Mechanik: Dynamik

Gravitationsgesetz

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Gravitationsgesetz. Du wirst unter anderem erfahren, wie die Formel lautet, und findest am Ende Aufgaben mit Lösungen.

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Inhaltsübersicht

Gravitationsgesetz einfach erklärt

Das Gravitationsgesetz, genauer gesagt das newtonsche Gravitationsgesetz, teilt dir nicht nur mit, wie sich Gegenstände auf der Erde verhalten, sondern im ganzen Universum. In diesem Sinne gilt das Gravitationsgesetz als ein universelles Gesetz.

Merke: Newtonsches Gravitationsgesetz

Die Anziehung zweier Körper aufgrund der Gravitation (auch Massenanziehung) ist proportional zum Produkt der beiden Massen und indirekt proportional zum Quadrat ihres Abstandes. In einer Formel ausgedrückt, lautet das Gravitationsgesetz

F_{\mathsf{G}} = \mathsf{G} \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}.

Die beiden Massen werden hier mit m_1 und m_2 abgekürzt, der Abstand mit r. Der Buchstabe \mathsf{G} steht für die Gravitationskonstante.

Zwei Körper, egal wie massiv oder in welchem Abstand zueinander, wechselwirken gemäß dem Gravitationsgesetz. Und dabei spielt es keine Rolle, ob es Körper auf der Erde sind oder im weiten Universum. Das Gravitationsgesetz gilt für die Anziehung zwischen deiner Tasche und der Erde, aber auch für die Anziehung zwischen Sonne und Erde. 

% Abbildung 2 aus Videoskript einfügen.

Gravitationsgesetz Formel

Die Formulierung des Gravitationsgesetzes beinhaltet zwei Teile

(1) Die Kraft ist proportional zum Produkt der beiden beteiligten Massen und

(2) Die Kraft ist indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes zwischen den beiden beteiligten Massen.

Diesen zwei Teilen geben wir nun eine mathematische Form. Lass uns dazu die Massen mit m_1 und m_2 bezeichnen. Der Abstand zwischen den beiden Körpern soll mit r notiert werden und die Anziehungskraft mit dem Symbol F_{\mathsf{G}}.

Der erste Teil lautet dann

F_{\mathsf{G}} \thicksim m_1 \cdot m_2

und der zweite Teil

F_{\mathsf{G}} \thicksim \frac{1}{r^2}.

Wenn wir nun diese beiden Proportionalitäten kombinieren und eine Konstante \mathsf{G} einführen, um aus einer Proportionalität eine Gleichheit zu bilden, erhalten wir die mathematische Form des Gravitationsgesetzes.

Merke: Gravitationsgesetz Formel

Die Anziehung zweier Körper aufgrund der Gravitation beträgt

F_{\mathsf{G}} = \mathsf{G} \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}.

Die Konstante \mathsf{G}, die auch als Gravitationskonstante bezeichnet wird, stellt sicher, dass die Einheit übereinstimmen und legt die Stärke der Gravitation fest. In einer Aufgabe zeigen wir dir, wie du mit der bekannten Schwerebeschleunigung auf der Erde die Gravitationskonstante abschätzen kannst.

Hinweis: Eine Kraft ist im Allgemeinen ein Vektor. Ein Vektor ist durch seinen Betrag und seine Richtung festgelegt. Mit der Formel haben wir dir nur den Betrag der Massenanziehung gegeben. Um die Richtung zu bestimmen, ziehst du eine Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern. Die Anziehungskraft durch die Gravitation wirkt immer entlang dieser Verbindungslinie.

Nicht nur der universelle Charakter des Gravitationsgesetzes ist erstaunlich. Genauso erstaunlich, wenn nicht sogar erstaunlicher, ist die Tatsache, dass wir in einer Welt leben, in der die Natur einem solch einfachen mathematischen Gesetz folgt.% Abbildung 1 aus Videoskript einfügen.

Gravitationsgesetz Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben aus.

