Mechanik: Dynamik

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung sind Größen, die sehr oft in der klassischen Mechanik bei Rotationsbewegungen verwendet werden. Mit ihnen lassen sich Rotationsbewegungen, wie zum Beispiel die Rotation der Erde, beschreiben.

Um die gesamte Thematik für dich noch anschaulicher darzustellen, haben wir ein Video für dich erstellt. Hier findest du alles Wichtige graphisch aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektorielle Größe und beschreibt in der Physik die zeitliche Änderung eines Winkels. Sie zeigt in die Richtung der Drehachse und wird mit einem kleinen Omega als Formelzeichen dargestellt. Da mit der Winkelgeschwindigkeit oft Rotationen beschrieben werden, wird sie deshalb auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet.

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Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit Formel

In diesem Abschnitt wird die Formel der Winkelgeschwindigkeit vorgestellt. Die Winkelgeschwindigkeit \vec{\omega}  beschreibt die zeitliche Änderung eines Rotationswinkels \varphi, sodass der Betrag der Winkelgeschwindigkeit durch die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels dargestellt werden kann

\vert \vec{\omega} \vert= \omega = \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t}

Mit dieser Formel der Winkelgeschwindigkeit, kann diese also einfach durch Ableiten des Winkels  nach der Zeit berechnet werden. Geht man von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit aus, dann ist diese gerade das Verhältnis einer Umdrehung mit dem Winkel 2\pi zur Umlaufzeit T. Die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt mit der Umlaufzeit T ist dann gegeben durch

\omega = \frac {2\pi}{T}

Wobei T die Zeit ist, die für eine Umdrehung benötigt wird.

Winkelgeschwindigkeit Einheit

Die Winkelgeschwindigkeit ist der Quotient aus der Änderung des Rotationswinkels \varphi, gemessen im Bogenmaß, und der benötigten Zeit t, gemessen in Sekunden. Für die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit erhalt man somit \frac {\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}. Hierbei ist rad der Radiant, welcher die Einheit des Bogenmaßes darstellt. Das Bogenmaß wird häufig zur Winkelmessung bei Rotationen eingesetzt, da man mit ihm oft einfacher rechnen kann, als mit dem Gradmaß. Es beschreibt den Winkel als Kreisbogen auf einem Einheitskreis. Eine Umdrehung von 360° auf einem Einheitskreis entspricht dann gerade dem Bogenmaß . Damit lassen sich das Bogenmaß und das Gradmaß einfach ineinander umrechnen. Hat man einen Winkel  \Psi [Grad] in Grad gegeben, dann kann man diesen mit dem Bogenmaß x [rad] in der Einheit Radiant, wie folgt ausdrücken

x[rad] = \frac{\pi}{180}\Psi [Grad]

Umgekehrt kann man natürlich auch aus einem Winkel, der in der Einheit Radiant gegeben ist, den Winkel in der Einheit Grad berechnen

[Grad] = \frac {\pi}{180}x[rad]

Winkelgeschwindigkeit berechnen

In diesem Abschnitt werden verschiedene Anwendungsfelder gezeigt, bei denen die Winkelgeschwindigkeit eine Rolle spielt. An verschiedenen Beispielen wird deutlich gemacht, wie man die Winkelgeschwindigkeit berechnet.

Berechnung mittels Bahngeschwindigkeit

Betrachtet man zum Beispiel eine Scheibe, die sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht, so bewegen sich Gegenstände auf der Scheibe umso schneller, desto weiter sie vom Rotationsmittelpunkt entfernt sind. Diese Geschwindigkeit v kann man mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit \omega berechnen, mit

v = \omega \cdot r = \frac {2\pi r}{T}

v wird in diesem Zusammenhang auch als Bahngeschwindigkeit bezeichnet, da sie die Geschwindigkeit der Körper beschreibt, die sich auf einer Kreisbahn um den Mittelpunkt bewegen. Wie schon erwähnt, ist die Bahngeschwindigkeit der Gegenstände auf der Scheibe umso größer, je weiter sie vom Rotationsmittelpunkt entfernt sind. Die Winkelgeschwindigkeit \omega hingegen ist für alle Gegenstände auf der Scheibe gleich, da sie alle in derselben Zeit T eine Rotation von 2\pi zurücklegen. Die Winkelgeschwindigkeit kannst du bei gegebener Bahngeschwindigkeit berechnen mit

