Mathematische Grundlagen

Du willst wissen, wie du Terme vereinfachen kannst und was du dabei beachten musst? In diesem Beitrag erklären wir es dir! %Schau dir auch unser Video zum Terme vereinfachen an, wenn du es anschaulich gezeigt bekommen willst.

Inhaltsübersicht

Wie vereinfacht man Terme?

Du musst dir nur diese paar Dinge merken, um Terme vereinfachen zu können: Wenn du mehrere Variablen mit dem gleichen Namen addierst, kannst du die Terme zusammenfassen und als eine Multiplikation schreiben:

    \begin{align*} \textcolor{red}{x} + \textcolor{red}{x} + \textcolor{red}{x} &= \textcolor{olive}{3}\textcolor{red}{x} \\ \end{align*}

Falls du multiplizierst oder dividierst, rechnest du die Zahlen und die Variablen getrennt voneinander:

    \begin{align*} \textcolor{olive}{3}\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{olive}{2}\textcolor{blue}{y} &= \textcolor{olive}{6}\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y} \\ \textcolor{olive}{8}\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y} : (\textcolor{olive}{2}\textcolor{red}{x}) &= \textcolor{olive}{4}\textcolor{blue}{y} \end{align*}

Wenn deine Terme komplizierter werden, musst du dich nur an diese Anleitung halten und du kannst jeden Term vereinfachen:

  1. Klammern auflösen
  2. Potenzen zusammenfassen
  3. Punktrechnung (mal, geteilt) berechnen
  4. Strichrechnung (plus, minus) berechnen
  5. Ergebnis überprüfen

Terme auflösen

Die Rechengesetze schreiben Dir eine feste Reihenfolge für das Vereinfachen vor: Als Erstes musst du die Klammern berücksichtigen. Anschließend befasst du dich mit den Potenzen im Term und vereinfachst hier soweit, wie es geht. Natürlich musst du auch beachten, dass immer Punkt vor Strich gilt und du in einem Term von links nach rechts rechnest.

1. Klammern auflösen

Schau dir das am besten an einem Beispiel an.

    \[  (2x + 4x) : 2 \]

Als erstes löst Du die Klammer auf, indem du alle Terme in der Klammer durch \textcolor{blue}{2} teilst.

    \[ (\textcolor{red}{2x} + \textcolor{teal}{4x}) \,\textcolor{blue}{: 2} = \textcolor{red}{2x} \,\textcolor{blue}{: 2} + \textcolor{teal}{4x} \,\textcolor{blue}{: 2} = x + 2x = 3x \]

Dannach machst du mit den nächsten Schritten weiter. In diesem Beispiel musst du nur noch die Punkt-vor-Strich-Regel beachten.

2. Potenzen zusammenfassen

Als nächstes multiplizierst du alle Variablen mit dem selben Namen. Das kannst du auch Potenzen zusammenfassen nennen.

    \[ x^3 \cdot 2x^1 : x^2 \]

Diesen Beispielterm kannst du zusammenfassen, indem du beim Multiplizieren die Hochzahlen (auch Exponenten genannt) addierst. Beim Dividieren musst du dagegen die Exponenten subtrahieren.

    \[ x^{ \textcolor{red}{3} } \cdot 2x^{ \textcolor{olive}{1} } : x^{ \textcolor{teal}{2} } = 2x^{\textcolor{red}{3} + \textcolor{olive}{1} - \textcolor{teal}{2} } = 2x^2 \]

3. Punktrechnung (mal, geteilt) berechnen

Nach dem Potenzen Zusammenfassen rechnest du alle anderen Punktrechnungen aus – also Multiplikation und Division. In diesem Schritt ist es besonders wichtig, dass du die Terme von links nach rechts zusammenfasst. Schaue dir das am besten an einem Beispiel an.

    \[x \cdot 2 \cdot y \cdot 2 \]

Natürlich rechnest du zuerst die Multiplikation, bevor du den Term weiter vereinfachen kannst. Dabei kümmerst du dich um jede Variable und die Zahlen einzeln. Hier erhältst du deshalb 2 mal 2 mal xy als Zwischenergebnis. xy kannst du nicht weiter zusammenfassen, weil es unterschiedliche Variablen sind.

    \[ \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{teal}{y} \cdot \textcolor{blue}{2} = \textcolor{blue}{2 \cdot 2}\textcolor{red}{x}\textcolor{teal}{y} = \textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{x}\textcolor{teal}{y} \]

