Zahlen
Zahlen begegnen uns im Alltag immer wieder. Alles, was du zum Thema Zahlen wissen solltest, erfährst du hier im Beitrag und im Video dazu.
Inhaltsübersicht
Was sind Zahlen?
Zahlen sind Zeichen, mit denen du beschreibst, wie viel von etwas vorhanden ist. Zum Beispiel kannst du mit einer Zahl sagen, wie viele Stifte du hast oder wie alt du bist.
Die einzelnen Bestandteile einer Zahl nennst du auch Ziffern. Beispielsweise besteht die Zahl 53 aus den Ziffern 5 und 3.
Zahlen gibt es schon sehr lange. Die alten Römer nutzten sie bereits. Allerdings bestanden die römischen Zahlen nicht aus den Ziffern 0 bis 9, sondern aus Buchstaben, wie X und V. Erst viel später wurden unsere heutigen Ziffern, die sogenannten arabischen Ziffern, eingeführt. Und noch später kamen in Europa dann die negativen Zahlen und Kommazahlen hinzu.
Um die Zahlen in verschiedene Kategorien einzuteilen, wurden die Zahlenmengen eingeführt.
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen ist die kleinste Kategorie. Sie enthält keine negativen Zahlen oder Kommazahlen, sondern nur die positiven, ganzen Zahlen. Das sind alle Zahlen, mit denen du Dinge in der Natur zählen kannst. Du hast zum Beispiel 2 Bäume im Garten oder 3 Geschwister.
Das Symbol der natürlichen Zahl ist das N mit einem Doppelstrich. Mathematiker streiten sich immer noch, ob die Zahl Null eine natürliche Zahl ist. Um Missverständnisse zu vermeiden, schreibst du 
für die Menge mit null und 
für die Menge ohne Null.
Die natürlichen Zahlen sind eine Menge der positiven, ganzen Zahlen. Sie enthält die 1 und jeden ganzzahligen Nachfolger. Ihr Symbol ist das 
:
![\[ \mathbb{N} = \{1,2,3,4...\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e25f7c3cd12c3d6b6558baa044b6493e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen enthalten neben den natürlichen zusätzlich die negativen Zahlen (-1, -2, -3…) und die Null. Kommazahlen, wie 1,4, gehören aber nicht dazu!
Mit den ganzen Zahlen kannst du zeigen, dass etwas fehlt. Wenn 3 Stifte fehlen, kannst du das ausdrücken als „-3 Stifte“.
Die ganzen Zahlen bestehen aus der Null und jedem ganzzahligen Nachfolger und Vorgänger. Ihr Symbol ist das 
:
![\[\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac63a511de8950bc0b9e8371966dac8d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rationale Zahlen
Mit den rationalen Zahlen kannst du auch den Bereich zwischen zwei ganzen Zahlen darstellen. Dazu gehören beispielsweise die 1,5 und -2,7. Das Besondere ist, dass du sie als Bruch
von zwei ganzen Zahlen darstellen kannst. Die rationale Zahl 1,5 entspricht dem Bruch 
.
Du benötigst rationale Zahlen, um beispielsweise einen halben Kuchen darzustellen.
Die rationalen Zahlen bestehen aus allen Zahlen, die sich durch einen Bruch aus ganzen Zahlen darstellen lassen. Ihr Symbol ist das 
.
![\[\mathbb{Q} = \{.. , \frac{-2}{6}, .. , -1, .. , \frac{3}{5}, .. , \frac{7}{6}, .. , 17, ..\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dcbefbac4a7e5e69197e0b0463b0e66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Reelle Zahlen
Es gibt allerdings auch Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Sie werden irrationale Zahlen
genannt. Dazu gehören beispielsweise die Zahl Pi (
) oder 
. Denn diese Zahlen haben unendlich viele Stellen hinter dem Komma und lassen sich daher nicht als Bruch darstellen. Zusammen mit den rationalen bilden sie die reellen Zahlen
.
Die reelle Zahl benötigst du, um beispielsweise die Fläche eines Kreises
zu berechnen.
Die Menge der reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen. Ihr Symbol ist das 
:
![\[\mathbb{R} = \{.. , -\pi, .. , -\sqrt{2}, .. ,-1, .. , 0, .. , \frac{1}{2}, .. , \sqrt{2}, .. \}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ffc77ee674ead72d24fb35e0d6aed38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zahlensysteme
Du schreibst Zahlen im Alltag mit den Ziffern 0 bis 9 auf, klar. Aus den 10 Ziffern können ja alle weiteren Zahlen gebaut werden. Dieses System, um Zahlen aufzuschreiben, ist das sogenannte Dezimalsystem . Neben dem Dezimalsystem gibt es aber auch weitere Systeme wie das Binärsystem oder das Hexadezimalsystem.
Binärsystem
Im Binärsystem verwendest du nur zwei Zeichen: 0 und 1. Hier siehst du, wie die Dezimalzahlen in Binärzahlen umgerechnet werden.
| Dezimalsystem | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Binärsystem | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 |
Beispielsweise verwenden Computer das Binärsystem zum Rechnen. Dabei steht 1 für „Strom fließt“ und 0 für „kein Strom fließt“.
Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem besteht aus 16 Zeichen. Dabei werden die ersten 10 Zeichen des Dezimalsystems verwendet und die 6 Buchstaben A, B, C, D, E, F hinzugefügt.
| Dezimalsystem | 1 | 2 | … 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Hexadezimalsystem | 1 | 2 | … 10 | A | B | C | D | E | F |
Das Hexadezimalsystem wird beispielsweise verwendet, um Farbcodes zu speichern. Dieses Blau entspricht dem Code 1B8AF2.
Römisches Zahlensystem
Das römische Zahlensystem basiert nur auf Buchstaben. Dabei stehen 7 verschiedene Buchstaben für folgende Dezimalzahlen:
| Dezimalsystem | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| römische System | I | V | X | L | C | D | M |
Um die Dezimalzahlen dazwischen darzustellen, werden verschiedene römische Zahlen kombiniert. Beispielsweise entspricht die 8 der Zahl VIII. Zum Umrechnen einer römischen Zahl in eine Dezimalzahl merkst du dir zwei Regeln:
- Regel 1: Zeichen, die rechts neben einem gleichen oder höheren Zeichen stehen, werden addiert.
- Regel 2: Zeichen, die links von einem höheren Zeichen stehen, werden subtrahiert.
Die Zahl XLII entspricht demnach 50 – 10 + 2 = 42!
Zahlen — häufigste Fragen
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Was ist eine Zahl?
Eine Zahl ist ein Zeichen, mit dem du eine Menge beschreiben kannst. Zum Beispiel kannst du mit einer Zahl ausdrücken, wie viele Äpfel an einem Baum hängen.
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Was sind Zahlen Definition?
Zahlen sind abstrakte, mathematische Objekte. Sie lassen sich in verschiedene Mengen unterteilen. Dazu gehören unter anderem: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen.
Primzahlen
Jetzt weißt du, was Zahlen sind und welche Rolle sie spielen. Dabei haben einige Zahlen besondere Eigenschaften. Primzahlen lassen sich beispielsweise nur durch 1 und sich selber teilen. Mehr dazu erfährst du hier in unserem Video.
