Funktionen

Diskriminante

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Diskriminante. Wir zeigen dir die Formeln für die Diskriminante und was sie mit quadratischen Gleichungen zu tun hat.

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Inhaltsübersicht

Diskriminante einfach erklärt  

Die Diskriminante D ist der Ausdruck unter der Wurzel der Mitternachtsformel (auch abc-Formel)

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \Longrightarrow \quad D=b^2 - 4ac

beziehungsweise der pq-Formel

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2}) \right^2 - q} \quad \Longrightarrow \quad D=\left (\frac{p}{2}) \right^2 - q.

Sie ist deshalb von Bedeutung, weil sie dir bei der Entscheidung hilft, ob und wie viele Lösungen eine gegebene quadratische Gleichung besitzt. Dabei gilt:

  • D>0: zwei Lösungen,
  • D=0: eine Lösung,
  • D<0: keine Lösung.
Diskriminante, Parabel
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Unterschiedliche Fälle der Diskriminante.

Was ist eine Diskriminante?  

Betrachten wir eine quadratische Gleichung der Form

ax^2 + bx + c = 0,

wobei a, b und c reelle Zahlen sind. Du suchst nach den Werten von x für welche die quadratische Funktion ax^2 + bx + c den Wert Null annimmt; du berechnest also die Nullstellen dieser Funktion. Zum Lösen kannst du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel ) verwenden

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Nun kann die quadratische Gleichung auch in folgender Form vorliegen

x^2 + px + q = 0,

das heißt vor dem Ausdruck x^2 steht nur eine 1. Hier kannst du auch die pq-Formel verwenden

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2}) \right^2 - q}

Möchtest du mehr dazu erfahren, insbesondere vorgerechnete Beispiele sehen, dann klicke einfach auf die Verlinkungen zu unseren extra Beiträgen.

Beide Formeln besitzen einen Wurzelausdruck. Und genau der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt.

Diskriminante Formel

Für die Mitternachtsformel ist die Diskriminante

D = b^2 - 4ac.

Für die pq-Formel lautet die Diskriminante

D= \left (\frac{p}{2}) \right^2 - q.

Wenn du eine quadratische Gleichung gegeben hast, kannst du in der Regel durch bloßes Hinschauen nicht erkennen, ob diese Gleichung überhaupt Lösungen besitzt. An dieser Stelle kommt dir die Diskriminante zur Hilfe. Mit ihr kannst du ohne viel Aufwand bestimmen, ob sie Lösungen besitzt. Sie teilt dir auch mit, wie viele Lösungen es gibt. Dabei gilt folgende Merkregel.

Anzahl der Lösungen 

Bezeichnen wir die Diskriminante mit D, dann gilt

D > 0 \Longleftrightarrow \text{Es gibt zwei reelle Lösungen},

D = 0 \Longleftrightarrow \text{Es gibt eine reelle Lösung} \text{und}

D < 0 \Longleftrightarrow \text{Es gibt keine reelle Lösungen}.

Hinweis: Für den Fall D < 0 müsstet du die Wurzel über einer negativen Zahl ziehen. Dieser Prozess benötigt aber die Erweiterung der reellen Zahlen \mathbb{R} zu den komplexen Zahlen \mathbb{C}, was man dann erst im Studium lernt.

Diskriminante berechnen  

In diesem Abschnitt geben wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung, um die Diskriminante zu berechnen.

Vorgehen

Angenommen wir haben eine beliebige quadratische Gleichung gegeben

ax^2 + bx + c = 0.

Schritt 1: Du untersuchst, ob der Faktor vor dem x^2 eins ist oder nicht. Abhängig davon wählst du den entsprechenden Ausdruck für die Diskriminante.

Schritt 2: Nun identifizierst du alle Komponenten, die du zum Berechnen der Diskriminante benötigst. Bei der Mitternachtsformel sind das die Paramater a, b und c, bei der pq-Formel die Parameter p und q.

