Bewegungsgleichungen
Was die Bewegungsgleichungen sind und wie sie miteinander in Verbindung stehen, erfährst du hier !
Inhaltsübersicht
Bewegungsgleichungen einfach erklärt
Die Bewegungsgleichungen beschreiben, wie sich ein Körper im Raum im Laufe der Zeit verhält.
Dabei basiert die reine Bewegung des Körpers auf den zwei Hauptgrößen Strecke in Meter und Zeit in Sekunden. Um den Zusammenhang zwischen Strecke und Zeit zu beschreiben, werden weitere Begriffe wie Geschwindigkeit und Beschleunigung eingeführt.
Dabei beschreibt die Geschwindigkeit, wie sich die Strecke im Laufe der Zeit verändert. Die Beschleunigung wiederum beschreibt die Veränderung der Geschwindigkeit.
Um die gesamte Bewegung eines bestimmten Körpers zu berechnen, spielt noch eine dritte Hauptgröße eine Rolle: die Masse.
Aus den drei Hauptgrößen Strecke, Zeit und Masse sowie deren verschiedenen Zusammenhängen kannst du das gesamte Verhalten eines Körpers beschreiben.
Übrigens: Das 2. Newtonsche Gesetz bündelt die drei Hauptgrößen in einer Formel:
F = m · a (Kraft = Masse · Beschleunigung). Diese Formel ist daher der Mittelpunkt aller Bewegungsgleichungen.
Weg-Zeit-Gesetz
Die erste Bewegungsgleichung gibt die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit an:
![\[ s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc300b47a3b6077f83aaf00975fdd9f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- a = Beschleunigung
- t = Zeit
- v0 = Anfangsgeschwindigkeit
- s0 = Anfangsstrecke
Die Formel nennst du Weg-Zeit-Gesetz. Graphisch kannst du sie im Weg-Zeit-Diagramm darstellen. Auf der waagerechten x-Achse befindet sich dabei die Zeit t und auf der senkrechten y-Achse der Weg s. Daher heißt das Weg-Zeit-Diagramm auch s-t-Diagramm.
Dabei enthält das s-t-Diagramm Informationen über Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung :
- Eine konstante Funktion bedeutet, dass sich die Strecke mit der Zeit nicht ändert. Beispielsweise bei einem stehenden Zug. In der Formel sind Beschleunigung a und Geschwindigkeit v beide null. Eine gegebene Anfangsgeschwindigkeit entspricht graphisch dem y-Achsenabschnitt.
- Eine linear ansteigende Funktion bedeutet, dass die Strecke mit der Zeit gleichmäßig größer wird. Der Zug fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Hierbei ist die Beschleunigung a in der Formel null, die Geschwindigkeit v jedoch hat einen natürlichen Wert.
- Eine quadratisch ansteigende Funktion bedeutet, dass die Änderung der Strecke größer wird. Das heißt, der Zug beschleunigt! Bei diesem Verlauf hat die Beschleunigung a einen natürlichen Wert ungleich null.
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz gibt an, wie sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Die Bewegungsgleichung dazu lautet:
![\[ v(t) = a \cdot t + v_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19e14b09300440e7c0a2c0c4db6e2f5c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
(v-t-Diagramm) stellst du die Formel graphisch dar. Dabei enthält sie keine Information mehr über die genaue Strecke s:
- Eine konstante Funktion im v-t-Diagramm bedeutet keine Änderung der Geschwindigkeit. Der Zug fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In der Formel ist a gleich null und es liegt nur eine Anfangsgeschwindigkeit v0 vor.
- Eine lineare Steigerung der Geschwindigkeit bedeutet, dass immer mehr Geschwindigkeit mit der Zeit hinzukommt. Das heißt, der Zug beschleunigt. a hat einen positiven Wert.
Übrigens: Wenn sich die Geschwindigkeit einer Bewegung gleichmäßig ändert, heißt sie gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bleibt die Geschwindigkeit gleich, nennst du sie gleichförmige Bewegung.
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
Das Beschleunigung-Zeit-Gesetz lautet:
![\[ a(t) = a_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c3f928433e581125534ac05ed7b256a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm (a-t-Diagramm) stellst du dar, wie sich die Beschleunigung im Laufe der Zeit verhält. Dabei nimmt die Beschleunigung nur konkrete Werte an. Entweder liegt eine bestimmte Beschleunigung vor, also die Geschwindigkeit ändert sich. Oder die Beschleunigung ist null, dann ändert sich die Geschwindigkeit nicht.
- Eine konstante Funktion bedeutet hierbei, dass sich die Geschwindigkeit gleichmäßig und die Strecke sich quadratisch verändert.
Bewegungsgleichungen Beispiel
Ein Zug steht 100 Meter vor dem Bahnhof. Dann beschleunigt er in 8 Sekunden auf 32 Meter pro Sekunde. Wie weit ist der Zug nach den 8 Sekunden vom Bahnhof entfernt?
Hier ist nach einer Strecke gefragt. Eine Strecke kann nur im Weg-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Daher nutzt du die Weg-Zeit Funktion:
Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, benötigst du daher: Zeit t, Anfangsstrecke s0, Anfangsgeschwindigkeit v0 und Beschleunigung a.
- t = 8 s, da nach der Strecke nach 8 Sekunden gefragt ist.
