Mechanik: Dynamik

Schallgeschwindigkeit

Die verbale Kommunikation zwischen Menschen wäre bei einer zu langsamen Schallgeschwindigkeit in Luft nur eingeschränkt oder sogar gar nicht möglich. Die Schallgeschwindigkeit spielt also für unser tägliches Leben eine wichtige Rolle. Wie schnell die Geschwindigkeit des Schalls in Luft ist und wie du sie berechnen kannst, erfährst du unter anderem in diesem Artikel. Insbesondere werden wir uns konkrete Rechenbeispiele für gasförmige, flüssige und feste Medien anschauen. Zusätzlich findest du in diesem Artikel diverse Tabellen, in denen die Literaturwerte der Schallgeschwindigkeit aufgezeigt sind.

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Inhaltsübersicht

Schallgeschwindigkeit einfach erklärt

Die Schallgeschwindigkeit gibt dir an, mit welcher Geschwindigkeit sich Schallwellen in einem bestimmten Medium ausbreiten. Sie ist von verschiedenen Faktoren wie zum Beispiel von der Temperatur, dem Druck und der Dichte des Mediums abhängig. Maßgeblich wird die Schallgeschwindigkeit jedoch von der Temperatur bestimmt, sodass der Einfluss der anderen Faktoren vernachlässigbar gering ist.

Schallgeschwindigkeit Gase

In diesem Abschnitt behandeln wir die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Gasen. Dabei gehen wir expilzit auf die Schallgeschwindigkeit in Luft und in idealen Gasen ein. Am Ende des Abschnitts befindet sich eine Tabelle, welche die Schallgeschwindigkeit für verschiedene Gase enthält.

In einem Gas können sich nur Druckwellen und Dichtewellen ausbreiten. Diese sind dadurch charakteriesiert, dass sich die Teilchen in Richtung der Ausbreitungsrichtung der Welle hin- und herbewegen. Man spricht dann auch von sogenannten Longitudinalwellen. Die Schallgeschwindigkeit in Gasen c_{\mathrm{Gas}} lässt sich mit der Formel

c_{\mathrm{Gas}} = \sqrt{\frac{K}{\varrho}}

berechnen. Hierbei repäsentiert K das Kompressionsmodul und \varrho die Dichte des Gases. Der Kompressionsmodul ist dabei eine stoffeigene Größe, die angibt, welche Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen.

Schallgeschwindigkeit ideales Gas

In einem idealen Gas kann der Kompressionsmodul durch K= \kappa p ausgedrückt werden. \kappa ist dabei der Adiabatenexponent und p der Druck. Der Adiabatenexponent ist eine dimensionslose Größe, welche das Verhältnis der Wärmekapazität bei konstantem Druck zu konstantem Volumen ausdrückt. Damit ergbit sich für die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas die Formel

c_{\mathrm{ideales\,Gas}} = \sqrt{\frac{\kappa p}{\varrho}}.

Diese Gleichung kann mit der Beziehung für das molare Volumen

V_m = \frac{V}{n} = \frac{M}{\varrho},

und der idealen Gasgleichung weiter umgeformt werden. M bezeichnet dabei die molare Masse. Die ideale Gasgleichung stellt eine Beziehung zwischen dem Druck p, dem Volumen V, der Stoffmenge n, der molaren Gaskonstanten R_m und der Temperatur T her

p\cdot V =n\cdot R_m\cdot T.

Damit erhält man die Formel

c_{\mathrm{ideales\,Gas}} =\sqrt{\frac{\kappa p}{\varrho}}

\Leftrightarrow c_{\mathrm{ideales\,Gas}}= \sqrt{\frac{\kappa p}{\frac{Mn}{V}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ mit } \varrho=\frac{Mn}{V}

\Leftrightarrow c_{\mathrm{ideales\,Gas}}=\sqrt{\frac{\kappa p}{\frac{M \frac{pV}{R_mT}}{V}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ mit } n=\frac{pV}{R_mT}

\Leftrightarrow c_{\mathrm{ideales\,Gas}}= \sqrt{\frac{\kappa R_mT}{M}}.

Hieran ist zu erkennen, dass die Schallgeschwindigkeit eines gegebenen idealen Gases nur von der Temeperatur abhängt. Denn bei einem gegebenen Gas ist der Adiabatenexponent \kappa, die universelle Gaskonstante R_m und die molare Masse M fest vorgegeben.

