Mechanik: Dynamik
Bewegungen Grundlagen
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Wie du deine Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer langen Reise berechnest und was das eigentlich ist, das erfährst du hier. Schau auf jeden Fall noch das Video  zum Artikel. Darin sind alle Inhalte für dich bereits audiovisuell aufbereitet. 

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Mittel aus allen Geschwindigkeiten auf einer bestimmten Strecke in einer bestimmten Zeit. Fährst du zum Beispiel von Frankfurt nach Berlin, so beginnst du mit 50 Kilometern pro Stunde in der Stadt, und fährst dann vielleicht 120 Kilometer pro Stunde auf der Autobahn. Um davon die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen benutzt du die Formel:

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}

In dieser Formel steht \bar{v} für die mittlere Geschwindigkeit, \Delta s für die betrachtete Strecke und \Delta t für die Fahrtdauer in Stunden. 

Du kennst vielleicht schon die einfachen Fälle der gleichförmigen Bewegung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung . Diese sind relativ leicht zu verstehen und die Geschwindigkeit beziehungsweise Beschleunigung bleibt im Bewegungsverlauf konstant. 

In der Realität sieht das jedoch anders aus. Wann hat man schon die Möglichkeit mit unveränderter, konstanter Geschwindigkeit im Straßenverkehr unterwegs zu sein. Um dennoch zu wissen, wie schnell du unterwegs warst, wenn du zum Beispiel von Frankfurt nach Berlin fährst, berechnest du die durchschnittliche Geschwindigkeit.

Durschnittgeschwindigkeit berechnen Formel

Diese Formel ist allerdings eine Vereinfachung. Hier siehst du die ausführlichere Darstellung.

v=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}

Zum Vergleich siehst du hier nochmal die vereinfachte Form:

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}

Vergleichst du diese beiden Formeln erkennst du signifikante Unterschiede an ihren Darstellungen. Allerdings geben dir beide Formeln die exakt gleichen Aussagen. Die vereinfachte Formel nutzt lediglich alternative Ausdrücke für die Summen von Strecke und Zeiten. 

\Delta s = s_1+s_2 und \Delta t = t_1 + t_2

Zudem ist \bar{v} nur eine Schreibweise, die dir deutlich machen soll, dass es sich hierbei um einen Mittelwert handelt. Dennoch ergibt sich am Ende eine einzige Geschwindigkeit.

Kennst du die zurückgelegte Strecke nicht, dafür aber die einzelnen Geschwindigkeiten verschiedener Etappen und deren Fahrtzeiten, dann hast du alternativ die Möglichkeit mit deinen Teil-Geschwindigkeiten die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen.

v=\frac{t_1 \cdot v_1 + t_2 \cdot v_2}{t_1 + t_2}

Hier steht v_1 und v_2 für deine verschiedenen Geschwindigkeiten auf verschiedenen Streckenabschnitten. Später siehst du Beispiele, in welchen du besser siehst wie die Formeln angewandt werden.  

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen Weg-Zeit-Diagramm

Bewegungen stellst du graphisch am besten mit einem sogenannten Weg-Zeit-Diagramm dar. Dabei handelt es sich um einen Graphen, bei welchem du die Zeit auf der x-Achse gegen die zurückgelegte Strecke auf der y-Achse aufträgst. 

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Die Strecke deiner Durchschnittsgeschwindigkeit schneidet den Streckenverlauf deiner regulären Geschwindigkeit fast mittig.

 

Auf dem Bild siehst du wie ein solches Weg-Zeit-Diagramm aussieht. Deine reguläre Strecke stellt eine gezackte Linie dar. Das liegt daran, dass du zu verschiedenen Zeiten verschieden schnell gefahren bist. Dadurch hat du verschieden lange Strecken zurückgelegt. Berechnest du jetzt deine Durchschnittsgeschwindigkeit, erhältst du das Weg-Zeit-Diagramm der gleichförmigen Bewegung. Daher ein linearer Verlauf des Graphen. Überlagerst du jetzt beide Ergebnisse miteinander, so siehst du, dass die Linie deinen ursprünglichen Graphen fast mittig schneidet. Somit gilt auch die Bezeichnung mittlere Geschwindigkeit

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen mit Pausen

Was aber wenn du eine Pause während deiner Reise machst? 

Zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit nimmst du in der Regel die einfachste Formel.

\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Hast du nun aber während deiner fünf stündigen Reise eine halbe Stunde Pause gemacht, dann erhältst du kein akkurates Ergebnis für deine mittlere Geschwindigkeit. Immerhin bist du nicht fünf Stunden durchgefahren, sondern nur viereinhalb. 

Um das zu berücksichtigen, subtrahierst du einfach deine Pausen von der gesamten Fahrzeit. Deine Formel sieht dann wie folgt aus:

\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t - \Delta t_p}

Hier ist \Delta t_p die Summe der Pausenzeiten.

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen Beispiel

Abschließend zur Theorie siehst du hier wie du die Formeln am besten praktisch anwendest. 

Durchschnittsgeschwindigkeit Joggen

Stell dir vor du joggst durch den Wald. Du läufst \Delta t = 2 \, h (Stunden) und legst eine Strecke von \Delta s = 18 \, km zurück. Was ist deine Durchschnittsgeschwindigkeit \bar{v}? Dazu nutzen wir die vereinfachte Formel zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit:

\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Anschließend setzt du nur noch die Werte aus der Aufgabe ein  und berechnest \bar{v}.

\bar{v} = \frac{18 \, km}{2 \, h}
\bar{v} = 9 \, \frac{km}{h}

Damit beträgt deine Durchschnittsgeschwindigkeit beim Joggen in unserem Beispiel 9 Kilometer pro Stunde. 

Durchschnittsgeschwindigkeit Fahrrad

Stell dir nun vor, du machst eine Fahrradtour. Du bist eine Strecke von \Delta s = 50 \, km gefahren und warst mit deinen Freunden insgesamt \Delta t = 6 \, h unterwegs. Während eurer Tour habt ihr ein paar Pausen von insgesamt \Delta t_p = 2 \, h gemacht. Was war eure Durchschnittsgeschwindigkeit?

Zur Lösung des Problems benutzt du die Formel, welche Pausen berücksichtigt. Dann setzt du deine Werte ein und berechnest \bar{v}

\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t - \Delta t_p}
\bar{v} = \frac{50 \, km}{6 \, h - 2 \, h} = \frac{50 \, km}{4 \, h}
\bar{v} = 12,5 \, \frac{km}{h}

Du hast damit berechnet, dass eure mittlere Geschwindigkeit für die gesamte Fahrradtour 12,5 Kilometer pro Stunde betrug.

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