Mechanik: Dynamik

Superpositionsprinzip

Dieser Artikel behandelt das Superpositionsprinzip. Dabei betrachten wir verschiedene Anwendungsbereiche, wie die Mechanik, die Physik oder die Elektrotechnik. Überall dort, wo sich mehrere Kräfte, Bewegungen oder auch Wellen in einem linearen System überlagern, spricht man von Superposition. Wie genau sich das gestaltet sehen wir uns jetzt an.

Das hört sich ganz schön komplex und kompliziert an? Unser Video erklärt dir innerhalb von kürzester Zeit was du zur Superposition wissen musst!

Inhaltsübersicht

Superpositionsprinzip Erklärung

Das Superpositionsprinzip wird auch als Superposition oder als Überlagerungsprinzip bezeichnet. Es behandelt die Überlagerung zweier gleicher physikalischer Größen. Diese Größen überlagern sich dabei ohne gegenseitige Beeinträchtigung. Die Superposition wird in vielen Bereichen wie der Mathematik, der Physik und der Elektrotechnik auf lineare Probleme angewandt.

Das Superpositionsprinzip unterscheidet sich dabei nur nach der Art der sich überlagernden Größen. Daher kann man auch sagen, dass die Größen superponieren.

Superpositionsprinzip Mechanik

In der klassischen Mechanik wird die Superposition zum einen bei der Überlagerung von Kräften und zum anderen bei der Überlagerung von Lastfällen angewandt (Überlagerungsprinzip).

Bei den Kräften wird das Superpositionsprinzip auch das “Prinzip der ungestörten Überlagerung der Kräfte”, das “Prinzip der resultierenden Kräfte” oder das “Vierte newtonsche Gesetz” genannt.

Es besagt, dass verschiedene Kräfte die unabhängig voneinander auf einen Körper einwirken, genauso wirken, wie die Summe der Kräfte. Die Formel dazu lautet:

{\overset{\rightharpoonup} F}} \(\sum \limits_{i - 1}^n {\overset{\rightharpoonup}F_{i}}}

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Superpositionsprinzip

So wird eine Kiste, auf welche zwei Kräfte  nach links und  nach vorne wirken, in Richtung der Gesamtkraft geschoben. Dabei ist irrelevant, ob die Kräfte nacheinander wirken und in welcher Reihenfolge. Denn ob die Kiste erst nach links oder nach vorne geschoben wird ist für das Endresultat nicht weiter wichtig. Wenn du dir dazu noch ein Beispiel ansehen willst, schau dir doch unser Video „Gleichgewichtsbedingung der Statik“ dazu an.

Auch Lastfälle können sich überlagern, allerdings muss hier beachtet werden, dass bei nichtlinearen Problemen eine einfache Addition der Kräfte nicht mehr möglich ist. Diese müssen dann neu ermittelt werden.

Superpositionsprinzip Elektrotechnik

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Elektrotechnik. Hier versteht man unter der Superposition das Überlagerungsverfahren nach Helmholtz. Dies ist ein Verfahren, das die einfache Berechnung linearer elektrischer Schaltungen mit mehreren Spannungs- oder Stromquellen ermöglicht.

Dabei wird die Berechnung für jede Quelle getrennt durchgeführt, während die anderen Quellen auf null gesetzt werden. Spannungsquellen entsprechen einem Kurzschluss mit 0V und Stromquellen einer Unterbrechung der Leitungen mit 0A. Die Innenwiderstände verbleiben allerdings im Schaltkreis. Sind alle Teilschaltungen berechnet, können die Werte addiert werden. Dabei muss auf die Vorzeichen geachtet werden. Das Ergebnis entspricht dem realen Netzwerk.

Das Prinzip findet sowohl bei Gleich- als auch bei Wechselspannung und -strom Anwendung.

Superpositionsprinzip Mathe

In der Mathematik wird das Superpositionsprinzip für die Lösung von Gleichungen verwendet. Es besagt, dass eine Linearkombination von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung auch wieder eine Lösung der homogenen linearen Gleichung ist.

Ein Beispiel dafür sind lineare Differenzialgleichungen. Hier kann man die Lösungen  aufsummieren zu einer neuen Lösung:

x(t) = \(\sum \limits_{i=1}^n a_{i} x_{i} (t)

Dabei gibt der Faktor a_{o} die Gewichtung der Komponenten an. Die mathematische Formel bildet die Grundlage für viele physikalische Systeme, da diese oftmals linearen Differentialgleichungen folgen. Die Formel kann auch so ausgedrückt werden:

“Sind  f_{1} bis f_{n} Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung, dann ist auch jede Summe dieser Lösungen eine Lösung der Differentialgleichung”

Superpositionsprinzip Physik

Neben der Mechanik bedienen sich noch andere Teildisziplinen der Physik an dem Superpositionsprinzip. Beispiele sind die Quantenmechanik, die Thermodynamik und die Wellenlehre.