Schallgeschwindigkeit berechnen ideales Gas

Betrachtet man Helium näherungsweise als ideales Gas, so  kann man mit der oberen Formel die Schallgeschwindigkeit von Helium bei einer bestimmten Temperatur berechnen. Helium hat einen Adiabatenexponent von \kappa=1,67 und eine molare Masse von M=4,003 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}=0,004003\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}}. Geht man von einer Temperatur von 20^{\circ}\mathrm{C}\approx 293\mathrm{K} aus, dann erhält man mit der universellen Gaskonstanten R_m=8,314\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2\cdot \mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}} eine Geschwindigkeit des Schalls von

c_{\mathrm{ideales\,Helium}} =\sqrt{\frac{1,67\cdot 8,314\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2\cdot\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}}\cdot 293\mathrm{K}}{0,004003\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}}}}\approx1008\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Schallgeschwindigkeit Luft

Die Formel für die Schallgeschwindigkeit des idealen Gases gilt näherungsweise auch für reale Gase. Da der Adiabatenexponent auf einem großen Bereich von dem Druck und der Temperatur unabhängig ist, kann man die Schallgeschwindigkeit in Luft näherungsweise mit der Formel

c_{\mathrm{Luft}} \approx \left(331,5+0,6\cdot \frac{\theta}{^{\circ}\mathrm{C}}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

berechnen. Diese Näherungsformel gilt für die Temperaturen zwischen -20^{\circ}\mathrm{C} und 40^{\circ}\mathrm{C}. Neben dem Einfluss der Temperatur spielt jedoch auch die Luftfeuchtigkeit eine Rolle. Je feuchter die Luft, desto höher die Schallgeschwindigkeit.

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Schallgeschwindigkeit Luft

Schallgeschwindigkeit berechnen Luft

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie unterschiedlich die Ergebnisse der beiden oberen Formeln die Formel für ideales Gas und die Näherungsformel – sind. Dabei gehen wir von einer Temperatur von 20^{\circ}\mathrm{C}\approx 293\mathrm{K} aus. Die mittlere molare Masse von Luft ist M=0,02896\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}} und der Adiabatenexponent beträgt \kappa=1,402. Setzt man diese Werte nun in die Formel für idealisierte Gase ein, so erhält man für die Schallgeschwindigkeit von idealiserter Luft

c_{\mathrm{ideale\,Luft}} = \sqrt{\frac{1,402 \cdot 8,314\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2\cdot \mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}}\cdot 293 \mathrm{K}}{0,02896\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}}}}\approx 343,4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Mit der Näherungsformel erhält man bei einer Temperatur von 20^{\circ}\mathrm{C} also eine Schallgeschwindigkeit von

c_{\mathrm{Luft}} \approx (331,5+0,6 \cdot 20)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} =343,5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Wie man sehen kann, führen beide Formeln zum fast gleichen Ergebnis. Ist die Temperatur jedoch nicht mehr im Geltungsbreich der Näherungsformel ( -20^{\circ}\mathrm{C} bis 40^{\circ}\mathrm{C}), dann weichen die Ergebnisse der beiden Formeln immer weiter voneinander ab, je größer der Abstand der Temperatur vom Geltungsbereich ist. So ergeben sich für eine Temperatur von 90^{\circ}\mathrm{C}\approx 363\mathrm{K} die Werte

c_{\mathrm{ideale\,Luft}}\approx 382,2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}           c_{\mathrm{Luft}}\approx385,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Schallgeschwindigkeit Temperatur Luft

Da die Schallgeschwindigkeit in Luft hauptsächlich von der Temperatur abhängig ist, kann man die Werte der Schallgeschwindigkeit in Luft für verschiedene Temperaturen aus folgender Tabelle ablesen:

Temperaturen in Grad Celcius Geschwindigkeit in m/s
+50 360,57
+40 354,94
+30 349,29
+20 343,46
+10 337,54
0 331,50
-10 325,35
-20 319,09
-30 312,77
-40 306,27
-50 299,63

Schallgeschwindigkeit verschiedener Gase

In der nächsten Tabelle findet man die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Gasen bei einer Temperatur von 20^{\circ}\mathrm{C}. Man kann erkennen, dass die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Gasen doch sehr unterschiedlich ist:

Gas Geschwindigkeit in m/s
Luft 343
Helium 981
Wasserstoff 1280
Sauerstoff (0 Grad Celcius) 316
Kohlendioxid 266
Argon 319
Krypton 221
Methan 466

Schallgeschwindigkeit Flüssigkeiten

Da sich in Flüssigkeiten nur Druckwellen und Dichtewellen ausbreiten können – so wie bei Gasen -, kann man die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten mit derselben Formel berechnen, welche auch für Gase benutzt wird:

c_{\mathrm{Fl\"ussigkeit}} = \sqrt{\frac{K}{\varrho}}.

