Analysis

Polstelle

Wenn du etwas über Polstellen erfahren möchtest, dann bist du an dieser Stelle genau richtig. In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Polstelle ist, wie sie sich von einer hebbaren Definitionslücke unterscheidet und geben dir eine Anleitung zur Berechnung von Polstellen.

Du bist nicht so der Lesetyp und würdest dir viel lieber ein Video ansehen statt einen Beitrag zu lesen? Keine Sorge, denn auch zum Thema Polstelle haben wir ein eigenes Video für dich.

Inhaltsübersicht

Polstelle einfach erklärt

Um eine Polstelle erklären zu können, musst du mit dem Konzept der Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion vertraut sein.

An den Definitionslücken einer Funktion kann viel passieren. Die Polstellen (verkürzt auch als Pol bezeichnet) sollen gerade diejenigen Definitionslücken sein, an denen die Funktionswerte gegen unendlich laufen. Man findet auch die etwas anschaulichere Bezeichnung Unendlichkeitsstelle. In dem folgenden Bild kannst du eine solche Polstelle bei x = 1 sehen.

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Beispiel einer Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion f(x).

Polstelle vs. hebbare Definitionslücke

Im vorherigen Abschnitt hatten wir erwähnt, dass sich an einer Definitionslücke die Funktion unterschiedlich verhalten kann. Das Verhalten kann man grob in zwei Kategorien einteilen

  • die Definitionslücke ist nicht nur Nullstelle des Nenners, sondern auch Nullstelle des Zählers – man spricht von einer hebbaren Definitionslücke, oder
  • die Definitionslücke ist eine Polstelle.

Im Fall der hebbaren Definitionslücke kannst du die Funktion an der Definitionslücke stetig fortsetzen. Darunter versteht man die Konstruktion einer neuen Funktion, die außerhalb der Definitionslücke exakt die gleichen Funktionswerte besitzt wie die ursprüngliche Funktion, an der hebbaren Definitionslücke gibst du aber einen Funktionswert vor. Dadurch verschwindet bei der neuen Funktion die Definitionslücke, du hast sie also behoben. Das kannst du im folgenden Bild sehen.

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Beispiel einer hebbaren Definitionslücke bei x = 1 (grüner Kreis).

Wenn du in der Funktion f(x) aus dem vorherigen Bild das Minus im Zähler x^2 - 1 zu einem Plus machst, das heißt

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x-1},

dann wird aus der hebbaren Definitionslücke eine Polstelle, da x = 1 nun nicht mehr eine Nullstelle des Zählers ist. Im Fall der Polstelle sagt man auch, dass sich die Funktion einer senkrechten Asymptote nähert, je näher die x-Werte an die Polstelle kommen. Das kannst du im folgenden Bild sehen.

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Polstelle bei x = 1 einer gebrochen rationalen Funktion f(x).

Vorzeichenwechsel bei einer Polstelle

Die Funktionswerte von Polynomen können sowohl positiv als auch negativ sein. Das gilt auch für die gebrochen rationalen Funktionen, die wir uns hier ansehen. Wir haben bereits erwähnt, dass die Funktionswerte an einer Polstelle gegen unendlich laufen. Bisher haben wir uns aber nur auf den Fall konzentriert, dass sich die Werte plus unendlich nähern. Natürlich können sich die Werte auch negativ unendlich nähern, je nachdem auf welcher Seite der Polstelle man sich befindet. In diesem Abschnitt untersuchen wir, wann die Funktionswerte gegen plus beziehungsweise minus unendlich laufen.

Ordnung der Polstelle

Wir führen zunächst das Konzept der Ordnung einer Polstelle ein. Hierzu musst du wissen, was die Vielfachheit einer Nullstelle ist. In Worten könnte man das folgendermaßen erklären

Vielfachheit einer Nullstelle

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft die Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung einer Funktion vorkommt.

Hier zwei Beispiele, um dieses Konzept zu illustrieren

  • Beispiel 1: Die Funktion f(x) = x^2 - 2x + 1 besitzt die Nullstelle x = 1 mit der Vielfachheit 2, denn die Funktion lässt sich schreiben als f(x) = (x-1)^2 = (x-1) \cdot (x-1). Die Nullstelle x = 1 kommt also zweimal vor.
  • Beispiel 2: Die Funktion f(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 4x - 8 besitzt die Nullstelle x = 2 mit der Vielfachheit 3 und die Nullstelle x = -1 mit der Vielfachheit 1, denn die Funktion lässt sich umformen zu f(x) = (x-2)^3 \cdot (x+1) = (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+1).