4. Strichrechnung (plus, minus) berechnen

Der letzte Schritt im Terme auflösen sind die Additionen und Subtraktionen. Vergiss dabei nicht, dass du nur zwei Terme nur zusammen rechnen darfst, wenn sie die gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen haben. Rechne immer von links nach rechts, damit du mit den Vorzeichen nicht durcheinander kommst! Das Beispiel hilft dir es zu verstehen.

    \[  x - x^2 + x + y + 2y - xy \]

Hier kannst du x+x und y+2y addieren. x - x^2 oder 2y - xy kannst du nicht zusammen fassen, weil die Terme entweder unterschiedliche Variablen enthalten oder unterschiedliche Exponenten haben.

    \[ \textcolor{blue}{x} - x^2 + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{2y} - xy = \textcolor{blue}{2x} - x^2 + \textcolor{red}{3y} -xy \]

5. Ergebnis überprüfen

Der beste Weg zu überprüfen ob du dein Terme zusammenfassen geklappt hat, geht so: Du ersetzt deine Variablen durch Zahlen und schaust, ob du mit dem ursprünglichen und dem vereinfachten Term auf das gleiche Ergebnis kommst. Überprüfe zum Beispiel, ob der letzte Term richtig vereinfacht wurde. Hier kannst du für \textcolor{blue}{x = 2} und \textcolor{red}{y=3} einsetzen.

    \[ \begin{array}{rcl|rcl} \textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} + 2\cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} &=&      &  && \\ \textcolor{blue}{2} - 4 + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} + 2\cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} &=&      &  2\cdot \textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{2}^2 + 3\cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} &=& \\ \textcolor{blue}{2} - 4 + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} + 6 - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} &=& & 2\cdot \textcolor{blue}{2} - 4 + 3\cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} &=& \\ \textcolor{blue}{2} - 4 + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} + 6 - 6 &=& &  4 - 4 + 9 - 6 &=& \\ \textcolor{blue}{2} - 4 + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} + 6 - 6 &=&  3 \,\textcolor{green}{\checkmark} &  4 - 4 + 9 - 6 &=& 3 \,\textcolor{green}{\checkmark} \\ \end{array} \]

Terme zusammenfassen

Schaue Dir noch ein Beispiel an, für das du alle Rechenschritte brauchst.

    \[ 2 \cdot (x-y) + 5y + 2 y^2 \cdot 2 y^3 - y^3 - y^5 \]

Halte dich an die Rechenschritte, die wir dir eben gezeigt haben, und du hast keine Probleme den Term zu vereinfachen!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{2 \cdot (x-y)} + 5y + 2y^2 \cdot 2y^3- y^3 - y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{blue}{Klammer auflösen}} \\ 2x - 2y + 5y + 2\cdot2\cdot\textcolor{red}{y^2 \cdot y^3} - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{red}{Potenzen zusammenfassen}} \\ 2x - 2y + 5y + \textcolor{teal}{2\cdot2}\cdot y^5 - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{teal}{Multiplizieren}} \\ 2x \textcolor{olive}{- 2y + 5y} + 4 y^5 - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{olive}{Addieren}} \\ 2x + 3y + \textcolor{orange}{4 y^5} - y^3 \,\textcolor{orange}{- y^5} &= \quad | \,\text{\textcolor{orange}{Subtrahieren}}\\ 2x + 3y + 3 y^5 - y^3 \end{align*}

Um dein Ergebnis zu überprüfen kannst du für \textcolor{blue}{x=2} und \textcolor{red}{y=3} einsetzen. Wenn der ursprüngliche Term das gleiche Ergebnis wie dein vereinfachter Term liefert, hast du alles richtig gemacht.

    \[ \begin{array}{rcl|rcl} 2 \cdot ( \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{3}) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot \textcolor{red}{3}^2 \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^5 &=& & \\ 2 \cdot (-1) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot \textcolor{red}{3}^2 \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^5 &=& & \\ 2 \cdot (-1) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & \\ -2 + 15 + 18 \cdot 2 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{3} + 3 \cdot \textcolor{red}{3}^5 - \textcolor{red}{3}^3 &=& \\ -2 + 15 + 32 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{3} + 3 \cdot 243 - 27 &=& \\ -2 + 15 + 972 - 27 - 243 &=& 715 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 4 + 9 + 729 - 27 &=& 715 \,\textcolor{green}{\checkmark} \\ \end{array} \]

Terme vereinfachen Übungen

Probiere dich gleich an ein paar Aufgaben aus! Vereinfache die Terme und denke an die Rechenregeln!