Schallgeschwindigkeit Wasser berechnen

Die Geschwindigkeit des Schalls in einer Flüssigkeit lässt sich mit der oberen Formel leicht berechnen. Betrachtet man zum Beispiel Wasser und recherchiert die Materialwerte in der Literatur,  so findet man eine Dichte von \varrho = 997\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} und ein Kompressionsmodul von K=2,08\mathrm{GPa}= 2,08 \cdot 10^9\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^2}. Setzt man diese Werte in die obere Formel ein, dann erhält man für die Schallgeschwindigkeit Wasser

c_{\mathrm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2,08\cdot 10^9}{997}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 1444\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Schallgeschwindigeit verschiedener Flüssigkeiten

In folgender Tabelle sind die Werte der Schallgeschwindigkeit für verschiedene Füssigkeiten aufgelistet, insbesondere die Schallgeschwindigkeit Wasser:

Medium Geschwindigkeit in m/s
Wasser 1484
Öl 1340
Benzol 1326
Ethylalkohol 1168
Quecksilber 1450

Schallgeschwindigkeit Festkörper

Im Gegensatz zu Gasen und Flüssigkeiten breiten sich Schallwellen in einem Festkörper als Longitudinalwellen und Transversalwellen aus. Bei Longitudinalwellen schwingen die Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung und bei Transversalwellen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Je nachdem welche Wellenart man betrachtet, ergeben sich unterschiedliche Geschwindigkeiten. Breiten sich die Schallwelllen als Longitudinalwellen aus, so kann man die Geschwindigkeit mit der Formel

c_{\mathrm{Festk\"orper,\,longitudinal}} = \sqrt{\frac{M}{\varrho}}

berechnen, wobei M der sogenannte Longitudinalmodul ist und mit

M=\frac{E(1-\nu)}{1-\nu-2\nu^2}

bestimmt werden kann. Dabei ist \varrho die Dichte des Festkörpers, \nu die Poissonzahl und E der Elastizitätsmodul. Der Elastizitätsmodul ist ein Materialkennwert, welcher den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines Festkörpers angibt. Breiten sich die Schallwellen hingegen als Transversalwellen aus, so muss die folgende Formel verwendet werden

c_{\mathrm{Festk\"orper,\,transversal}} = \sqrt{\frac{G}{\varrho}}.

In dieser Formel steht G für den Schubmodul

G=\frac{E}{2(1+\nu)}.

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Schallgeschwindigkeit Festkörper

Schallgeschwindigkeit berechnen Festkörper

Nun wollen wir ein Beispiel betrachten, indem wir für einen Festköper die Geschwindigkeit des Schalls berechnen. Hierfür nehmen wir Aluminium. Die Materialkennwerte kann man in der Literatur nachschauen, womit man für die Poissonzahl von Aluminium v=0,35 findet und für das Elastizitätsmodul E=70 \mathrm{GPa} = 70\cdot 10^9\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^2}. Außerdem hat Aluminium bei 20^{\circ}\mathrm{C} eine Dichte von \varrho = 2710\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}. Setzt man diese Werte in die obere Formel ein, so erhält man bei der Ausbreitung des Schalls durch eine Longitudinalwelle eine Geschwindigkeit von

c_{\mathrm{Festk\"orper,\,longitudinal}} = \sqrt{\frac{E(1-\nu)}{(1-\nu-2\nu^2) \varrho}} = \sqrt{\frac{70\cdot 10^9\cdot(1-0,35)}{(1-0,35-2\cdot 0,35^2) \cdot2710}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 6439 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

und bei der Ausbreitung durch eine Transversalwelle eine Geschwindigkeit von

c_{\mathrm{Festk\"orper,\,transversal}} = \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\varrho} }= \sqrt{\frac{70\cdot 10^9}{2(1+0,35)\cdot2710}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 3093 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} .

Wie man erkennt, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen langsamer als die von Longitudinalwellen.

Schallgeschwindigkeit verschiedener Festkörper

In der folgenden Tabelle sind für verschiedene Festkörper die Schallgeschwindigkeiten aufgelistet, wobei man  zwischen Longitudinalwellen und Transversalwellen unterscheidet:

Medium longitudinale Geschwindigkeit in m/s transversale Geschwindigkeit in m/s
Gummi 1500 150
Aluminium 6250-6350 3100
Blei 2160 700
Gold 3240 1200
Kupfer 4660 2260
Magnesium 5790 3100
Wolfram 5180 2870
Silber 3600 1590

Wissenswerte Informationen

In der Luftfahrt und Strömungslehre wird oft  eine Art Normierung der Geschwindigkeit eines Objekts durch die Schallgeschwindigkeit vorgenommen, welche man als Mach-Zahl bezeichnet. Sie ist eine dimenslose Kennzahl für die Geschwindigkeit und gibt das Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objektes v zur Schallgeschwindigkeit c im betrachteten Medium an

Ma = \frac{v}{c}.

Dies bedeutet, dass sich ein Objekt mit einer Geschwindigkeit von einem Mach gerade mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls im betrachteten Medium bewegt.

Da die Lichtgeschwindigkeit (\approx 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}) um einiges schneller ist, als die Schallgeschwindigkeit in Luft (\approx 340 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}), kann man relativ einfach die Entfernung eines Gewitters berechnen. Dabei fängt man an die Sekunden zu zählen, wenn man einen Blitz sieht und hört auf,  wenn man den Donner hört. Anschließend teilt man die Anzahl der Sekunden durch 3, da Schall in Luft ungefähr einen Kilomenter in drei Sekunden zurücklegt. So erhält man dann die Entfernung des Gewitters in Kilometer.


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