Mechanik: Dynamik

Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung beschreibt einen harmonischen Oszillator, der sinusförmig um seine Ruhelage schwingt. Es gibt verschiedene harmonische Oszillatoren, wie das Fadenpendel oder das Federpendel . In unserem Video erklären wir dir, durch welche Bedingungen eine harmonische Schwingung charakterisiert ist. Zusätzlich lernst du, wie eine Bewegung auf einen Kreis mit der Sinusfunktion zusammenhängt und wie die Schwingung eines Faden- und Federpendels durch eine Schwingungsgleichung beschrieben werden kann.

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Inhaltsübersicht

Harmonische Schwingung Definition

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich durch eine lineare Rückstellgröße aus und kann durch eine sinusförmige Funktion beschrieben werden. Als Schwingungen, auch Oszillationen genannt, bezeichnet man allgemein zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems. Ein schwingendes System, welches eine harmonische Schwingung ausführt, wird auch harmonischer Oszillator genannt.

Man unterscheidet verschiedene Arten von Schwingungen. Es gibt zum Beispiel periodische, nicht periodische, lineare, nichtlineare, gedämpfte oder ungedämpfte Schwingungen. Im Folgenden werden wir uns auf die Beschreibung harmonischer Schwingungen beschränken.

Eine harmonische Schwingung kann durch die folgenden zwei Bedingungen charakterisiert werden. Zum einen kann man die Bewegung eines schwingenden Körpers mit der Projektion einer Kreisbewegung beschreiben. Dies entspricht einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion, zum Beispiel

x(t)=\hat{x}\cdot \cos(\omega t)

Zum anderen ist eine harmonische Schwingung durch das lineare Kraftgesetz darstellbar. Dieses besagt, dass die rücktreibende Kraft auf einen schwingenden Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage und dieser entgegengesetzt ist. Dieser Zusammenhang kann durch die Formel

F_{\mathrm{R\"uckstell}}(x)=-D\cdot x

ausgedrückt werden. Diese Gleichung beschreibt die Rückstellkraft eines an einer Feder befestigten Körpers. Die Variable D entspricht hierbei der Federkonstanten. Genaueres findest du in unserem Artikel Schwingungsgleichung Federpendel.

Harmonische Schwingung Formel

Eine harmonische Schwingung wird durch die Formel

x(t)=\hat{x}\cdot \sin(\omega t+\alpha)

beschrieben. Hierbei repräsentiert x die Auslenkung bzw. Elongation des schwingenden Körpers, \hat{x} die Amplitude der Schwingung, \omega  die Frequenz beziehungsweise Winkelgeschwindigkeit , t die Zeit und \alpha die Phasenkonstante. Diese Funktion gibt einen Zusammenhang zwischen Ort und Zeit eines schwingenden Körpers und wird deshalb Zeit-Orts-Gesetz genannt.

Harmonische Schwingung Kreisbewegung

Wie oben erwähnt, kann eine harmonische Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung dargestellt werden. Um die Bewegung zu veranschaulichen, geht man von einem Punkt P auf einem Kreis mit dem Radius r aus. Dieser Punkt bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega um den Ursprung eines Koordinatensystems. Zum Zeitpunkt t=0 habe der Punkt die Position P_0. An diesem Punkt ist die y-Komponente des Punktes null, da dieser auf der x-Achse liegt.

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Kreisbewegung

Bewegt sich nun der Punkt gegen den Uhrzeigersinn, dann nimmt die y-Komponente des Punktes zuerst zu, bis der Vektor \vec{r} einen Winkel von 90° zurückgelegt hat.

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Kreisbewegung

In der oberen Abbildung kann man erkennen, dass die y-Komponente durch r_y=r\cdot \sin(\omega t) berechnet werden kann. Da sich der Vektor \vec{r} mit der Winkelgeschwindigkeit \omega bewegt, ist der zurückgelegte Winkel nach der Zeit t durch \omega t=\varphi gegeben. Die Komponente r_y lässt sich dann leicht über

\sin(\omega t)=\sin(\varphi)=\frac{r_y}{|\vec{r}|}

\   r_y=|\vec{r}|\cdot \sin(\varphi)=r\cdot \sin(\varphi)

bestimmen.

Nachdem die y-Komponente ihr Maximum erreicht hat, nimmt diese dann ab, bis der Vektor \vec{r} einen Winkel von 180zurückgelegt hat. An diesem Punkt ist die y-Komponente des Punktes null. Die weitere Bewegung des Punktes ist dadurch charakterisiert, dass die y-Komponente bei 270° ihr Minimum erreicht und danach wieder zu nimmt, bis der Punkt zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt. Die Projektion der Bewegung des Punktes auf die y-Achse führt also dazu, dass der Vektor \vec{r_y} ein periodisches Verhalten zeigt. Dieser oszilliert zwischen den Werten |\vec{r}|=r und -|\vec{r}|=-r. Zeichnet man den Vektor \vec{r_y}  in Abhängigkeit der Zeit, so erhält man eine Sinuskurve. Die harmonische Schwingung kann also mit einer Sinusfunktion dargestellt werden. Eine genauere Erklärung findest du in unserem Beitrag zur Schwingungsdauer und Amplitude .

