Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Sammlungen von Objekten und den Regeln, um mit ihnen zu rechnen. Wie das funktioniert, zeigen wir dir hier und im Video.
Inhaltsübersicht
Mengenlehre: Was ist eine Menge?
Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten. Diese Objekte heißen Elemente.
Stell dir eine Menge A vor, die diese drei Tiere enthält:
A = {Katze, Hund, Vogel}
Katze und Hund sind Elemente von A. Das kannst du mit bestimmten mathematischen Symbolen darstellen:
- Katze ∈ A — Das Symbol ∈ bedeutet „ist Element von“. Das heißt, die Katze gehört zu A.
- Hamster ∉ A — Das Symbol ∉ bedeutet „ist nicht Element von“. Der Hamster gehört also nicht zu A, weil er nicht in den geschweiften Klammern steht.
Wichtig: Objekte, gehören nur zu einer Menge, wenn du sie in die geschweiften Klammern { } aufnimmst. Nur weil der Hamster auch ein Tier ist, bedeutet das nicht automatisch, dass er Teil der Menge A ist.
Die richtige Mengenschreibweise
Du hast drei Möglichkeiten, eine Menge darzustellen.
1. Aufzählung in geschweiften Klammern
Du listest alle Elemente direkt auf und setzt geschweifte Klammern darum:
➡️ Beispiel: A = {2, 4, 6, 8}
2. Ellipsenschreibweise mit „…“
Wenn du Mengen mit sehr vielen Elementen hast, schreibst du nur den Anfang, dann drei Punkte und dann das Ende:
➡️ Beispiel: B = {1, 2, 3, …, 100}
Die drei Punkte stehen für „und so weiter“. Die Menge B enthält also alle Zahlen von 1 bis 100.
Wichtig: Diese Schreibweise funktioniert nur, wenn wirklich alle Zahlen von 1 bis 100 Teil der Menge sind. Werden Zahlen ausgelassen, musst du alle Elemente einzeln aufschreiben.
3. Eigenschaftsschreibweise
Manchmal beschreibst du eine Menge über eine Bedingung. Die Schreibweise sieht so aus:
➡️ Beispiel: C = {x | x > 3}
Das bedeutet: „Zur Menge C gehört jedes x, für das gilt: x ist größer als 3.“
Schreibst du eine Menge auf, gelten immer zwei wichtige Regeln:
- Reihenfolge ist egal: {1, 2, 3} und {3, 1, 2} sind dieselbe Menge.
- Kein Element doppelt: {1, 2, 2, 3} schreibst du als {1, 2, 3}.
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Mächtigkeit und Gleichheit in der Mengenlehre
Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Du schreibst sie mit senkrechten Strichen:
|A| = Anzahl der Elemente in A
➡️ Beispiele:
| Menge | Mächtigkeit |
| A = {1, 2, 3, 4, 5} | |A| = 5 |
| B = {2, 4} | |B| = 2 |
| C = {1, 2, 3, 4, 5} | |C| = 5 |
| D = {1, 3, 5, 7} | |D| = 4 |
| E = {2, 4, 6, 6, 8} | |E| = 4 |
Wichtig: Wenn Zahlen doppelt vorkommen, musst du vorsichtig zählen: E hat die Mächtigkeit 4, nicht 5. Denn das Element 6 zählst du in einer Menge nur einmal.
Gleichheit von Mengen
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Zum Beispiel sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und C = {1, 2, 3, 4, 5} gleich. Deshalb gilt:
A = C
Dabei ist es egal, ob sich die Reihenfolge der Elemente in den Mengen unterscheidet. Auch Dopplungen spielen keine Rolle, da du die Elemente immer nur einmal zählst.
➡️ Beispiel: Die Menge F = {1, 2, 2, 3, 4} ist gleich zur Menge G = {3, 2, 4, 1}.
Es gilt F = G.
Teilmenge
Manchmal steckt eine Menge komplett in einer anderen drin. Dann nennst du sie eine Teilmenge.
➡️ Beispiel:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
D = {1, 3, 5, 7}
Je nachdem, welche Art von Teilmenge vorliegt, unterscheidest du drei Symbole:
- B ⊂ A — B ist eine echte Teilmenge von A. B enthält also weniger Elemente als A.
- B ⊆ A — B ist eine Teilmenge von A oder gleich A. Das heißt, B darf auch die gleichen Elemente wie A haben.
- B ⊄ A — B ist keine Teilmenge von A. Sie haben also keine gemeinsamen Elemente.
Für B = {2, 4} und A = {1, 2, 3, 4, 5} gilt zum Beispiel beides: B ⊂ A und B ⊆ A.
