Wertebereich
Du willst wissen, was sich hinter den Begriffen Wertemenge oder Wertebereich verbirgt? Das erklären wir dir in diesem Artikel anschaulich mit vielen Beispielen und Bildern.
Möchtest du die Wertemenge verschiedener Funktionen anschaulich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video an.
Wertebereich einfach erklärt
Den Wertebereich einer Funktion verwendest du jedes mal indirekt, wenn du die Funktion zeichnest, oder auch nur einen konkreten Wert berechnest. Oft wird die Wertemenge gemeinsam mit dem Definitionsbereich im ersten Teil einer Kurvendiskussion
verlangt.
Um den Wertebereich einer Funktion mit
zu bestimmen, musst du herausfinden, welche y-Werte in
enthalten sind. Das heißt, du beantwortest die Frage:
Welche y-Werte kann ich als Ergebnis der Funktion erhalten?
In der unten stehenden Graphik wird der Wertebereich für im Intervall
(Definitionsbereich) angezeigt.
Definitionsbereich und Wertebereich
Wie du im obigen Bild siehst, sind die Begriffe Definitionsbereich und Wertebereich eng miteinander verknüpft. Insbesondere ist die Wertemenge immer von der Definitionsmenge der Funktion abhängig.
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten: Wenn nur auf einem bestimmten Intervall
definiert ist, besteht die Wertemenge nur aus den Werten, die
in diesem Intervall annehmen kann. In diesem Fall bestimmst du die Funktionswerte
,
und die lokalen Extrempunkte im Intervall
. Somit erhältst du – wie im Bild – die Grenzen des Wertebereichs.
Schwieriger ist es, wenn wir ein offenes Intervall betrachten. Dann musst du zuerst eine Grenzwertbetrachtung durchführen um festzustellen, wie sich
an den Grenzen des Definitionsbereichs verhält. Die formale Anleitung für das Vorgehen dann findest du weiter unten im Text.
Wertebereich berechnen
Du musst die Wertemenge einer Funktion zwar immer individuell bestimmen, aber trotzdem gibt es auch hier bestimmte Schemata. Im letzten Abschnitt findest du ein ganz allgemeines Vorgehen. Da es jedoch etwas komplexer ist, zeigen wir dir zuerst, wie du den Wertebereich für bestimmte Funktionen bestimmten kannst.
Wertebereich linearer Funktionen
Eine lineare Funktion der Form beschreibt im Koordinatensystem eine Gerade mit Steigung
und y-Achsenabschnitt
. Sie ist für alle reellen Zahlen definiert, d.h.
. Weil bei einer Geraden jeder y-Wert zu genau einem x-Wert gehört (man sagt auch, dass die Funktion bijektiv
ist), und du für
jede Zahl einsetzen kannst, ist auch dein Wertebereich
.
Eine Ausnahme bilden hier selbstverständlich die konstanten Funktionen , die die Steigung
haben. Sie nehmen nur den einen Wert
an, der in diesem Fall auch das einzige Element im Wertebereich ist. Die Funktion
hat für alle x-Werte immer den Wert
, somit ist
Ein typisches Beispiel für eine lineare Funktion siehst du hier abgebildet.
Die Graphik zeigt den Funktionsgraph der linearen Funktion . Ihre Wertemenge ist
.
Betrachtest du eine lineare Funktion nur in einem bestimmten Intervall
, so ist die Wertemenge (wegen Monotonie) immer das Intervall
.
Für die Funktion im Intervall
, hat dann dein Wertebereich die Grenzen
und
. Somit ist
. Wie du im Bild oben direkt ablesen kannst.
Wertebereich quadratischer Funktionen
Eine quadratische Funktion beschreibt im Koordinatensystem eine Parabel. Je nachdem, ob
in der Gleichung positiv oder negativ ist, ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet. Um die zugehörige Wertemenge zu bestimmen, musst du daher den Scheitelpunkt bestimmen. Er ist das Maximum oder das Minimum der Funktion und somit auch die obere beziehungsweise untere Grenze des Wertebereichs.
Im Bild siehst du die Graphen der beiden Funktion (lila) und
(blau).
ist nach oben geöffnet und hat den Scheitel beim Punkt
. Der Wertebereich ist somit
. Die blaue Parabel
ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt
. Der Wertebereich ist daher
.