Übung 1:

    \[ 3\cdot ( a + a) \cdot b - 2ab + 9a^2 : 3a = ? \]

Rechne zuerst die Klammer aus und arbeite dich danach von links nach rechts!

    \begin{align*} 3\cdot \textcolor{blue}{( a + a)} \cdot b - 2ab + 9a^2 : 3a &= \quad |\,\text{\textcolor{blue}{Klammer ausrechnen}} \\ 3 \cdot 2a \cdot b - 2ab + 9\textcolor{red}{a^2:}3\textcolor{red}{a} &= \quad |\,\text{\textcolor{red}{Potenzen zusammenfassen}}\\ \textcolor{teal}{3 \cdot 2a \cdot b} - 2ab + \textcolor{olive}{9a:3} &= \quad |\,\text{\textcolor{teal}{Multiplikation} und \textcolor{olive}{Division}}\\ \textcolor{orange}{6ab - 2ab} + 3a &= \quad |\,\text{\textcolor{orange}{Subtraktion}}\\ 4ab + 3a \end{align*}

Überprüfe dein Ergebnis mit \textcolor{red}{a=1} und \textcolor{blue}{b=3}.

    \[\begin{array}{rcl|rcl} 3\cdot ( \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}) \cdot \textcolor{blue}{3} - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 3\cdot 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 9\cdot 1 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& & 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{3} + 3 \cdot \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 3 &=& 15 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 12 + 3 &=& 15 \,\textcolor{green}{\checkmark} \\ \end{array}\]

Mit dem ursprünglichen und dem vereinfachten Term ist 15 das Ergebnis. Du hast also richtig vereinfacht!

Übung 2:

    \[ ( 2x+x) \cdot (y+y) - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot(z+z)^2 = ? \]

Vergiss nicht, dass du Summen auch als Multiplikation schreiben kannst!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{(2x+x)} \cdot \textcolor{blue}{(y+y)} - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot\textcolor{blue}{(z+z)}^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{blue}{Klammer ausrechnen}}\\ 3x \cdot 2y - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot \textcolor{red}{(2z)^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{red}{Klammer auflösen}}\\ 3x \cdot 2y - 3\textcolor{teal}{y^2z^3 : yz} + 2y \cdot 2^2z^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{teal}{Potenzen zusammenfassen}}\\ 3x \cdot 2y - 3yz^2 + 2y \cdot \textcolor{olive}{2^2}z^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{olive}{Potenzen ausrechnen}}\\ \textcolor{orange}{3x \cdot 2y} - 3yz^2 + \textcolor{orange}{2y \cdot 4 z^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{orange}{Multiplikation}}\\ 6xy \textcolor{magenta}{- 3yz^2 + 8yz^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{magenta}{Addition}}\\ 6xy + 5yz^2 \end{align*}

Zuletzt musst du noch überprüfen, ob das Term vereinfachen funktioniert hat. Setze zum Beispiel  \textcolor{red}{x = 2}, \textcolor{blue}{y = 3} und \textcolor{teal}{z = 4} in deine Gleichung ein.

    \[\begin{array}{rcl|rcl} (  2\cdot\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{2}) \cdot (\textcolor{blue}{3}+\textcolor{blue}{3}) - 3\cdot\textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{teal}{4}^3 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot(\textcolor{teal}{4}+\textcolor{teal}{4})^2 &=& \\ ( 6) \cdot (6) - 3\cdot\textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{teal}{4}^3 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot(8)^2 &=& \\ ( 6 ) \cdot (6) - 3\cdot9 \cdot 64 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 64 &=& & 6 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{teal}{4}^2 &=& \\ 36 - 27 \cdot 64 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 6\cdot 64 &=& & 6 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 16 &=& \\ 36 - 1728 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 384 &=& & 12 \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 16 &=& \\ 36 - 576 : \textcolor{teal}{4} + 384 &=& & 36 + 15 \cdot 16 &=& \\ 36 - 144 + 384 &=& 276 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 36 + 240 &=& 276 \,\textcolor{green}{\checkmark}\\ \end{array}\]

Du hast auf beiden Wegen ist 276 das Ergebnis. Du hast also alles richtig gemacht.

Gleichungen vereinfachen

Das Vereinfachen von Termen kann sehr nützlich sein, wenn du nach einer Variable umstellen und eine Gleichung auflösen willst. Schau dir deshalb unbedingt auch noch unser Video zum Thema Gleichungen lösen an, damit du mit Termen und Gleichungen auch richtig sicher umgehen kannst! %Verweis %Thumbnail Gleichungen lösen 

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