Das Finden der Linearfaktorzerlegung ist nicht immer einfach. Ein paar Beispiele kannst du in unseren Beiträgen zum Berechnen von Nullstellen und der Partialbruchzerlegung finden. 

Nehmen wir an, dass der Nenner die Nullstelle x_0 besitzt. Sofern x_0 nicht auch Nullstelle des Zählers ist, wissen wir bereits, dass x_0 dann eine Polstelle ist. Wenn aber x_0 auch die Nullstelle des Zählers ist, dann kommt es auf die Vielfachheit dieser Nullstelle an, ob x_0 eine Polstelle ist. Lass uns die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner mit k bezeichnen und die Vielfachheit im Zähler mit j

Es gelten dann folgende Zusammenhänge

  • ist j \geq k, dann ist x_0 eine hebbare Definitionslücke;
  • ist j < k, dann ist x_0 eine Polstelle und die Differenz k - j heißt Ordnung der Polstelle.

Hierzu ein paar Beispiele

  • Die Funktion f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} hat bei x = 1 eine hebbare Definitionslücke, weil sowohl der Zähler als auch der Nenner x = 1 als Nullstelle mit Vielfachheit 1 besitzen. In diesem Fall ist also j = 1 und k = 1.
  • Die Funktion f(x) = \frac{x^2 + 1}{x-1} hat bei x = 1 eine Polstelle, weil x = 1 nur Nullstelle des Nenners ist. In diesem Fall ist j = 0 und k = 1. Die Ordnung der Polstelle ist hier 1.

Ohne Vorzeichenwechsel

Wenn x_0 eine Polstelle und die Differenz k - j eine gerade Zahl ist, dann spricht man von Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Für den Begriff Vorzeichenwechsel findet man oft auch die Abkürzung VZW. Bei einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel läuft die Funktion auf beiden Seiten der Polstelle entweder gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich. Im folgenden Bild kannst du den Fall sehen, wenn sich die Funktion auf beiden Seiten plus unendlich nähert. Wenn du die Funktion umklappst, das heißt an der x-Achse spiegelst, dann bekommst du genau die andere Situation, bei der sich die Funktionswerte auf beiden Seiten minus unendlich nähern.

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Polstelle bei x = 3 ohne Vorzeichenwechsel.

Mit Vorzeichenwechsel

Es bleibt nur noch der Fall übrig, dass die Differenz k - j ungerade ist. Tritt dieser Fall ein, dann handelt es sich um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. In dieser Situation ändert sich das Vorzeichen, wenn du von der einen Seite der Polstelle zur anderen Seite wechselst. Das heißt, die Funktionswerte nähern sich links von der Polstelle minus (beziehungsweise plus) unendlich und rechts von der Polstelle plus (beziehungsweise minus) unendlich.

Im folgenden Bild siehst du den ersten Fall, wo die Funktion sich links von der Polstelle minus unendlich und rechts davon plus unendlich nähert.

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Polstelle bei x = 3 mit Vorzeichenwechsel – Beispiel 1.

 

Den umgekehrten Fall, bei dem sich die Funktionswerte links von der Polstelle plus unendlich und rechts davon minus unendlich nähern, kannst du im folgenden Bild sehen. In beiden Fällen ist die Polstelle x = 3.

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Polstelle bei x = 3 mit Vorzeichenwechsel – Beispiel 2.

Polstellen berechnen

In diesem letzten Abschnitt stellen wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung vor, mit der du ganz einfach die Polstellen einer gebrochen rationalen Funktion berechnen kannst. Zusätzlich werden wir dann diese Anleitung gemeinsam auf zwei Beispiele anwenden.

