Mechanik: Dynamik

Mechanische Leistung

Wenn du dieselbe Arbeit schneller verrichtest als dein Freund, dann hast du mehr mechanische Leistung erbracht. In diesem Beitrag erfährst du das Wichtigste zur mechanischen Leistung.

Du möchtest lieber alles audiovisuell erklärt bekommen als diesen Beitrag zu lesen? Dann laden wir dich herzlich dazu ein, unser Video zum Thema mechanische Leistung anzusehen.

Inhaltsübersicht

Mechanische Leistung einfach erklärt

Die Definition der Arbeit in der Physik als „Kraft mal Weg“ beinhaltet nicht, in welchen Zeitintervall diese Arbeit verrichtet worden ist. Zwei Personen (A und B) können daher dieselbe Arbeit verrichten, aber Person A braucht dazu weniger Zeit als Person B. Umgangssprachlich würde man in dieser Situation sagen, dass Person A eine größere Leistung als Person B erbracht hat. 

Genau das ist die Kernidee hinter der Definition für die Leistung P

P = \frac{W}{t}.

Hier ist W die Arbeit in Joule (\mathsf{J}), die im Zeitintervall t in Sekunden (\mathsf{s}) erbracht wurde. Die Einheit der Leistung ist demnach \mathsf{\frac{J}{s}}, häufiger aber in \mathsf{W} für Watt angegeben. Die Leistung erlaubt es also in einer konkreten Zahl zu fassen, wie schnell eine gewisse Menge an Arbeit verrichtet wurde.

Man spricht von mechanischer Leistung, wenn die erbrachte Arbeit von mechanischer Natur ist. Das heißt, dass ein Körper durch eine auf ihn wirkende externe Kraft bewegt, rotiert oder verformt wird. 

Im Fall der Bewegung eines Teilchens gilt für die Arbeit

W = \vec{F} \cdot \vec{x},

wenn sich das Teilchen unter der Kraftwirkung \vec{F} entlang der Wegstrecke \vec{x} bewegt. Setzt man das in die Definition für die Leistung ein, erhält man

P = \frac{W}{t} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{x}}{t} = \vec{F} \cdot \vec{v}

für die von der Kraft \vec{F} verrichtete mechanische Leistung. Hier ist \vec{v} die Geschwindigkeit des Teilchens. 

Mechanische Leistung Formel

In diesem Abschnitt wollen wir die allgemeine Formel für die Leistung motivieren, auf die Formel im Fall der Translation und Rotation eingehen und mit den verschiedenen Einheiten der Leistung sowie ein paar typischen Werte für die mechanische Leistung abschließen.

Allgemeine Formel

Stell dir vor, du und dein bester Kumpel wollt eine Kiste voller alter Spiele von deinem Zimmer in eure Abstellkammer schieben. Du schlägst vor, alles ganz entspannt anzugehen. Dein Kumpel hingegen möchte das möglichst schnell hinter sich bringen. In beiden Fällen würdet ihr dieselbe Menge an mechanischer Arbeit verrichten. Der einzige Unterschied wäre die Zeit, die ihr dafür benötigen würdet. Eine außenstehende Person würde im Fall deines Vorschlages zu euch sagen, dass ihr euch nicht wirklich angestrengt habt. Im Fall des Vorschlages deines Kumpels hingegen, würdet ihr zu hören bekommen, dass ihr euch ziemlich angestrengt habt. 

Um die „Menge an Anstrengung“ quantitativ zu fassen, definiert man eine physikalische Größe, die nicht nur die Menge an Arbeit sondern auch die dafür benötigte Zeit beinhaltet. Diese physikalische Größe heißt Leistung und ist durch 

P = \frac{W}{t}

gegeben. Hier ist W die Arbeit, die im Zeitintervall t erbracht wurde. Im speziellen Fall der Kiste spricht man auch von mechanischer Leistung. Wenn ihr also die Kiste schnell in die Abstellkammer schiebt, ist das t klein und entsprechend ist die mechanische Leistung P groß. Umgekehrt, wenn ihr die Situation entspannt angeht, ist das t groß und die mechanische Leistung P klein. 

Beim Verrichten einer Arbeit wird immer eine Energie entweder von einer Form in eine andere Form umgewandelt, oder von einem Körper auf einen anderen Körper übertragen. Im Fall der Kiste habt ihr die chemische Energie, die in eurem Körper steckt, auf die Kiste als kinetische Energie übertragen. In diesem Sinne ist die Leistung also gerade die Rate der Energieumwandlung.

Translation und Rotation

Lass uns die Strecke von deinem Zimmer zur Abstellkammer mit x, die Kraft, die du und dein Kumpel auf die Kiste übt, mit F bezeichnen. Die Arbeit, die ihr dann an die Kiste verrichtet habt, beträgt

W = F \cdot x.

