nenner multiplizieren.

$x - 2 + \frac{1}{2}x^2 = 0$ | · 2

$2x - (2 \cdot 2) + (2 \cdot \frac{1}{2}x^2) = 0$

2x - 4 + x^2 = 0

Schritt 4 — Terme ordnen
Schreibe zuerst den x²-Term, dann den x-Term und dann die Konstante. Nimm dabei unbedingt die jeweiligen Vorzeichen mit, denn die gehören immer fest zur Zahl dahinter!

2x - 4 + x^2 = 0

x^2 + 2x - 4 = 0

So löst du x³-Gleichungen mit der Mitternachtsformel

Manche Gleichungen lassen sich nicht direkt mit der Mitternachtsformel lösen, weil sie einen höheren Grad als 2 haben.

➡️Beispiel:

x³ + 3x² − 4x = 0

Auch dann musst du sie erst in die Normalform bringen. Gehe dafür so vor:

Schritt 1 — Gemeinsamen Faktor ausklammern
Jeder Term enthält mindestens ein x. Das klammerst du aus:

x³ + 3x² − 4x =
x · (x² + 3x − 4) = 0

Schritt 2 — Linearen Faktor lösen
Jetzt hast du ein Produkt. Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der Faktoren gleich null ist. Deswegen kannst du für x₁ schon mal den Wert 0 bestimmen:

x · (x² + 3x − 4) = 0

mit x₁ = 0 gilt:
0 · (0² + 3 · 0 − 4) =
0 · (-4) = 0 ✓

Damit hast du bereits die erste Nullstelle gefunden.

Schritt 3 — Quadratischen Faktor mit der Mitternachtsformel lösen
In der Klammer bleibt jetzt die typische Normalform x² + 3x − 4 übrig. Hier kannst du die Koeffizienten ablesen und wie gewohnt in die Diskriminante und die Mitternachtsformel einsetzen:

(x² + 3x − 4) = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = 3; c = -4

Diskriminante:
D = b² – 4ac =
3² − 4 · 1 · (−4) =
9 + 16 = 25 > 0 → zwei weitere Lösungen

Mitternachtsformel:
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_3 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ergebnis:
Die Gleichung hat die drei Nullstellen: x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = −4.

So löst du x⁴-Gleichungen mit der Mitternachtsformel

Für biquadratische Gleichungen, kannst du noch einen anderen Trick anwenden, um zur Normalform zu kommen. Denn hier kommen nur x⁴- und x²-Terme vor:

➡️Beispiel:

x⁴ − 6x² + 5 = 0

Mit einer Substitution kannst du das in eine gewöhnliche quadratische Gleichung verwandeln. Dafür ersetzt du x² mit einem neuen Buchstaben z. — also x² = z. Weil du x⁴ auch als (x²)² schreiben kannst, gilt dann x⁴ = z².

x⁴ − 6x² + 5 → z² − 6z + 5

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung, die du wie gewohnt mit der Mitternachtsformel lösen kannst:

z² − 6z + 5 = 0

Koeffizienten:
a = 1; b = -6; c = 5

Diskriminante:
D = b² – 4ac =
(-6)² − 4 · 1 · 5 =
36 – 20 = 16 > 0 → zwei Lösungen

Mitternachtsformel:
$z_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$z_1 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$z_2 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Doch damit bist du noch nicht fertig! Jetzt folgt die Rücksubstitution. Das heißt, du setzt für z wieder x² ein.

z₁ = x² = 5 → x = $\pm\sqrt{5}$ , also x₁ = $\sqrt{5}$ und x₂ = $-\sqrt{5}$

z₂ = x² = 1 → x = $\pm\sqrt{1}$ , also x₃ = 1 und x₄ = −1

Die Gleichung hat insgesamt vier Lösungen: $x_1 = \sqrt{5}$ , $x_2 = -\sqrt{5}$ , x₃ = 1 und x₄ = −1.

Jeder z-Wert liefert dabei zwei x-Werte, weil durch das Quadrieren sowohl positive als auch negative Zahlen zum selben Ergebnis führen.

Wichtig: Wäre ein z-Wert negativ, gäbe es für diesen Wert keine reelle Lösung.

Zusammenfassung — Mitternachtsformel

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Das Bild zeigt einen Lernzettel, auf dem alles wichtige zu dem Thema Mitternachtsformel dargestellt ist. Für Schüler der Klasse 8/9/10.

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Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

pq Formel einfach erklärt

Die Mitternachtsformel ist eine Methode für quadratische Gleichungen. Es gibt aber auch noch weitere Lösungsansätze wie die pq-Formel einfach erklärt. Sie funktioniert ähnlich, benötigt aber eine andere Vorbereitung. Wie genau das funktioniert, zeigen wir dir in unserem Beitrag!

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