Mechanik: Dynamik

Erzwungene Schwingung

Die harmonische Schwingung hast du bereits kennengelernt? Jetzt zeigen wir dir die erzwungene Schwingung. Wie man diese durch eine Bewegungsgleichung darstellen und lösen kann sowie welche Bedingungen im Resonanzfall gelten müssen, erfährst du genau hier! Des Weiteren berechnen wir in einem Beispiel auch die Energie der erzwungenen Schwingung im Resonanzfall.

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Inhaltsübersicht

Erzwungene Schwingung Definition

Eine erzwungene Schwingung beschreibt ein schwingendes System (Oszillator ), welches durch eine äußere Kraft angetrieben wird. Wird das System von einer Erregerfrequenz angetrieben, so unterscheidet man drei Fälle. Entweder ist die Erregerfrequenz wesentlich kleiner oder größer als die Eigenfrequenz des Systems oder nahezu identisch. Im Gleichheitsfall spricht man vom Resonanzfall.

\bar{\omega}\ll\omega_0 ; \bar{\omega}\gg\omega_0\bigm
\bar{\omega}\approx\omega_0

Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung eines gedämpften linearen Oszillators, der durch eine äußere zeitabhängige Kraft angetrieben wird, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

\ddot{\varphi}+2\beta\dot{\varphi}+{\omega_0}^2\varphi=\bar{A}e^{i\bar{\omega}t}

Hierbei ist  der Drehwinkel in Abhängigkeit der Zeit und beschreibt dementsprechend die momentane Auslenkung. Die Dämpfungskonstante wird durch den Buchstaben \beta repräsentiert und die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems durch \omega_0. \bar{A} und \bar\omega stellen die Amplitude und die Frequenz der anregenden Kraft dar. Diese inhomogene Differentialgleichung kann mit Hilfe eines Exponentialansatzes gelöst werden. Wir wählen hierfür folgenden Ansatz

\varphi\left(t\right)\ =A\ e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}

Dabei beschreibt A die Amplitude der Schwingung nach dem Einschwingvorgang und \theta die Phasenverschiebung gegenüber der äußeren Anregung. Durch zweimaliges Differenzieren von \varphi (t) erhält man

\dot{\varphi}\left(t\right)=A\cdoti\bar{\omega}\cdot e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}

\ddot{\varphi}\left(t\right)=-A\cdot\bar{\omega^2}e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}

Setzt man dies nun in die Bewegungsgleichung ein, so führt dies zu folgendem Zusammenhang.

-A\cdot\bar{\omega^2}e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}\ +\ 2\beta\cdotA\cdoti\bar{\omega}\cdote^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}\ +\ {\omega_0}^2\ \cdot\ A\ e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}\ =\ \bar{A}e^{i\bar{\omega}t}

\Leftrightarrow\left({\omega_0}^2-\bar{\omega^2}\right)+2\beta\cdot i\bar{\omega}=\frac{\bar{A}}{A}e^{i\theta}

Aufsplitten der Gleichung in ihren Real- und Imaginärteil liefert

Realteil: \left({\omega_0}^2-\bar{\omega^2}\right)=\frac{\bar{A}}{A}\cos{(\theta)}
Imaginärteil: 2\beta\bar{\omega}=\frac{\bar{A}}{A}\sin{(\theta)}

Hieraus kann man nun die Amplitude A und die Phasenverschiebung \theta bestimmen. Unter Verwendung der Relation sin\left(\theta\right)^2\ +\cos\left(\theta\right)^2\ =\ 1 erhält man

A\left(\ \bar{\omega}\right)\ =\ \frac{\ \bar{A}}{\sqrt{\ \left({\omega_0}^2-\ \bar{\omega^2}\right)^2\ +\left(2\beta\ \bar{\omega}\right)^2}}

\theta\left(\bar{\omega}\right)\ =\arctan\ \left(\frac{2\beta\ \bar{\omega}}{\left({\omega_0}^2-\ \bar{\omega^2}\right)}\right)

Die allgemeine Lösung des Systems ergibt sich, indem man dies in den Lösungsansatz \varphi\left(t\right) einsetzt

\varphi\left(t\right)=\ A\left(\overline{\omega}\right)\cdot e^{\ i(\bar \omega t-\theta(\bar \omega))}

=\ \frac{\ \bar{A}}{\sqrt{\ \left({\omega_0}^2-\ \bar{\omega^2}\right)^2\ +\left(2\beta\ \bar{\omega}\right)^2}}\ \cdot e^{\ \bar{\omega}t\ -\arctan\left(\frac{2\beta\ \bar{\omega}}{\left({\omega_0}^2-\ \bar{\omega^2}\right)}\right)}

Resonanzkurve

Die Resonanzkurve beschreibt die Amplitude der Schwingung A in Abhängigkeit der Erregerfrequenz \bar{\omega}. Regt man das System mit verschiedenen Frequenzen an und misst dabei die Amplitude nach dem Einschwingvorgang, so erhält man folgende Kurven für verschiedene Dämpfungen \beta .