Damit ergibt sich für die mechanische Leistung, die ihr dabei erbracht habt

P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot x}{t} = F \cdot v.

Hier ist v die (konstante) Geschwindigkeit der Kiste beim Weg von deinem Zimmer in die Abstellkammer.

Allgemein gilt bei der Translationsbewegung eines Körpers entlang der Wegstrecke \vec{dx} unter der Kraftwirkung \vec{F} für die Arbeit dW, die an diesem Körper verrichtet wird

dW = \vec{F} \cdot \vec{dx}.

Die mechanische Leistung ergibt sich dadurch zu

P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{dx}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v},

wobei hier \vec{v} = \frac{\vec{dx}}{dt} die Momentangeschwindigkeit des Körpers ist. 

Für den Fall der Rotation eines Körpers berechnet sich die Arbeit, die durch eine Kraft \vec{F} am Körper durch Drehung verrichtet wird, zu

dW = \vec{F} \cdot \vec{dx} = F_t \cdot r \cdot d \phi = M \cdot d \phi.

Hier ist F_t die Tangentialkomponente der Kraft, r die Länge des Hebelarms, d \phi die Änderung des Winkels durch die Kraft und M = F_t \cdot r der auf den Körper wirkende Drehmoment . Für die mechanische Leistung ergibt sich dann

P = \frac{dW}{dt} = \frac{M \cdot d \phi}{dt} = M \cdot \omega

wobei \omega = \frac{d \phi}{dt} die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung ist.

Einheiten und typische Leistungswerte

Die Einheit der Leistung ist gemäß ihrer Definition als Arbeit pro Zeit gerade Joule pro Sekunde (\mathsf{\frac{J}{s}}). Zu Ehren von James Watt wird auch das Symbol \mathsf{W} für Watt als die Einheit der Leistung verwendet. In der Praxis wird häufig auch Gebrauch von einer größeren Einheit, der Pferdestärke (\mathsf{PS}), gemacht. Dabei gilt

1 \ \mathsf{PS} = 735,5 \ \mathsf{W}.

In der folgenden Tabelle findest du ein paar typische Werte für die mechanische Leistung in der Natur und Technik

Mechanische Leistung in Natur und Technik
menschliches Herz (Durchschnittswert) 1,5 \mathsf{W}
Spazieren gehen 20 \mathsf{W}
Mensch (Dauerleistung) 80 – 100 \mathsf{W}
PKW 50.000 \mathsf{W}
LKW 250.000 \mathsf{W}
Antriebsleistung eines ICE 6.000.000 \mathsf{W}
Weltraum-Rakete 75.000.000.000 \mathsf{W}

Mechanische Leistung berechnen

Lass uns zu deiner Kister voller Spiele zurückkehren. Nehmen wir an, dass die Kiste samt Spiele eine Masse von 15 \ \mathsf{kg} besitzt. Der Boden, auf den die Kiste geschoben werden soll, besitze einen Gleitreibungskoeffizienten von \mu_{\mathsf{G}} = 0,1. Ihr bewegt die Kiste mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 \ \mathsf{\frac{m}{s}} und braucht von deinem Zimmer in die Abstellkammer 5 \ \mathsf{s}. Wie viel mechanische Leistung habt ihr dabei erbracht? 

Beim Schieben der Kiste müsst ihr eine Kraft aufwenden, die gerade gleich der Gleitreibungskraft ist

F = \mu_{\mathsf{G}} \cdot N = \mu_{\mathsf{G}} \cdot m \cdot g.

Die mechanische Leistung ergibt sich dann zu

P = F \cdot v = \mu_{\mathsf{G}} \cdot m \cdot g \cdot v = 0,1 \cdot 15 \ \mathsf{kg} \cdot 9,81 \ \mathsf{\frac{m}{s^2}} \cdot 1 \ \mathsf{\frac{m}{s}} = 14,72 \ \mathsf{W}.

Vielleicht wunderst du dich etwas über die Einheiten. Lass uns das zum Abschluss kurz näher betrachten. Wir haben das Produkt der Einheiten

\mathsf{kg} \cdot \mathsf{\frac{m}{s^2}} \cdot \mathsf{\frac{m}{s}} = \mathsf{\frac{kg \cdot m}{s^2}} \cdot \mathsf{\frac{m}{s}} = \mathsf{\frac{N \cdot m}{s}} = \mathsf{\frac{J}{s}}.

Hier haben wir die Beziehungen

\mathsf{N} = \mathsf{\frac{kg \cdot m}{s^2}} und

\mathsf{J} = \mathsf{N \cdot m}

verwendet.

 


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