Aufgabe 1: Abschätzen der Gravitationskonstante

Du hast folgende Informationen über die Schwerebeschleunigung gegeben

(1) Der Betrag lautet g = 9,81 \ \mathsf{\frac{m}{s^2}}};

(2) Der Betrag kann in der Nähe der Erde als konstant angenommen werden.

Schätze basierend auf dieser Information die Gravitationskonstante \mathsf{G} ab und notiere das Ergebnis mit der korrekten physikalischen Einheit.

Hinweis: Verwende dafür das zweite Newtonsche Axiom auf einen beliebigen Körper, der nur durch die Gravitationskraft der Erde beeinflusst wird. Du kannst für den Abstand den Radius der Erde verwenden. Die Masse der Erde beträgt 5,972 \times 10^{24} \ \mathsf{kg} und der Radius 6371 \ \mathsf{km}.

Lösung Aufgabe 1

Ein Körper erfährt in der Nähe der Erde eine Beschleunigung von g = 9,81 \ \mathsf{\frac{m}{s^2}}}. Nach dem zweiten Newtonschen Axiom ist eine Beschleunigung proportional zur Kraft, die diese Beschleunigung bewirkt. Es gilt

g = \frac{F}{m},

wobei m die Masse des Körpers ist. Auf diesem Körper wirkt nur die Masseanziehung durch die Erde. Gemäß dem Gravitationsgesetz gilt daher

F = F_{\mathsf{G}} = \mathsf{G} \cdot \frac{m \cdot M}{r_{\mathsf{E}}^2}.

Hier ist M die Masse und r_{\mathsf{E}} der Radius der Erde. Setzen wir nun die Formel für F in die Gleichung für g ein, so bekommen wir

g = \mathsf{G} \cdot \frac{M}{r_{\mathsf{E}}^2}.

Diese Gleichung formen wir nun auf \mathsf{G} um. Wir erhalten damit

\mathsf{G} = g \cdot  \frac{r_{\mathsf{E}}^2}{M}.

Jetzt müssen wir nur noch alle Werte mit den korrekten Einheiten einsetzen

\mathsf{G} = 9,81 \mathsf{\frac{m}{s^2}}} \cdot  \frac{(6371 \times 10^3  \mathsf{m})^2}{5,972 \times 10^{24}  \mathsf{kg}} = 6,67 \times 10^{-11} \mathsf{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}.

Hinweis: Da in Erdnähe die Beziehung \mathsf{G} = g \cdot  \frac{r_{\mathsf{E}}^2}{M} als gute Näherung gilt, vereinfacht sich das Gravitationsgesetz zu F_{\mathsf{G}} = m \cdot g. Diese Formel findest du auch unter der Bezeichnung Gewichtskraft .

Aufgabe 2: Anziehungskraft zwischen Erde und Mond

Du hast folgende Daten gegeben

(1) Masse Erde M = 5,972 \times 10^{24} \ \mathsf{kg};

(2) Masse Mond m = 7,346 \times 10^{22} \ \mathsf{kg};

(3) Abstand Erde-Mond r = 385000 \ \mathsf{km}.

Berechne mit diesen Daten die Anziehungskraft zwischen der Erde und dem Mond.

Lösung Aufgabe 2

Nach dem Gravitationsgesetz gilt für die Anziehung zwischen der Erde und dem Mond

F_{\mathsf{G}} = \mathsf{G} \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}.

In diese Formel müssen wir nun die gegebenen Daten mit den korrekten Einheiten einsetzen

F_{\mathsf{G}} =6,67 \times 10^{-11} \mathsf{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} \cdot \frac{7,346 \times 10^{22} \mathsf{kg} \cdot 5,972 \times 10^{24} \mathsf{kg}}{(385000 \times 10^3 \mathsf{m})^2} = 1,97 \times 10^{20} \mathsf{N}.

Nur um dir eine Illustration zu geben, um was für eine enorme Kraft es sich dabei handelt: Auf der Erde entspricht diese Kraft dem Gewicht eines Körpers mit einer Masse von etwa 2 \times 10^{19} \mathsf{kg}.

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