- s0 = 100 m, da die bereits zurückgelegte Strecke vom Bahnhof 100 Meter beträgt
- v0 = 0, da der Zug zu Beginn steht und daher keine Anfangsgeschwindigkeit hat
- a ist die Beschleunigung, welche hier nicht direkt gegeben ist.
Du hast jedoch gegeben, dass der Zug innerhalb von 8 Sekunden eine Geschwindigkeit von 32 Meter pro Sekunde erreicht. Daher nutzt du das Geschwindigkeit-Zeit Gesetz, um mit einer gegebenen Zeit und einer gegebenen Geschwindigkeit die Beschleunigung zu berechnen:
![\[ v(t) = a \cdot t + v_0 = a \cdot t + 0 <=> a = \frac{v}{t} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20d433a92d66b7245f34af700fc7f4f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Also gilt:
![\[a = \frac{32 \frac{m}{s}}{8 s} =4 \frac{m}{s^2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b37cf5c4e65926a67885719bfcad2e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Setzt du alle Größen in das Weg-Zeit-Gesetz ein, ergibt sich die Strecke s:
![\[ s(t) = \frac{1}{2} \cdot 4 \frac{m}{s^2} \cdot 8s^2 + 0 \cdot 8s + 100m = 228m \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee6bb3eb4bdcb0f46d49f223d837718c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Informationen der Bewegungsdiagramme
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen also miteinander zusammen. Wichtig dabei ist, dass sie aufeinander aufbauen. Du erkennst in einem s-t-Diagramm die Größen: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dagegen enthält ein v-t-Diagramm keine Information mehr über die Strecke, sondern nur über Geschwindigkeit und Beschleunigung.
| Diagramm-Art | Information |
| s-t-Diagramm | Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung |
| v-t-Diagramm |
Geschwindigkeit, Beschleunigung |
| a-t-Diagramm | Beschleunigung |
Bewegungsgleichungen — Integral und Ableitung
Mathematisch hängen die drei Diagramme über Integral und Ableitung zusammen. Dabei lässt sich das Integral als die Fläche unter der Funktion interpretieren. Die Ableitung dagegen ist die Steigung der Funktion.
Die Funktion beschreibt dabei den Verlauf des Graphen in einem Diagramm. Im Weg-Zeit-Diagramm, also im s-t-Diagramm, wird der Graph durch die Funktion s(t) ausgedrückt. Im v-t-Diagramm wird der entsprechende Graph durch v(t) beschrieben.
Die Weg-Zeit Funktion s(t) abgeleitet ist die Geschwindigkeit-Zeit v(t) Funktion. Diese wiederum abgeleitet ergibt die Beschleunigung-Zeit Funktion a(t)
Andersherum funktioniert das mit dem Integral: Integrierst du die Beschleunigung-Zeit Funktion a(t), erhältst du die Geschwindigkeit-Zeit Funktion v(t). Diese wiederum integriert ergibt die Weg-Zeit Funktion s(t).
Schau dir dafür die einzelnen Umformungen an. Die Ableitung der Weg-Zeit Funktion ergibt die Geschwindigkeit-Zeit Funktion:
![\[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} ( \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0 ) = a \cdot t + v_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd86f5dc52bc0d89e3ca13d736862c1d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit Funktion ergibt die Beschleunigung-Zeit Funktion:
![\[ a(t) = \frac{d}{dt} v(t) = \frac{d}{dt} ( a \cdot t + v_0 ) = a_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df696345d1076c97ab0c3f62f31037b1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Andersherum gilt mit dem Integral:
![\[ v(t) = \int_{}^{} a(t) dt = a \cdot t + v_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2d2bfcfaea121219c3b3c8157761197_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ s(t) = \int_{}^{} v(t) dt = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34a61497212c29de3cab60541b2a3b47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das 2. Newtonsche Gesetz
Mit Strecke und Zeit kannst du also die Bewegung eines Körpers beschreiben. Um auch zu erklären, warum ein Körper eine bestimmte Bewegung durchläuft, nutzt du zusätzlich die Masse m. Aus den drei Größen entsteht mit dem 2. Newtonschen Gesetz die Kraft. Es gilt dabei: F = m · a. Dabei ist die Beschleunigung a die zweite Ableitung der Strecke nach der Zeit.
Mit der Kraft können jetzt alle Phänomene der klassischen Mechanik berechnet werden. Dazu zählen beispielsweise:
Merke: Da mit dem zweiten Newtonschen Gesetz alle Bewegungen im Raum beschrieben werden können, wird F = m · a auch als die wichtigste Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik bezeichnet.
Bewegungsgleichungen — häufigste Fragen
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Was sind Bewegungsgleichungen?
Die Bewegungsgleichungen sind mathematische Gleichungen, welche den zeitlichen Verlauf einer Strecke, die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung beschreiben.
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Was ist die newtonsche Bewegungsgleichung?
Aus der newtonschen Bewegungsgleichung folgt das 2. newtonsche Gesetz:
F = m · a.
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Welche Bewegungsgleichung physik gibt es?
Es gibt drei grundlegende Bewegungsgleichungen: das Weg-Zeit-Gesetz: s(t) = 0,5 · a · t2 + v · t + s0, das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v(t) = a · t + v0, das Beschleunigung-Zeit-Gesetz: a(t) = a0.
Newtonsche Axiome
Die Gleichung F = m · a ist dabei nur eins von drei Newtonschen Gesetzen. Welche Aussagen das erste und dritte newtonsche Gesetz treffen, erfährst du in unserem Video zu den newtonschen Axiomen.