Wertebereich Polynome höherer Ordnung
Allgemein kannst du Polynome höherer Ordnung immer in zwei Teile gliedern. Dazu betrachtest du den höchsten Exponenten des Polynoms. Er entscheidet, wie sich die Funktion global verhält. Je nachdem, ob dieser Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist, ergibt sich somit auch ein anderer Wertebereich.
Polynome ungerader Ordnung verhalten sich dabei ähnlich zu den linearen Funktionen. Das ist insofern logisch, dass eine lineare Funktion ja ein Polynom erster Ordnung ist. Der Wertebereich ist hier immer .
Ungerade Ordnung bedeutet gerade, dass der größte Exponent des Polynoms eine ungerade Zahl ist. Beispiele dafür sind
-
(grün)
-
(blau)
-
(lila)
Für alle Polynome, bei denen der größte Exponenten eine gerade Zahl ist, gehst du analog wie bei den Parabeln vor. Dazu berechnest du das globale Minimum oder Maximum und bestimmst damit den Wertebereich. Beispiele dafür sind:
-
(grün)
-
(lila)
-
(blau)
Wertebereich weiterer wichtiger Funktionen
Bei linearen und bei quadratischen Funktionen ist das bestimmen des Wertebereichs gar nicht schwer. Wir wollen uns noch den Wertebereich besonderer Funktionen genauer anschauen.
Wertemenge e-Funktion und ln
Die Wertemenge der e-Funktion kannst du direkt an ihrem Graph ablesen. hat als Definitionsmenge
und nimmt nur positive Werte an. Somit ist
. Da es sich bei
um die Umkehrfunktion
von
handelt, sind hier Definitionsmenge und Wertebereich vertauscht. Daher hat
die Definitionsmenge
und die Wertemenge
.
Wertebereich Sinus und Cosinus
Sowohl als auch
nehmen nur Werte zwischen
und
an, weswegen
Wertemenge gebrochen rationale Funktion
Etwas komplizierter wird es, wenn die zu untersuchende Funktion an einigen Stellen nicht stetig ist. Das ist beispielsweise bei gebrochen rationalen Funktionen der Fall. Hier musst du zuerst die Unstetigkeitsstellen bestimmen, und daran anschließend jedes Intervall dazwischen separat untersuchen.
Im Bild siehst du den Graphen der gebrochen rationalen Funktion . An den Stellen
und
haben wir hier jeweils eine Definitionslücke. Um den Wertebereich zu bestimmen, betrachten wir daher die Intervalle
,
,
,
) unabhängig voneinander. In
und
nimmt
nur positive Werte an, hier ist
. In den beiden anderen Intervallen sind wir strikt kleiner Null, damit ist die Wertemenge hier
. Insgesamt stellen wir also fest, dass
jeden Wert außer Null annehmen kann, daher ist die globale Wertemenge hier
Die genaue Vorgehensweise, wie du das Schritt für Schritt herausfinden kannst. findest du im nächsten Abschnitt beschrieben.
Wertebereich bestimmen – allgemeines Vorgehen
Wenn du den Wertebereich einer Funktion bestimmen möchtest, gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, die wir dir hier erklären. Je nachdem, wie deine Funktion aussieht, kann es aber auch vorkommen, dass du einzelne Schritte überspringen kannst.
-
Schritt 1: Finde heraus, ob deine Funktion
auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Untersuche sie dabei insbesondere auf Polstellen. Hast du solche Unstetigkeitsstellen gefunden, musst du die nächsten Schritte jeweils unabhängig voneinander auf die Intervalle zwischen den Unstetigkeitsstellen durchführen.
-
Schritt 2: Bestimme alle lokalen Extrempunkte im Definitionsbereich. Das sind die Nullstellen der Ableitung
.
Berechne die zugehörigen Funktionswerte, das heißt setze die Nullstellen der Ableitung in die ursprüngliche Funktion
ein.
-
Schritt 3: Berechne die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs. Dazu kannst du entweder die Grenzen des Definitionsbereichs direkt einsetzen, oder du führst eine Grenzwertbetrachtung durch und bestimmst den entsprechenden Limes
.
- Schritt 4: Leite nun aus den Ergebnissen der Schritte 1 bis 3 ab, wie sich die Funktion global verhält.