Wenn du aber A und C = {1, 2, 3, 4, 5} betrachtest, gilt nur C ⊆ A. Denn C enthält nicht weniger Elemente als A — die beiden Mengen sind gleich.
Vergleiche nun mal A = {1, 2, 3, 4, 5} und D = {1, 3, 5, 7}.
Du siehst, dass D eine 7 enthält. Die 7 ist aber kein Element von A, daher ist D auch keine Teilmenge von A. Du schreibst also: D ⊄ A
Die Element-Symbole ∈ und∉ stehen immer zwischen einem einzelnen Element und einer Menge.
Die Teilmengensymbole-Symbole ⊂, ⊆ und ⊄ stehen immer zwischen zwei Mengen.
Obermenge
Wenn eine Menge A alle Elemente von einer anderen Menge B enthält, ist A die Obermenge von B.
➡️ Beispiel:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
D = {1, 3, 5, 7}
Auch hier gibt es ja nach Art der Obermenge drei Symbole:
- A ⊃ B — A ist eine echte Obermenge von B. Das heißt, A enthält alle Elemente von B und noch mehr.
- A ⊇ B — A ist eine Obermenge von B oder gleich. Das heißt, A enthält alle Elemente von B, kann aber auch gleich B sein.
- A ⊅ B — A ist keine Obermenge von B. Das gilt, wenn A nicht alle Elemente von B enthält.
Für A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {2, 4} gilt zum Beispiel beides: A ⊃ B und A ⊇ B.
Für die Mengen A und C = {1, 2, 3, 4, 5} gilt aber wieder nur A ⊇ C, da A nicht mehr Elemente enthält als C.
Im Vergleich dazu enthält A = {1, 2, 3, 4, 5} nicht alle Elemente von D = {1, 3, 5, 7}. Daher ist A auch nicht die Obermenge von D. Du schreibst also: A ⊅ D
Ist B eine Teilmenge von A, bedeutet das gleichzeitig, dass A die Obermenge von B ist.
Leere Menge
Die leere Menge ∅ enthält gar keine Elemente. Das schreibst du so auf:
∅ = {}
Da die leere Menge keine Elemente enthält, hat sie eine Mächtigkeit von 0. Du schreibst:
|∅| = 0
Trotzdem gilt: ∅ ist eine Teilmenge jeder Menge. Da ∅ gar keine Elemente hat, enthält es auch kein Element, das nicht in A liegt. Also gilt immer:
∅ ⊆ A
Ja, es gibt verschiedene unendliche Mengen. Zum Beispiel die Mengen der natürlichen Zahlen 
, ganzen Zahlen 
, rationalen Zahlen 
und reellen Zahlen 
. Statt die Element aber einzeln aufzuzählen, nutzt du die entsprechenden Symbole.
➡️ Beispiele:
- B = {} — die Menge aller natürlichen Zahlen
- C = {} — die Menge aller rationaler Zahlen
- Auch Mengen mit bestimmten Eigenschaften können unendlich sein. Zum Beispiel: A = {x|x>5} — die Menge aller Zahlen, die größer als 5 sind.
Schnittmenge
Die Schnittmenge zeigt dir, welche Elemente sowohl in A als auch in B liegen.
➡️ Beispiel:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- B = {1, 3, 5, 7}
Die Elemente 1, 3 und 5 liegen in beiden Mengen. Das schreibst du so:
A ∩ B = {1, 3, 5}
Das Symbol ∩ liest du als „geschnitten mit“.
Elemente, die nur in einer Menge liegen, gehören nicht zur Schnittmenge.
Die Mengen B = {1, 3, 5, 7} und C = {2, 4, 6, 8} haben gar keine gemeinsamen Elemente. Das heißt, sie sind disjunkt. Das schreibst du so:
B ∩ C = ∅
Tipp: Um dir die Bedeutung von ∩ zu merken, stelle es dir wie eine Brücke vor. Sie verbindet, was A und B gemeinsam haben.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in A oder B oder in beiden liegen. Das schreibst du so:
➡️ Beispiel:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- B = {1, 3, 5, 7}
Du nimmst alle Elemente aus A und B zusammen. Das kannst du so schreiben:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
Das Symbol ∪ liest du als „vereinigt mit“.
Tipp: Das ∪ sieht aus wie ein u. Das kannst du benutzen, um die die Bedeutung zu merken: A ∪ B beschreibt die Menge von A ∪nd B.
Differenzmenge
Die Differenzmenge enthält alle Elemente aus A, die nicht in B liegen. Du ziehst also eine Menge von der anderen ab. Das schreibst du so:
➡️ Beispiel:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- B = {1, 3, 5, 7}
Du nimmst alle Elemente aus A und streichst die, die auch zu B gehören. Das trifft auf 1, 3 und 5 zu. Dann schreibst du:
A \ B = {2, 4}
Das kannst du lesen als „A ohne B„.
