Mathematische Grundlagen

Wertebereich

Du willst wissen, was sich hinter den Begriffen Wertemenge oder Wertebereich verbirgt? Das erklären wir dir in diesem Artikel anschaulich mit vielen Beispielen und Bildern

Möchtest du die Wertemenge verschiedener Funktionen anschaulich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video %Video hier verlinkenan. 

Inhaltsübersicht

Wertebereich einfach erklärt

Den Wertebereich einer Funktion verwendest du jedes mal indirekt, wenn du die Funktion zeichnest, oder auch nur einen konkreten Wert berechnest. Oft wird die Wertemenge gemeinsam mit dem Definitionsbereich %Verlinken wenn verfügbar im ersten Teil einer Kurvendiskussion%Verlinken wenn verfügbar verlangt. 

Um den Wertebereich einer Funktion f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{W} mit f(x) = y zu bestimmen, musst du herausfinden, welche y-Werte in \mathbb{W} enthalten sind. Das heißt, du beantwortest die Frage:

Welche y-Werte kann ich als Ergebnis der Funktion erhalten?

In der unten stehenden Graphik wird der Wertebereich für f(x) im Intervall [1;  4,5] (Definitionsbereich) angezeigt. 

Definitionsbereich Wertebereich Funktion Intervall
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Definitionsbereich und Wertebereich

Definitionsbereich und Wertebereich

Wie du im obigen Bild siehst, sind die Begriffe Definitionsbereich und Wertebereich eng miteinander verknüpft. Insbesondere ist die Wertemenge immer von der Definitionsmenge der Funktion abhängig. 

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten: Wenn f(x) nur auf einem bestimmten Intervall [a,b] definiert ist, besteht die Wertemenge nur aus den Werten, die f in diesem Intervall annehmen kann. In diesem Fall bestimmst du die Funktionswerte f(a), f(b) und die lokalen Extrempunkte im Intervall [a,b]. Somit erhältst du – wie im Bild – die Grenzen des Wertebereichs. 

Schwieriger ist es, wenn wir ein offenes Intervall  (a,b) betrachten. Dann  musst du zuerst eine Grenzwertbetrachtung durchführen um festzustellen, wie sich f(x) an den Grenzen des Definitionsbereichs verhält. Die formale Anleitung für das Vorgehen dann findest du weiter unten im Text. 

Wertebereich berechnen

Du musst die Wertemenge einer Funktion zwar immer individuell bestimmen, aber trotzdem gibt es auch hier bestimmte Schemata. Im letzten Abschnitt findest du ein ganz allgemeines Vorgehen. Da es jedoch etwas komplexer ist, zeigen wir dir zuerst, wie du den Wertebereich für bestimmte Funktionen bestimmten kannst.

Wertebereich linearer Funktionen

Eine lineare Funktion der Form f(x) = mx+t beschreibt im Koordinatensystem eine Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt t. Sie ist für alle reellen Zahlen definiert, d.h. \mathbb{D} = \mathbb{R}. Weil bei einer Geraden jeder y-Wert zu genau einem x-Wert gehört (man sagt auch, dass die Funktion bijektiv ist), und du für x jede Zahl einsetzen kannst, ist auch dein Wertebereich \mathbb{W} = \mathbb{R}

Eine Ausnahme bilden hier selbstverständlich die konstanten Funktionen f(x) = c, die die Steigung m=0 haben. Sie nehmen nur den einen Wert c an, der in diesem Fall auch das einzige Element im Wertebereich ist. Die Funktion f(x) = 3 hat für alle x-Werte immer den Wert 3, somit ist \mathbb{W}=\{3\}.

Ein typisches Beispiel für eine lineare Funktion siehst du hier abgebildet. 

lineare Funktion Gerade Steigung
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Beispiel: Lineare Funktion

Die Graphik zeigt den Funktionsgraph der linearen Funktion f(x) = 0,5x+1. Ihre Wertemenge ist \mathbb{W} = \mathbb{R}

Betrachtest du eine lineare Funktion f(x) = mx+t nur in einem bestimmten Intervall [a,b], so ist die Wertemenge (wegen Monotonie) immer das Intervall [f(a), f(b)].

Wertebereich Definitionsbereich lineare Funktion
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Beispiel: Wertebereich einer lineare Funktion im Intervall [2,6]

 

Für die Funktion f(x)= \frac{-1}{2}x+4 im Intervall [2,6], hat dann dein Wertebereich die Grenzen f(2) = 3 und f(6)=1. Somit ist \mathbb{W} = [1, 3]. Wie du im Bild oben direkt ablesen kannst.

Wertebereich quadratischer Funktionen

Eine quadratische Funktion f(x) = ax^2+bx+c beschreibt im Koordinatensystem eine Parabel. Je nachdem, ob a in der Gleichung positiv oder negativ ist, ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet. Um die zugehörige Wertemenge zu bestimmen, musst du daher den Scheitelpunkt bestimmen. Er ist  das Maximum oder das Minimum der Funktion und somit auch die obere beziehungsweise untere Grenze des Wertebereichs.

Wertebereich quadratische Funktion Parabel
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Beispiel: Wertebereich quadratischer Funktionen

 

Im Bild siehst du die Graphen der beiden Funktion f(x)=x^2-4x+6 (lila) und g(x) = -0,5x^2+5x-8 (blau). f(x) ist nach oben geöffnet und hat den Scheitel beim Punkt P=(2|2). Der Wertebereich ist somit \mathbb{W} = [2, \infty). Die blaue Parabel g(x) ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt Q=(5|4,5). Der Wertebereich ist daher \mathbb{W} = (-\infty, 4,5].