Superpositionsprinzip Quantenmechanik

Quantenmechanische Vorgänge werden durch Wellenfunktionen beschrieben. Hier gilt das Superpositionsprinzip nur für exakt abgeschlossene Systeme, die nicht mit Ihrer Umgebung verschränkt sind. Ein quantenmechanisches System, das die Zustände  und  zulässt, muss auch den Zustand

c_{1} {\psi}_{1}+c_{2} \psi_{2}
c_1 c_2 \in \mathbb{C}

zulassen. Es gilt also die Bra-Ket-Notation:

\vert \psi  \rangle =\(\sum \limits_{i = 1}^n c_i \vert \varphi_i \rangle

Der Gesamtzustand   \vert \psi  \rangle lässt sich durch eine Überlagerung möglicher Einzelzustände beschreiben \vert \psi _i \rangle.

Sind diese Einzelzustände normiert und orthogonal zueinander, so gibt das Quadrat der komplexen Wahrscheinlichkeitsamplitude  die Wahrscheinlichkeit dafür an, einen bestimmten Zustand \vert \psi _i \rangle bei einer spezialisierten Messung vorzufinden. So ist die Wahrscheinlichkeit für \psi _1 und \psi _2, sollten dies normiert und orthogonal zueinander sein, folgendes:

\psi _1 \to \vert c_1\vert^2

\psi _2 \to \vert c_2\vert^2

Die Grundgleichung ist hier die Schrödinger-Gleichung. Diese ist linear, deshalb wird als Beispiel oft Schrödingers Katze verwendet.

Bei inkohärenten Sektoren innerhalb des Zustandsraums des Quantensystems gilt das Prinzip nur innerhalb der einzelnen Sektoren.

Superpositionsprinzip Thermodynamik

In der Thermodynamik berechnet man mit dem Überlagerungsprinzip transiente Erwärmungsvorgänge. Dabei werden die Prozesse, welche zur Wärmezufuhr und zur Wärmeabfuhr beitragen, überlagert. Ein typisches Beispiel ist die Bestimmung der Temperatur eines Leistungshalbleiters nach einem Leistungsimpuls (Bild 1) zu einem bestimmten Zeitpunkt. Das kann in einem Diagramm dargestellt werden:

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Überlagerungsprinzip

Zunächst wirkt von  bis  ein Leistungsimpuls (Bild 1 blau), der den Halbleiter erwärmt. Die Temperatur, hier in Rot (Bild 2 rot), steigt exponentiell nachfolgender Funktion an:

\triangle T = k(1 - e^\frac{t}{t_1})

Nun wartet man das Ende der Erwärmung ab und setzt dann eine äquivalenten negativen Leistungsimpuls. Gleichzeitig lässt man den ersten Leistungsimpuls fortwirken (Bild 2). Die aus dem zweiten Impuls resultierende negative Erwärmungskurve (Bild 3, grün) gibt in Summe mit der positiven Erwärmungskurve die Abkühlfunktion (Bild 3 blau) des Halbleiters.

Superpositionsprinzip Wellenlehre

Ein weiteres Anwendungsgebiet der Physik ist die Wellenlehre. Hier bedeutet die Superposition eine ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen gleichen Typs – auch Interferenz genannt. Dabei werden die Amplituden aufsummiert. Dabei kann es zu einer konstruktiven und zu einer destruktiven Interferenz . Wenn du über diese mehr wissen willst, kannst du dir unser Video zur Bragg Gleichung ansehen.

Bei der konstruktiven Interferenz verstärkt sich die Amplitude der Ausgangsfunktion.

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Superpositionsprinzip Physik – Konstruktive & Dekonstruktive Interferenz

Bei der destruktiven Interferenz reduziert sich die Amplitude der Ausgangfunktion, die Wellen löschen sich gegenseitig aus.

Der resultierende Amplitudenverlauf wirkt sich jedoch nicht auf die ursprünglichen Amplitudenverläufe aus. Es kann nur zu Energieverlusten kommen.

Ein Beispiel für sich überlagernde Wellen sind elektromagnetische Wellen, da sich hier die Wellen unabhängig von anderen Wellen in einem Medium ausbreiten. Auch bei Wasserwellen lässt sich dieses Prinzip beobachten. Nach Verlassen eines Überlagerungsgebietes laufen diese in ihrer ursprünglichen Form weiter. Das Huygensche Prinzip, das die Wellenausbreitung in geometrischen Schattenbereichen erklärt, basiert auf dem Superpositionsprinzip.


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