Schritt-für-Schritt Anleitung

Zum Polstellen berechnen kannst du die folgende Anleitung Schritt für Schritt verwenden

  • Schritt 1: Nullstellen des Nenners berechnen; hier werden die Definitionslücken bestimmt.
  • Schritt 2: Nullstellen des Zählers berechnen.
  • Schritt 3: Falls Zähler und Nenner gemeinsame Nullstellen haben, die Vielfachheit der gemeinsamen Nullstellen für Zähler (die Zahl j) und Nenner (die Zahl k) ermitteln. Besitzen Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen, dann sind die Nullstellen des Nenners bereits Polstellen.
  • Schritt 4: Die Vielfachheit dieser gemeinsamen Nullstellen miteinander vergleichen. Ist j < k, dann handelt es sich um eine Polstelle. Ist j \geq k, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.

Beispiele

Lass uns die Schritt-für-Schritt Anleitung auf zwei konkrete Funktionen anwenden.

Beispiel 1

Schauen wir uns eine Funktion an, deren Polstellen berechnet werden sollen

f(x) = \frac{2x - 4}{x - 3}.

Im ersten Schritt bestimmen wir die Nullstellen des Nenners. Der Nenner ist in diesem Fall x - 3 und dieser besitzt die Nullstelle x_{\mathsf{0 \ Nenner}} = 3

Im zweiten Schritt berechnen wir die Nullstellen des Zählers. Der Zähler ist 2x - 4 und hat die Nullstelle x_{\mathsf{0 \ Z \ddot{a} hler}} = 2

Im dritten Schritt vergleichen wir die Nullstellen miteinander. Wir sehen, dass der Zähler und Nenner keine gemeinsame Nullstelle besitzen. Somit ist die Nullstelle des Nenners x_{\mathsf{0 \ Nenner}} = 3 Polstelle der Funktion f(x) = \frac{2x - 4}{x - 3}.

Wenn wir uns nur für die Polstellen interessieren, wären wir an dieser Stelle bereits fertig. Lass uns aber dennoch die Vielfachheiten bestimmen, damit wir entscheiden können, ob wir eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel haben. Die Vielfachheit der Nullstelle x_0 = 3 ist im Zähler j = 0 (kommt im Zähler nicht vor) und im Nenner k = 1. Die Differenz 1 - 0 = 1 ist daher ungerade und somit haben wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Beispiel 2

Die zweite Funktion, die wir untersuchen, ist die Funktion

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1}.

Im ersten Schritt berechnen wir die Nullstellen des Nenners x - 1. Die einzige Nullstelle ist x_{\mathsf{0 \ Nenner}} = 1.

Im zweiten Schritt bestimmen wir die Nullstellen des Zählers x^2 - 1. Der Zähler besitzt die Nullstellen x_{\mathsf{0 \ Z \ddot{a} hler}} = \pm1.

Im dritten Schritt vergleichen wir die Nullstellen miteinander. Wir sehen, dass x_0 = 1 eine gemeinsame Nullstelle des Zählers und Nenners ist. Wir müssen daher die Vielfachheit dieser Nullstelle bestimmen, um feststellen zu können, ob wir eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke haben. Die Vielfachheit im Zähler ist j = 1, im Nenner k = 1

Im vierten und letzten Schritt vergleichen wir die Vielfachheiten miteinander. Wir sehen, dass j \geq k ist. Damit ist die Stelle x_0 = 1 eine hebbare Definitionslücke und keine Polstelle der untersuchten Funktion f(x).

Auch hier wären wir an dieser Stelle fertig, wenn wir uns nur für die Polstelle interessieren. Wir zeigen dir aber kurz, wie der Prozess der stetigen Fortsetzung einer Funktion abläuft.

Wir haben die Funktion f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} und wissen, dass der Nenner und Zähler die Nullstelle x = 1 besitzen. Zusätzlich konnten wir bestimmen, dass es sich dabei um eine hebbare Definitionslücke handelt, das heißt wir können die Funktion stetig fortsetzen. Außerhalb der Stelle x = 1 gilt

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x + 1.

Wir können hier den gemeinsamen Faktor x - 1 kürzen, weil wir die Problemstelle x = 1 hier nicht betrachten. Damit der Graph der neuen Funktion „verbunden“ ist, müssen wir zusätzlich fordern, dass die neue Funktion an der Stelle x = 1 den Wert 2 annimmt. Wenn wir dann diese beiden Teilfunktionen miteinander „verkleben“, erhalten wir eine Funktion, die den Eindruck erweckt, dass man sie in einem Zug malen könnte.

 


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