Wertebereich Polynome höherer Ordnung

Allgemein kannst du Polynome höherer Ordnung immer in zwei Teile gliedern. Dazu betrachtest du den höchsten Exponenten des Polynoms. Er entscheidet, wie sich die Funktion global verhält. Je nachdem, ob dieser Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist, ergibt sich somit auch ein anderer Wertebereich. 

Polynome ungerader Ordnung verhalten sich dabei ähnlich zu den linearen Funktionen. Das ist insofern logisch, dass eine lineare Funktion ja ein Polynom erster Ordnung ist. Der Wertebereich ist hier immer \mathbb{W} = \mathbb{R}

Ungerade Ordnung bedeutet gerade, dass der größte Exponent des Polynoms eine ungerade Zahl ist. Beispiele dafür sind

  • f(x)= x^7+4x^4 (grün)
  • g(x) = 2x^5+3x^4+x+1 (blau)
  • h(x)=x^3+2x^2-1 (lila)
Funktionen ungerader Exponent Wertemenge
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Beispiel: Funktionen ungerader Ordnung

 

Für alle Polynome, bei denen der größte Exponenten eine gerade Zahl ist, gehst du analog wie bei den Parabeln vor. Dazu berechnest du das globale Minimum oder Maximum und bestimmst damit den Wertebereich. Beispiele dafür sind:

  • h(x) = 2x^4+x^3-4x^2+2 (grün)
  • f(x) = x^{10}+x^8-3x^3 (lila)
  • g(x)=-x^6+x^5-x^3+5 (blau)
Funktionen gerader Exponent
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Beispiel: Funktionen gerader Ordnung

Wertebereich weiterer wichtiger Funktionen

Bei linearen und bei quadratischen Funktionen ist das bestimmen des Wertebereichs gar nicht schwer. Wir wollen uns noch den Wertebereich besonderer Funktionen genauer anschauen.

Wertemenge e-Funktion und ln

Die Wertemenge der e-Funktion kannst du direkt an ihrem Graph ablesen. f(x) = e^x hat als Definitionsmenge \mathbb{D}=\mathbb{R} und nimmt nur positive Werte an. Somit ist \mathbb{W}=\mathbb{R}^+. Da es sich bei \ln(x) um die Umkehrfunktion%Verlinken wenn verfügbar von e^x handelt, sind hier Definitionsmenge und Wertebereich vertauscht. Daher hat \ln(x) die Definitionsmenge \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ und die Wertemenge \mathbb{W}=\mathbb{R}.

e-Funktion ln e^x Umkehrfunktion
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Beispiel e-Funktion und ln-Funktion

Wertebereich Sinus und Cosinus

Sowohl \sin(x) als auch \cos(x) nehmen nur Werte zwischen 1 und -1 an, weswegen \mathbb{W} = [-1,1]

Wertebereich sinus cosinus
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Beispiel: Wertebereich Sinus und Cosinus

Wertemenge gebrochen rationale Funktion

Etwas komplizierter wird es, wenn die zu untersuchende Funktion an einigen Stellen nicht stetig ist. Das ist beispielsweise bei gebrochen rationalen Funktionen der Fall. Hier musst du zuerst die Unstetigkeitsstellen bestimmen, und daran anschließend jedes Intervall dazwischen separat untersuchen.

gebrochen rationale Funktion Asymptote Definitionslücke
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Beispiel: gebrochen rationale Funktion

 

Im Bild siehst du den Graphen der gebrochen rationalen Funktion f(x) = \cfrac{2}{x^3+2x^2-8x}. An den Stellen x_1=-4, x_2=0 und x_3=2 haben wir hier jeweils eine Definitionslücke. Um den Wertebereich zu bestimmen, betrachten wir daher die Intervalle (-\infty, -4), (-4, 0), (0, 2), (2, \infty) unabhängig voneinander. In (-\infty, -4) und (0, 2) nimmt f(x) nur positive Werte an, hier ist \mathbb{W} = \mathbb{R}^+. In den beiden anderen Intervallen sind wir strikt kleiner Null, damit ist die Wertemenge hier \mathbb{R}^-. Insgesamt stellen wir also fest, dass f(x) jeden Wert außer Null annehmen kann, daher ist die globale Wertemenge hier \mathbb{W}= \mathbb{R} \setminus\{0\}.

 Die genaue Vorgehensweise, wie du das Schritt für Schritt herausfinden kannst. findest du im nächsten Abschnitt beschrieben. 

Wertebereich bestimmen – allgemeines Vorgehen

Wenn du den Wertebereich einer Funktion bestimmen möchtest, gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, die wir dir hier erklären. Je nachdem, wie deine Funktion aussieht, kann es aber auch vorkommen, dass du einzelne Schritte überspringen kannst.

  • Schritt 1: Finde heraus, ob deine Funktion f(x) auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Untersuche sie dabei insbesondere auf Polstellen. Hast du solche Unstetigkeitsstellen gefunden, musst du die nächsten Schritte jeweils unabhängig voneinander auf die Intervalle zwischen den Unstetigkeitsstellen durchführen. 
  • Schritt 2: Bestimme alle lokalen Extrempunkte im Definitionsbereich. Das sind die Nullstellen der Ableitung f'(x).%Ableitung verlinken Berechne die zugehörigen Funktionswerte, das heißt setze die Nullstellen der Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x) ein. 
  • Schritt 3: Berechne die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs. Dazu kannst du entweder die Grenzen des Definitionsbereichs direkt einsetzen, oder du führst eine Grenzwertbetrachtung durch und bestimmst den entsprechenden Limes \lim f(x).
  • Schritt 4: Leite nun aus den Ergebnissen der Schritte 1 bis 3 ab, wie sich die Funktion global verhält. 

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