Schritt 3: Jetzt nimmst du alle Komponenten, setzt sie in die Formel für D ein und rechnest das Ergebnis aus.

Schritt 4: Falls gefragt, kannst du nun bestimmen, wie viele Lösungen es gibt.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir die folgende Gleichung

4x^2 + 9x + 2 = 0.

Schritt 1: Der Faktor vor dem x^2 ist vier. Demnach verwenden wir die Diskriminante der Mitternachtsformel

D = b^2 - 4ac.

Schritt 2: Wir benötigen die Komponenten a, b und c. Diese sind

a = 4, b = 9 und c = 2.

Schritt 3: Nun nehmen wir alle gefundenen Komponenten und setzen sie in D ein. Damit erhalten wir

D = b^2 - 4ac = (9)^2 - 4 \cdot (4) \cdot (2) = 49.

Schritt 4: Da D = 49 > 0 gilt, hat 4x^2 + 9x + 2 = 0 zwei Lösungen.

Diskriminante Anwendung: Schnittstelle(n) zweier Funktionen

Nehmen wir an, dass wir zwei Funktionen f(x) und g(x) gegeben haben. Wir wollen die Werte für x finden, wo sich beide Funktionen schneiden; wir suchen also nach den Schnittstellen. Damit sich die Funktionen überhaupt an einer Stelle x schneiden, müssen die Funktionswerte gleich sein, das heißt

f(x) = g(x).

Wir können das folgendermaßen umformen.

h(x) = f(x) - g(x) = 0

Damit haben wir das Suchen der Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x) auf das Berechnen von Nullstellen der Funktion h(x) = f(x) - g(x) reduziert. Im speziellen Fall, dass die Differenz der beiden Funktionen eine quadratische Funktion ist, also

h(x) = ax^2 + bx + c,

können wir mit der Diskriminante bestimmen, ob h(x) Nullstellen besitzt. Damit stellen wir gleichzeitig fest, ob die Funktionen f(x) und g(x) Schnittstellen besitzen.

Diskriminante Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben aus.

Aufgabe 1: Diskriminante berechnen

Gegeben ist die folgende Gleichung

2,25x^2 + 5x +1 = 0.

(a) Besitzt diese quadratische Gleichung Lösungen und falls Ja, wie viele?

(b) Berechne gegebenenfalls die Lösung(en).

Lösung: Aufgabe 1

(a) Der Faktor vor dem Ausdruck x^2 ist nicht gleich 1. Daher verwenden wir die Diskriminante der Mitternachtsformel. Wir erhalten

D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4 \cdot 2,25 \cdot 1 = 16.

Damit ist D = 16 > 0 und somit gibt es zwei Lösungen.

(b) Zum Berechnen der Lösungen verwenden wir die Mitternachtsformel. Wir bekommen

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm 4}{4,5}

und damit gilt

x_1 = \frac{-5 + 4}{4,5} = -\frac{2}{9} und

x_2 = \frac{-5 - 4}{4,5} = -2.

Aufgabe 2: Diskriminante berechnen

Gegeben ist die folgende Gleichung

x^2 + 14x +13 = 0.

(a) Besitzt diese quadratische Gleichung Lösungen und falls Ja, wie viele?

(b) Berechne gegebenenfalls die Lösung(en).

Lösung: Aufgabe 2

(a) Der Faktor vor dem Ausdruck x^2 ist gleich 1. Daher verwenden wir die Diskriminante der pq-Formel. Wir erhalten

D = \left (\frac{p}{2}) \right^2 - q = \left (\frac{14}{2}) \right^2 - 13 = 36.

Damit ist D = 36 > 0 und es gibt zwei Lösungen.

(b) Zum Berechnen der Lösungen verwenden wir die pq-Formel. Wir bekommen

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2}) \right^2 - q} = -\frac{14}{2} \pm 6

und damit gilt

x_1 = -\frac{14}{2} + 6 = -1 und

x_2 = -\frac{14}{2} - 6 = -13.

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