Geschwindigkeit und Beschleunigung einer Schwingung

Aus dem oben beschriebenen Zeit-Orts-Gesetz, welches eine harmonische Schwingung beschreibt, lässt sich durch Ableiten dieser Funktion das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz und das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz bestimmen. Das Zeit-Orts-Gesetz ist gegeben durch

x(t)=\hat{x}\cdot \sin(\omega t)

wobei \hat{x} die Amplitude repräsentiert. Durch Ableiten dieser Funktion erhält man das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz, das die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit angibt

\dot{x}(t)=v(t)=\hat{x}\cdot \omega\cdot \cos(\omega t)

Mit der Substitution \hat{v}=\hat{x}\cdot \omega lässt sich dieser Ausdruck auch vereinfachen. Dafür folgt dann

v(t)=\hat{v}\cdot \cos(\omega t)

Leitet man diese Funktion erneut ab, so führt dies auf das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz

\ddot{x}(t)=\dot{v}(t)=a(t)=-\hat{x}\cdot \omega^2\cdot \sin(\omega t)=-\hat{a}\cdot \sin(\omega t)

mit \hat{a}=\hat{v}\cdot \omega=\hat{x}\cdot \omega^2.

Fadenpendel

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Fadenpendel

Das Fadenpendel besteht aus einem Faden der Länge l, an dem ein Körper der Masse m aufgehängt ist. Wird der Körper aus der Ruhelage um den Winkel \varphi ausgelenkt, dann wirkt auf den Körper eine Tangentialkraft \vec{F}_{\mathrm{tan}}, die tangential zur Pendelbahn ist. Falls nur diese Kraft auf den Körper von außen einwirkt, verursacht sie eine harmonische Schwingung des Körpers. Über trigonometrische Funktionen lässt sich die Tangentialkraft ausdrücken durch

\sin(\varphi(t))=\frac{F_{\mathrm{tan}}(t)}{F_G}

Hierbei beschreibt \vec{F}_G=m\cdot g die Gewichtskraft des Körpers. Da die Tangentialkraft immer zur Ruhelage zeigt und somit immer entgegen der Auslenkung, ist die Tangentialkraft negativ

\vec{F}_{\mathrm{tan}}(t)=-\vec{F}_G\cdot \sin(\varphi(t))

Aufgrund des Aktionsprinzips von Newton (2. Newtonsche Axiom ) kann die Tangentialkraft auch durch

F_{\mathrm{tan}}(t)=m\cdot a_{\mathrm{tan}}(t)

dargestellt werden. a_{tan} repräsentiert dabei die Tangentialbeschleunigung. Diese Tangentialbeschleunigung lässt sich auch über die Winkelbeschleunigung \ddot{\varphi} ausdrücken

a_{\mathrm{tan}}(t)=l\cdot \ddot{\varphi}(t)

In unserem Fall stellt die Tangentialkraft die einzige äußere Kraft dar, so dass man folgende nichtlineare Differentialgleichung erhält

m\cdot l\cdot \ddot{\varphi}(t)=-m\cdot g\cdot \sin(\varphi(t))

\rightarrow \ddot{\varphi}(t)+\frac{g}{l}\cdot \sin(\varphi(t))=0

Für kleine Winkel kann der Sinus wie folgt genähert werden

\sin(\varphi)\approx\varphi

Dies führt dann auf folgende Schwingungsgleichung

\ddot{\varphi}(t)+\frac{g}{l}\cdot \varphi(t)=0

Die Lösung \varphi(t) dieser Differentialgleichung ist eine Funktion, die sich nach zweimaligem Differenzieren bis auf das Vorzeichen reproduziert. Dieses Verhalten erfüllen die Sinus- und Kosinusfunktion, sodass die allgemeine Lösung durch eine Linearkombination dieser Funktionen dargestellt werden kann

\varphi(t)=a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)

Diese allgemeine Lösung beschreibt eine Überlagerung zweier Schwingungen und ist deshalb äquivalent zu einer Schwingung mit derselben Frequenz  und einer Phasenverschiebung \alpha

\varphi(t)=a_0\sin(\omega t+\alpha)

Der Faktor a_0 ist eindeutig durch Anfangsbedingungen festgelegt.

Harmonische Schwingung: Federpendel

Das Federpendel besteht aus einer Feder, an dem ein Körper angebracht ist. Wird der Körper aus der Ruhelage ausgelenkt, dann beginnt er auf und ab zu schwingen. Die Bewegung des Federpendels kann im ungedämpften Fall durch die homogene Differentialgleichung

\ddot{y}+\frac{D}{m}\cdot y=0

beschrieben werden und entspricht einer harmonischen Schwingung. Hierbei repräsentiert m die Masse des Körpers und D die Federkonstante. Für eine ausführliche Behandlung des Federpendels, verweisen wir auf unseren Artikel Federpendel .

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