Wichtig: A \ B ist nicht dasselbe wie B \ A.
Hier würde gelten: B \ A = {7}.
Symmetrische Differenz
Die symmetrische Differenz von A und B ist die Menge aller Elemente, die entweder in A oder in B liegen — aber nicht in beiden Mengen.
➡️ Beispiel:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- B = {1, 3, 5, 7}
Du nimmst alle Elemente aus A und B und streichst die, die in beiden Mengen vorkommen. Dann bleiben 2, 4 und 7 übrig. Das schreibst du so auf:
A Δ B = {2, 4, 7}
Übrigens: Die symmetrische Differenz A Δ B ist das genaue Gegenteil der Schnittmenge A ∩ B.
Wenn du das Bild genau anschaust, erkennst du, dass sie gemeinsam die Vereinigungsmenge bilden. Daher gilt:
(A Δ B) + (A ∩ B) = A ∪ B
Komplement
Das Komplement ist die Menge aller Elemente, die nicht zu X gehören. Dafür gibt es zwei Schreibweisen:
XC oder 
Wenn du mit Komplementen arbeitest, ist meistens noch eine Obermenge oder eine Grundmenge U gegeben. Sie enthält alle Objekte, die in deiner Aufgabe überhaupt vorkommen können.
➡️ Beispiel:
- U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
Du nimmst alle Elemente aus U und streichst die, die in A liegen. Übrig bleibt:
AC= {6, 7, 8, 9, 10}
AC enthält alle Elemente der Grundmenge U, die nicht in A liegen. Also gilt immer: AC = U \ A
Potenzmenge
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von A. Dazu zählen auch die leere Menge ∅ und A selbst.
➡️ Beispiel:
A = {2, 4}
Das sind die möglichen Teilmengen von A:
- ∅ — die leere Menge
- {2} — nur die 1
- {4} — nur die 2
- {2, 4} — beide Elemente, also A selbst
Das schreibst du dann so auf:
P(A) = {∅, {2}, {4}, {2, 4}}
Wichtig: P(A) ist selbst eine Menge. Ihre Elemente sind aber keine einzelnen Zahlen, sondern ebenfalls Mengen.
Übungen zur Mengenlehre
Löse die folgenden Aufgaben und prüfe danach deine Antworten mit den Lösungen.
Aufgabe 1: Mengen lesen und aufschreiben
Gegeben ist die Menge A = {x | x > 4} mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Schreibe auf, welche Zahlen Element von A sind.
Lösung: A = {5, 6, 7}
Aufgabe 2: Element oder Teilmenge?
Gegeben ist die Menge B = {2, 4, 6, 8}. Entscheide, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:
| Aussage | Richtig oder falsch? |
| 4 ∈ B | richtig ✓ — 4 ist ein Element der Menge B |
| {4} ∈ B | falsch ✗ — die Menge {4} ist kein Element von B |
| {4} ⊆ B | richtig ✓ — die Menge {4} ist eine Teilmenge von B |
| 4 ⊆ B | falsch ✗ — 4 ist keine Menge, also auch keine Teilmenge von B |
Aufgabe 3: Schnitt-, Vereinigungs- und Differenzmenge
Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6}. Bestimme die Schnitt-, Vereinigungs- und Differenzmengen:
- A ∩ B = {3, 4}
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- A \ B = {1, 2}
- B \ A = {5, 6}
Aufgabe 4: Mächtigkeit und Gleichheit
Gegeben sind die Mengen C = {5, 3, 1} und D = {1, 3, 3, 5}.
- Wie groß ist |C|?
- Lösung: |C| = 3
- Wie groß ist |D|?
- Lösung: |D| = 3, denn die 3 taucht in einer Menge nur einmal auf.
- Gilt C = D?
- Lösung: Ja, denn beide Mengen enthalten genau die Elemente 1, 3 und 5. Reihenfolge und Duplikate spielen keine Rolle.
Aufgabe 5: Komplement
Gegeben sind die Grundmenge U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und die Menge A = {1, 3, 5, 7}. Bestimme AC.
AC = {2, 4, 6, 8}
Aufgabe 6: Potenzmenge
Gegeben ist die Menge A = {3, 6, 9}. Bestimme ihre Potenzmenge P(A), indem du erst alle möglichen Teilmengen notierst.
Teilmengen von A:
- ∅
- {3}
- {6}
- {9}
- {3, 6}
- {3, 9}
- {6, 9}
- {3, 6, 9}
P(A) ={∅, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}}
Zahlenmengen
Besondere Mengen in Mathe sind die Zahlenmengen. Erfahre in unserem Beitrag dazu, welche Elemente natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen haben!
