Mechanik: Dynamik
Bewegung ohne Kräfte
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Die Fallbeschleunigung g wird in der Einheit Meter pro Quadratsekunde angegeben. Was sie aussagt und wie du sie berechnest, erfährst du hier%und in unserem Video.

Fallbeschleunigung einfach erklärt

Fallbeschleunigung nennst du diejenige Beschleunigung, die bei einem freien Fall mit vernachlässigbar kleinem Luftwiderstand auftritt. Auf der Erde beträgt sie durchschnittlich 9,81\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2}. Du gibst die Fallbeschleunigung mit dem Formelzeichen g an.

Die Fallbeschleunigung gibt an, wie schnell ein Objekt beim freien Fall seine Geschwindigkeit ändert. An verschiedenen Orten der Erde ist sie unterschiedlich groß. Am Äquator ist sie mit 9,78\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} am kleinsten, während sie an den Polen ganze 9,83\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} beträgt.

Fallbeschleunigung, Erdbeschleunigung und Ortsfaktor

Sicher ist dir schon einmal der Begriff Erdbeschleunigung begegnet. So nennst du die Fallbeschleunigung auf der Erde. Weitere Synonyme sind Gravitationsbeschleunigung und  Schwerebeschleunigung. Auch der Ortsfaktor beschreibt im Grunde dasselbe wie die Fallbeschleunigung. Der Begriff Ortsfaktor betont, dass die Fallbeschleunigung vom Ort abhängt und von Position zu Position unterschiedlich sein kann. Das zeigen die verschiedenen Werte auf der Erde.

  • an den Polen auf der Erde: 9,832\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2}
  • im Durchschnitt auf der Erde: 9,807\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2}
  • am Äquator auf der Erde: 9,787\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2}
  • 100 km über der Erdoberfläche: 9,52\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2}

Obwohl der Ortsfaktor meist mit einer anderen Einheit als die Fallbeschleunigung angegeben wird, meint er doch dasselbe. Häufig findest du für den mittleren Ortsfaktor g der Erdoberfläche die Angabe 9,81\frac{\si{\newton}}{\si{\kilogram}}. Die beiden Einheiten sind aber gleichzusetzen, denn:

    \[1\frac{\textcolor{magenta}{\si{\newton}}}{\si{\kilogram}}=1\frac{\textcolor{magenta}{\frac{\cancel{\si{\kilogram}}\cdot\colorbox{lime}{\si{\metre}}}{\colorbox{lime}{\si{\s}}^2}}}{\cancel{\si{\kilogram}}}=1\frac{\colorbox{lime}{\si{\metre}}}{\colorbox{lime}{\si{\s}}^2}\]

Fallbeschleunigung berechnen

Erdbeschleunigung

Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung gibt es verschiedene Möglichkeiten. Sind Masse und Gewichtskraft eines Körpers an einem Ort bekannt, kannst du die Fallbeschleunigung des Orts mithilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes berechnen. Dabei gilt Fallbeschleunigung g ist Gewichtskraft F_\mathrm{G} mal Masse m.

    \[g=\frac{F_\mathrm{G}}{m}\]

Auch das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls kannst du nutzen, um die Erdbeschleunigung zu berechnen. Nach der Fallbeschleunigung aufgelöst lautet es: Fallbeschleunigung g ist zwei mal die Fallstrecke s geteilt durch das Quadrat der Fallzeit t. Mithilfe eines geeigneten Versuchs lassen sich Fallstrecke und Fallzeit eines Objekts messen und so die Erdbeschleunigung bestimmen. 

    \[g=\frac{2\cdot{s}}{t^2}\]

Eine weitere Möglichkeit, die Fallbeschleunigung experimentell zu bestimmen, bietet das Fadenpendel. Für kleine Auslenkungen berechnest du seine Schwingungsdauer mit folgender Formel:

    \[T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}\]

Die Schwingungsdauer T und die Fadenlänge l können im Versuch gemessen werden. Das Umstellen der Formel nach g liefert dann: 

    \[g=\frac{4\pi^2\cdot{l}}{T^2}\]

Fallbeschleunigung der Himmelskörper

Aber nicht nur auf der Erde gibt es eine Fallbeschleunigung. Alle größeren Himmelskörper verfügen über eine messbare Gravitationskraft, mit der sie Massen beschleunigen können. Für die Berechnung der Beschleunigung verwendest du das zweite Newtonsche Gesetz (1) und das Gravitationsgesetz (2).

    \[\begin{flushleft} \left(1\right)\hspace{10mm}{F=m_\mathrm{K}\cdot{g}}\\ \left(2\right)\hspace{10mm}{F_\mathrm{G}=G\cdot\frac{m_\mathrm{H}\cdot{m_\mathrm{K}}}{r^2}} \end{flushleft}\]

Die Massen m_\mathrm{H} und m_\mathrm{K} entsprechen dabei den Massen des Himmelskörpers und des von ihm angezogenen Körpers. Die Gravitationskonstante G ist eine fundamentale Naturkonstante und beträgt ungefähr 6,67\cdot{10^{-11}}\frac{\si{\metre}^3}{\si{\kilogram}\cdot{\si{\second}^2}}. Da die Kraft F des Newtonschen Gesetzes in dem Fall der Gewichtskraft F_\mathrm{G} entspricht, können sie gleichgesetzt und nach der Fallbeschleunigung g aufgelöst werden:

    \begin{align*}{ m_\mathrm{K}\cdot{g}&=G\cdot\frac{m_\mathrm{H}\cdot{m_\mathrm{K}}}{r^2}\\ {g&=G\cdot{\frac{m_\mathrm{H}}{r^2}}} }\end{align*}

Mithilfe der Formel ‚Fallbeschleunigung g ist Gravitationskonstante G mal Masse m_\mathrm{H} geteilt durch Radius r zum Quadrat‘ lässt sich nun die Fallbeschleunigung auf der Oberfläche jedes Himmelskörpers bestimmen.

Fallbeschleunigung Beispiele

Die Fallbeschleunigung hängt also von dem Radius und der Masse der Himmelskörper ab. Je kleiner und schwerer sie sind, desto größer ist die Fallbeschleunigung. Das kannst du auch an folgenden Beispielen erkennen:

Himmelskörper Fallbeschleunigung Masse Radius
Erde 9,81\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} 5,97\cdot{10^{24}}\si{\kg} 6.371.000\si{\m}
Mond  1,62\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} 7,34\cdot{10^{22}}\si{\kg} 1.737.000\si{\m}
Mars  3,72\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} 6,41\cdot{10^{23}}\si{\kg} 3.390.000\si{\m}
Jupiter  25,9\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} 1,90\cdot{10^{27}}\si{\kg} 69.911.000\si{\m}
Sonne  275\frac{\si{\metre}}{\si{\s}^2} 2,00\cdot{10^{30}}\si{\kg} 696.340.000\si{\m}

Wie du die Werte der Tabelle nutzt, um die Geschwindigkeit eines freien Falls auf den Himmelskörpern zu berechnen, erfährst du in unserem Video dazu! %Thumbnail freier Fall

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