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Resonanzkurven für verschiedene Frequenzen

Ermittelt man die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, so entspricht dies der Resonanzfrequenz \omega_{max} . Ist die Dämpfung \beta=0 , so ist die Resonanzfrequenz gleich der Eigenfrequenz. Für eine größer werdende Dämpfung verschiebt sich die Resonanzfrequenz jedoch zu kleineren Frequenzen.

Resonanzfall

Bei einer erzwungenen Schwingung unterscheidet man abhängig von der Erregerfrequenz drei Fälle.

  • \bar{\omega}\ \ll\omega_0

Dieser Fall beschreibt eine Anregung mit einer Frequenz  die sehr viel kleiner ist als die Eigenfrequenz \omega_0 des schwingenden Systems. Hierbei entspricht die Amplitude der Anregung ungefähr der Amplitude des schwingenden Systems, so dass das Verhältnis zwischen diesen ungefähr 1 ist. Der Phasenunterschied zwischen Erreger und schwingendem System ist ungefähr 0.

  • \bar{\omega}\approx\omega_0 (Resonanzfall):

In diesem Fall entspricht die Erregerfrequenz \bar{\omega} ungefähr der Eigenfrequenz \omega_0 des schwingenden Systems. Man spricht auch vom Resonanzfall. Hierbei ist die Amplitude des schwingenden Systems größer, als die Amplitude des Erregers und der Phasenunterschied entspricht \Delta\theta=\frac{\pi}{2} . Die Resonanzfrequenz   lässt sich unter Verwendung der oberen Funktion A(\bar{\omega}) einfach berechnen. Da wir die Frequenz \omega_{\mathrm{max}}  suchen, bei der die Amplitude maximal wird, kann diese einfach durch Differenzieren bestimmt werden

A'(\bar{\omega})\ =\ 0

Berechnet man dies und formt die Gleichung nach um, so erhält man die Resonanzfrequenz

\omega_{\mathrm{max}}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}

  • \bar{\omega}\gg\omega_0

Hier ist die Erregerfrequenz \bar{\omega} mit der das schwingende System angeregt wird viel größer als die Eigenfrequenz \omega_0 des Systems. Des Weiteren ist die Amplitude des schwingenden Systems sehr viel kleiner als die Amplitude des Erregers und die Phasenverschiebung entspricht ungefähr \Delta\theta\approx \pi .

Energie im Resonanzfall

Da bei einer erzwungenen Schwingung das schwingende System beziehungsweise der Oszillator von außen durch eine Kraft angetrieben wird, findet eine Energieübertragung von dem Erreger auf den Oszillator statt. Hierbei hängt die Energie des Oszillators von der Dämpfung \beta ab. Bei großer Dämpfung wird mehr Energie an die Umgebung abgegeben, als dies bei kleinerer Dämpfung der Fall ist. Um die kinetische Energie des Oszillators im Resonanzfall zu berechnen, geht man von der Winkelgeschwindigkeit \dot{\varphi}\left(t\right) aus

\dot{\varphi}\left(t\right)=A\cdoti\bar{\omega}\cdot e^{i\left(\bar{\omega}t-\theta\right)}

\Leftrightarrow\dot{\varphi}\left(t\right)=A\cdot\ i\bar{\omega}\cdot \cos\left(\bar{\omega}t-\theta\right)+i\cdot \sin\left(\bar{\omega}t-\theta\right)

Da physikalisch nur eine reale Geschwindigkeit relevant ist, betrachten wir den Realteil dieser Gleichung

R\left(\dot{\varphi}\left(t\right)\right)=-A\cdot\bar{\omega}\sin\left(\bar{\omega}t-\theta\right)

Hieraus lässt sich die maximale Geschwindigkeit \dot{\varphi}\left(t\right) bestimmen

{\dot{\varphi}}_{\mathrm{max}}=A\bar{\omega}

Die kinetische Energie

E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2

kann man bei einer Rotation durch die folgende Gleichung ausdrücken

E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}m\left(r\dot{\varphi}\right)^2

Hierbei ist r der Radius und \dot{\varphi}\left(t\right) die Winkelgeschwindigkeit. Setzt man nun die maximale Winkelgeschwindigkeit \dot{\varphi}_{\mathrm{max}}\left(t\right) von oben ein, führt dies auf

E_{\mathrm{kin}}^{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}m\left(r\cdot A\bar{\omega}\right)^2

Nun kann man die Energie des Oszillators im Resonanzfall, also wenn \bar{\omega}\approx\omega_0 , berechnen mit

E_{\mathrm{kin}}^{\mathrm{max}}\left(\bar{\omega}\approx\omega_0\right)=\frac{1}{2}m\cdot\left(r\cdot A\left(\omega_0\right\}\cdot\omega_0\right)^2

=\frac{1}{2}m\cdot\left(r\cdot\frac{\bar{A}}{2\beta\omega_0}\cdot\omega_0\right)^2

=\frac{m\cdot r^2\cdot{\bar{A}}^2}{8\beta^2}

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