Mechanik: Dynamik

Spannenergie

Federn können potentielle Energie speichern. Wenn du erfahren möchtest, wie du unter anderem diese Spannenergie berechnen kannst, dann bist du bei diesem Beitrag genau richtig. 

Du möchtest lieber ein Video schauen als einen Artikel zu lesen? Kein Problem, denn auch zur Spannenergie haben wir ein animiertes Video, das du dir gerne anschauen kannst.

Inhaltsübersicht

Spannenergie einfach erklärt

Wenn du einen Körper elastisch verformst , dann verrichtest du an ihn eine Arbeit . Diese Arbeit wird manchmal Spannarbeit oder Verformungsarbeit genannt. Dadurch, dass du Arbeit in die elastische Verformung investiert hast, steckt nun im Körper eine Energie, die als Spannenergie (auch elastische Energie oder Verformungsenergie) bezeichnet wird. 

Allgemein kannst du die Arbeit, die bei einer Kraftwirkung F entlang einer Wegstrecke s verrichtet wird, folgendermaßen berechnen

W = \int\limits_{0}^{s} F \ dx.

Für die elastische Verformung eines Körpers lässt sich das Hookesche Gesetz verwenden und damit ergibt sich für die Spannenergie E\mathsf{_{Spann}}

E\mathsf{_{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2.

Hier ist k die Federkonstante und x die Änderung der Ruhelänge des Körpers.

Spannenergie Formel

Die Formel für die Spannenergie lässt sich auch etwas illustrativer durch ein Experiment ableiten. Das wollen wir die in diesem Abschnitt Schritt für Schritt näher erläutern.

Experimentelle Herleitung

Für das Experiment benötigst du eine Feder, die an einer an der Decke befestigten Schnur hängt. Im Ruhezustand der Feder markierst du dir das Federende. % Hier werden dann entsprechend die Bilder der Animation eingefügt Diese Markierung soll x_1 heißen. Du ziehst dann etwas an der Feder und markierst dir an der Endposition wieder das Federende, diese Markierung heißt x_2, sowie einen weiteren beliebigen Punkt entlang der Feder. Nehmen wir beispielhaft an, dass dieser beliebige Punkt genau die Mitte der Feder ist und bezeichnen wir diesen als h_1. Jetzt lässt du die Feder los, wodurch sich die Feder nach oben bewegt. Am obersten Punkt der Bewegung angekommen, markierst du wieder die Mitte der Feder. Diesen Punkten bezeichnen wir als h_2

In diesem Experiment wurde die Spannenergie der Feder zunächst in die kinetische Energie der Federbewegung nach oben und schließlich zur potentielle Energie – relativ zur Federmitte – der Feder im obersten Punkt der Bewegung umgewandelt. Es gilt also nach der Energieerhaltung

E\mathsf{_{Spann}} = E\mathsf{_{pot}}

und mit der Formel für die potentielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld

E\mathsf{_{Spann}} = m \cdot g \cdot h.

Hier ist m die Masse der Feder, g die Gravitationskonstante und h die Differenz aus h_2 und h_1.

Einfluss der Änderung der Ruhelänge und der Federkonstanten

Um jetzt auf die Form der Spannenergie zu schließen, führst du diesen Versuch für unterschiedliche Änderungen der Ruhelänge x = x_2 - x_1 aus. Anschließend nimmst du für eine gegebene Änderung der Ruhelänge Federn mit unterschiedlichen Federkonstanten her und wiederholst das Experiment für jede Feder. Wenn du einmal E\mathsf{_{Spann}} gegen x und einmal gegen k aufträgst, wirst du folgende Proportionalitäten erkennen

E\mathsf{_{Spann}} \thicksim x^2 und

E\mathsf{_{Spann}} \thicksim k.

Wenn wir nun einen Faktor P einführen, dann lassen sich die Ergebnisse zusammenfassen zu

E\mathsf{_{Spann}} = P \cdot k \cdot x^2.

Dieser Faktor stellt sich dann als P = \frac{1}{2} heraus und somit hast du die gewünschte Formel für die Spannenergie.

Spannenergie Beispiele

In diesem Abschnitt möchten wir dir zunächst einige Anwendungsgebiete aufzählen, in denen die Spannenergie eine Rolle spielt, und anschließend ein kleines Zahlenbeispiel vorstellen.

Anwendungsbeispiel

Hier ein paar Anwendungsbeispiele, bei denen Gebrauch von der Spannenergie gemacht wird

  • Achillessehne: Die Achillessehne wird beim Laufen gestaucht und gedehnt. Sie speichert dabei Spannenergie und reduziert dadurch die Arbeit, die du zum Laufen brauchst.
  • Bogenschießen: Beim Bogenschießen wird die Bogensehne gespannt, worin dann die Verformungsenergie gespeichert ist. Beim Loslassen wird sie in die kinetische Energie des Pfeils umgewandelt.
  • Radaufhängung: Die Radaufhängung absorbiert beim Auftreffen auf Unebenheiten die Stoßenergie in Form von Spannenergie. Dadurch ist ein gemütliches Fahren trotz Unebenheiten möglich.

Berechnung der Spannenergie

Du hast eine Feder mit einer Federkonstante von 3000 \ \frac{N}{m} und wir ändern ihre Ruhelänge um 3 \ cm. Wie viel Spannenergie wird dadurch in der Feder gespeichert? Zunächst betrachten wir die Einheiten. Die Spannenergie besitzt als eine Energieform die Einheit Joule (J). Die Federkonstante ist in der Einheit \frac{N}{m}, die Änderung der Ruhelänge in cm. Die Formel sagt uns, dass wir die Federkonstante mit dem Quadrat der Änderung multiplizieren müssen. Die Einheit Joule kann auch als N \cdot m geschrieben werden. Daher müssen wir cm in m umwandeln. Nachdem wir das getan haben, erhalten wir die Spannenergie durch

E\mathsf{_{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot 3000 \ \frac{N}{m} \cdot (0,03 \ m)^2 = 1,35 \ J.

Spannenergie berechnen

Nehmen wir die gleiche Feder wie im Zahlenbeispiel weiter oben. Wir wollen damit eine Kugel der Masse 1 \ kg durch die Gegend befördern. Dazu drücken wir die Feder um die Strecke 10 \ cm zusammen. Wie schnell wird sich unsere Kugel dann durch die Luft bewegen? Beim Entspannen der zerdrückten Feder wird die Spannenergie in die kinetische Energie der Kugel umgewandelt. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt daher

E\mathsf{_{Spann \ Feder}} = E\mathsf{_{kin \ Kugel}}

und mit den entsprechenden Formeln für die Spannenergie und kinetische Energie

\frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2.

Wenn wir diese Gleichung nach der gesuchten Kugelgeschwindigkeit v umstellen, erhalten wir

v = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot x

und nach Einsetzen der Zahlenwerte

v = 5,48 \ \frac{m}{s}.


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