Zahlenfolgen

Zahlenfolgen einfach erklärt

Eine Zahlenfolge ist eine Aneinanderreihung von Zahlen, die nach einem bestimmten Muster fortgeführt wird. Dabei ordnest du jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl zu:

(a_n) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …

Die Folgenglieder a₁ = 2, a₂ = 4 und a₃ = 6 zeigen dir, dass du eine natürliche Zahl n immer mit 2 multiplizierst, um das n-te Folgenglied zu bekommen. Dieses Muster kannst du nun auch allgemein als Bildungsvorschrift darstellen: 

a_n = 2 · n

Es gibt viele verschiedene Zahlenfolgen:

• (a_n) = 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …
• (a_n) = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
• (a_n) = 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …

Zahlenfolgen — Bildungsvorschrift 

Mit einer Bildungsvorschrift stellst du eine Zahlenfolge allgemein dar. So musst du nicht die ganze Zahlenfolge aufschreiben, sondern kannst einfach die Bildungsvorschrift zum Berechnen der Folgenglieder nennen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten.

Explizite Bildungsvorschrift

Wenn du die Zahlenfolge ohne ein vorheriges Folgenglied allgemein darstellen kannst, dann sprichst du von einer expliziten Bildungsvorschrift: 

a_n = 2 · n

Hier kannst du jedes Folgenglied bestimmen, ohne irgendein anderes Folgenglied zu kennen. Du setzt für n einfach eine natürliche Zahl ein, multiplizierst sie mit 2 und bekommst ein entsprechendes Folgenglied a_n raus. Setze zum Beispiel n = 1, n = 3 und n = 10 ein:

a₁ = 2 · 1 = 2
a₃ = 2 · 3 = 6
a₁₀ = 2 · 10 = 20

Rekursive Bildungsvorschrift

Wenn sich ein Folgenglied aus dem Folgenglied davor ergibt, dann ist das eine rekursive Bildungsvorschrift:

a_n = a_n-1 + 2

Hier addierst du auf das jeweilige vorherige Folgenglied a_n-1 die Zahl 2. Dafür muss ein Anfangsglied wie zum Beispiel a₁ = 3 gegeben sein, damit du a₂ berechnen kannst. Du addierst also 3 + 2 und bekommst so a₂ = 5 heraus:

a₂ = a_2-1 + 2 = 3 + 2 = 5

Das Gleiche machst du nun auch mit weiteren Folgengliedern, um die Zahlenfolge zu berechnen:

a₃ = a_3-1 + 2 = 5 + 2 = 7
a₄ = a_4-1 + 2 = 7 + 2 = 9

Zahlenfolgen und Bildungsvorschriften — Beispiele

Damit du dir besser vorstellen kannst, was eine Zahlenfolge und ihre Bildungsvorschrift sind, schau dir die folgenden Beispiele an: 

1. (a_n) =  2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …
   Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = a_n-1 + 2 ; a₁ = 2
   
   
2. (a_n) =  1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
   Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = 2 ·  a_n-1 ; a₁ = 1
   
   
3. (a_n) =  1 ; ; ; ; … 
   Explizite Bildungsvorschrift: a_n = 
   
   
4. (a_n) = 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …
   Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = a_n-1 + a_n-2 ; a₁ = a₂ = 1
   → Das ist die sogenannte Fibonacci Folge
   
   
5. (a_n) = 1 ; -2 ; 3 ; -4 ; 5 ; -6 ; …
   Explizite Bildungsvorschrift: a_n = (-1)ⁿ⁺¹ · n 
   
   

Zahlenfolgen — Eigenschaften

Eine Zahlenfolge kann verschiedene Eigenschaften aufweisen:

1. Monoton fallend: Werden alle Folgenglieder ohne Ausnahme immer kleiner oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton fallend (a_n+1 ≤ a_n)
   → Beispiel: (a_n) = 5 – n · 2
2. Monoton wachsend: Werden alle Folgenglieder ohne Ausnahme immer größer oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton wachsend (a_n+1 ≥ a_n)
   → Beispiel: (a_n) = n²
   
   Du kannst eine Zahlenfolge als streng monoton wachsend (a_n+1 > a_n) oder fallend (a_n+1 < a_n) bezeichnen, wenn die Folgenglieder immer größer bzw. immer kleiner werden, aber nie gleich bleiben. 
   
   
3. Nach unten beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn die Folgenglieder nie kleiner als ein bestimmter Wert t werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert t nach unten beschränkt (a_n ≥ t)
   → Beispiel: (a_n) = n² durch t = 1 nach unten beschränkt
   

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4. Nach oben beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, wenn die Folgenglieder nie größer als ein bestimmter Wert s werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert s nach oben beschränkt (a_n ≤ s)
   → Beispiel: (a_n) = 5 – n · 2 durch s = 3 nach oben beschränkt
   

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   Eine Zahlenfolge kannst du als beschränkt bezeichnen, wenn sie sowohl durch einen Wert t nach unten als auch durch einen Wert s nach oben beschränkt wird (t ≤ a_n ≤ s).
   
   
5. Alternierend: Hat bei einer Zahlenfolge jedes Folgenglied ein anderes Vorzeichen als das vorherige Zahlenglied, dann ist die Zahlenfolge alternierend (a_n+1 · a_n < 0). 
   → Beispiel: (a_n) = (-2)ⁿ
   
   
6. Konstant: Wenn jedes Folgenglied gleich ist, dann ist die Zahlenfolge konstant (a_n+1 = a_n)  
   → Beispiel: (a_n) = a_n-1 ; a₁ = 1

Zahlenfolge — häufigste Fragen

• Was ist eine Zahlenfolge?
  Eine Zahlenfolge besteht aus mehreren Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Du kannst die Folgenglieder der Zahlenfolge bestimmen, wenn du auf den Anfangswert eine Zahl addierst, subtrahiert, multiplizierst oder dividierst. Dein Ergebnis ist dann wieder der Anfangswert beim Berechnen des nächsten Zahlenglieds.
  
  
• Was ist eine Bildungsvorschrift?
  Eine Bildungsvorschrift ist eine Möglichkeit, eine Zahlenfolge allgemein darzustellen. So kannst du jedes Folgenglied berechnen und brauchst nicht die ganze Zahlenfolge aufzuschreiben. Wenn du jedes Folgenglied ohne ein vorheriges Folgenglied berechnen kannst, sprichst du von einer expliziten Bildungsvorschrift, sonst ist es eine rekursive Bildungsvorschrift.

Fibonacci Folge

Super! Du weißt jetzt, was eine Zahlenfolge ist und wie du sie bildest. Die Fibonacci Folge ist eine besondere Zahlenfolge. Willst du mehr über sie wissen, dann schau direkt im Video vorbei!