Mitternachtsformel einfach erklärt (Video)

Lerne in diesem Video, wie du jede quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel einfach lösen kannst. Wir zeigen dir Schritt für Schritt, wie es geht.

VIDEOSKRIPT

Du fragst dich, wie die Mitternachtsformel lautet und wie du sie anwenden kannst? Dann ist dieses Video genau das Richtige für dich!

Mitternachtsformel einfach erklärt

Die Mitternachtsformel lautet: x 1 2 ist minus b plus minus Wurzel aus b Quadrat minus 4 a c geteilt durch 2 a.

𝑥1,2=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐‾‾‾‾‾‾‾‾√2𝑎
�
1
,
2
=
−
�
±
�
2
−
4
�
�
2
�

Damit kannst du quadratische Gleichungen lösen, zum Beispiel 2 x Quadrat plus 6 x plus 4 gleich 0.

2𝑥2+6𝑥+4=0
2
�
2
+
6
�
+
4
=
0

a ist die Zahl vor dem x Quadrat, also hier die 2. b ist die Zahl vor dem x, also die 6. Und c ist die Zahl, die ohne x dasteht, also die 4. [Formel]Die Zahlen setzt du dann nur noch in die Formel ein.

𝑥1,2=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐‾‾‾‾‾‾‾‾√2𝑎=−6±62−4∙2∙4‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2∙2=−6±4‾√4=−6±24
�
1
,
2
=
−
�
±
�
2
−
4
�
�
2
�
=
−
6
±
6
2
−
4
∙
2
∙
4
2
∙
2
=
−
6
±
4
4
=
−
6
±
2
4

Dann machst du dich ans Ausrechnen. Als erstes berechnest du die Wurzel. Die ergibt 2. Aber was musst du mit dem plus minus machen? Das ist gar nicht schwer: Du rechnest zwei Ergebnisse aus: Einmal mit dem Plus und einmal mit dem Minus. Eine Lösung ist also minus 6 plus 2 geteilt durch 4, also minus 1.

𝑥1=−6+24=−1
�
1
=
−
6
+
2
4
=
−
1

Als zweite Lösung kommt minus 6 minus 2 geteilt durch 4 heraus, also minus 2.

𝑥2=−6−24=−2
�
2
=
−
6
−
2
4
=
−
2

Damit sind x 1 gleich minus 1 und x zwei gleich minus 2 die beiden Lösungen deiner Gleichung.

𝑥1=−1
�
1
=
−
1

𝑥2=−2
�
2
=
−
2

Gar nicht so schwer, oder?

Mitternachtsformel Beispiel

Bei der Mitternachtsformel kommen aber nicht immer zwei Lösungen heraus. Manchmal bekommst du auch eine oder gar keine Lösung. Schau dir dazu noch ein Beispiel an. Ein Drittel x Quadrat minus 2 x plus 3 gleich 0.

13𝑥2−2𝑥+3=0
1
3
�
2
−
2
�
+
3
=
0

Du findest wieder a, b und c heraus. Vor dem x Quadrat steht ein Drittel. Deshalb ist a gleich ein Drittel. Vor x steht eine -2, das ist dann dein b. Pass hier auf, dass du das Minus vor der zwei nicht vergisst! Schließlich ist noch c gleich 3.

𝑎=13
�
=
1
3

𝑏=−2
�
=
−
2

𝑐=3
�
=
3

Dann setzt du das in die Mitternachtsformel ein: Minus… minus 2 plus minus die Wurzel aus minus 2 im Quadrat minus 4 mal ein Drittel mal 3… geteilt durch 2 mal ein Drittel. Unter der Wurzel steht dann 4 minus 4, also 0.

𝑥1,2=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐‾‾‾‾‾‾‾‾√2𝑎=−(−2)±(−2)2−4∙13∙3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2∙13=2±4−4‾‾‾‾‾√23=2±023
�
1
,
2
=
−
�
±
�
2
−
4
�
�
2
�
=
−
(
−
2
)
±
(
−
2
)
2
−
4
∙
1
3
∙
3
2
∙
1
3
=
2
±
4
−
4
2
3
=
2
±
0
2
3

Die Lösung ist also 2 plus minus 0 durch zwei Drittel. Das ergibt immer drei – egal ob du mit plus oder mit minus rechnest.

𝑥=2±023=3
�
=
2
±
0
2
3
=
3

Du kannst dir also merken: Steht eine 0 in der Wurzel, hast du nur eine Lösung. Wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht, gibt es zwei Lösungen. Und bei einer negativen Zahl? Tja, die Wurzel aus einer negativen Zahl, zum Beispiel Wurzel aus minus 5, kannst du nicht ausrechnen. Wenn unter der Wurzel also eine negative Zahl herauskommt, hat deine Gleichung überhaupt keine Lösung.

−5‾‾‾√
−
5

Super! Jetzt kannst du schon die allermeisten quadratischen Gleichungen lösen.

a, b und c bestimmen

Einen wichtigen Fall solltest du dir aber noch anschauen. Du hast zum Beispiel die Gleichung x Quadrat plus 4 x plus 3 gleich 0.

𝑥2+4𝑥+3=0
�
2
+
4
�
+
3
=
0

Fällt dir etwas auf? Genau, es steht gar keine Zahl vor dem x Quadrat. Was ist dann dein a für die Mitternachtsformel? In diesem Fall ist a immer 1.

𝑎=1
�
=
1

Das Gleiche gilt dann, wenn keine Zahl vor dem x steht.

4𝑥2+𝑥+3=0
4
�
2
+
�
+
3
=
0

Dann ist b gleich 1.

𝑏=1
�
=
1

Wenn vor dem x Quadrat oder dem x keine Zahl, aber ein Minus steht, dann ist a oder b minus 1.

−𝑥2+𝑥+3=0
−
�
2
+
�
+
3
=
0

In diesem Fall ist also a gleich minus 1, b gleich 1 und c gleich 3.

𝑎=−1
�
=
−
1

𝑏=1
�
=
1

𝑐=3
�
=
3

Und was passiert, wenn es überhaupt kein c gibt wie hier?

−𝑥2+𝑥=0
−
�
2
+
�
=
0

Ganz einfach: Dann ist c eben Null.

Prima! Jetzt kannst du alle quadratischen Gleichungen mit der Mitternachtsformel lösen.

Outro

Manchmal bist du mit der p q Formel sogar noch ein bisschen schneller beim Lösen deiner Gleichungen. Schau dir gleich an, wie sie funktioniert!