\omega = \frac {v}{r}

Berechnung in Polarkoordinaten

Als nächstes Beispiel werden wir die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung in Polarkoordinaten darstellen und zeigen, wie man die Winkelgeschwindigkeit berechnet. Dies bietet sich immer dann an, wenn eine Bewegung in einer festen Ebene erfolgt. Als Ausgangspunkt seien die Basisvektoren in ebenen Polarkoordinaten gegeben durch

\vec{e} _{\varphi} = \begin{pmatrix} -\sin(\varphi)\\  \cos(\varphi) \end{pmatrix}          \vec {e}_r }= \begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\  \sin(\varphi) \end{pmatrix}

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Winkelgeschwindigkeit berechnen

Hierbei beschreibt \varphi den Winkel zwischen der x-Achse und des Basisvektors \vec{e}_r. Der Basisvektor \vec{e}_{\varphi } ist immer tangential zu Bahntangente und \vec {e}_r zeigt in die radiale Richtung. Der Ortsvektor sei gegeben durch

\vec {r }(t) = r \cdot \vec{e}_r

Über das Differential dr lässt sich damit die Geschwindigkeit \vec {v}(t) ermitteln

\mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\vec {e}_r + r\mathrm{d}\vec {e}_r rht

\Leftrightarrow \dot{\vec{r}} = \dot{r}\vec {e}_r + r \dot{\vec {e}}_r

\Leftrightarrow \vec{v} (t) = r \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi}

da \mathrm{d}r = 0, denn r = const. und \dot{\vec{e}}_r = \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi}\dot{\varphi} ist dabei die Änderung des Winkels \varphi pro Zeiteinheit, sodass dies gerade die Winkelgeschwindigkeit \omega darstellt, also \dot{\varphi} = \omega. Berechnet man den Geschwindigkeitsbetrag, so erhält man dasselbe Ergebnis wie im vorherigen Beispiel

\vert \vec{v}\vert =  v = r \cdot \omega

Im Folgenden gehen wir darauf ein, wie man die Kreisgeschwindigkeit in drei Dimensionen berechnen kann. Betrachtet man eine Bewegung in drei Dimensionen, so zeigt eine Komponente des Geschwindigkeitsvektors \vec{v}_{\vert\vert} in Richtung des Radius und eine Komponente senkrecht dazu \vec{v}_{\perp}, also tangential zur Kreisbewegung.

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Winkelgeschwindigkeit in drei Dimensionen

Die Rotationsachse ist dabei wie im zweidimensionalen Fall senkrecht zur aufgespannten Ebene von \vec{r} und \vec{v}. Somit gilt, dass

\vec{\omega} = \frac {\vec{r} \times\vec{v}} {\vert \vec{r}^2\vert}

Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit in Zylinder– oder Kugelkoordinaten einfach berechnen.

Berechnung in Zylinderkoordinaten

Betrachten wir zuerst die Winkelgeschwindigkeit in Zylinderkoordinaten. Dabei gehen wir von folgendem Ortsvektor aus

\vec{r}  = \begin{pmatrix} \rho \cos\varphi\\ \rho \sin \varphi \\ z\end{pmatrix}

womit sich die folgenden Basisvektoren ergeben.

\vec{e}_{\rho}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial \rho}} {\left|\frac {\partial\vec{r}}{\partial \rho}\right|}= \begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\ \sin (\varphi) \\ 0\end{pmatrix}        \vec{e}_{\varphi}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial \varphi}} {\left|\frac {\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\right|}= \begin{pmatrix} - \sin(\varphi)\\ \cos (\varphi) \\ 0\end{pmatrix}        \vec{e}_{z}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial z}} {\left|\frac {\partial\vec {r}}{\partial z}\right|}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}

Die Geschwindigkeit \vec{v} erhält man nun durch Differentiation des Ortsvektors \vec{r} nach t.

\vec{v} = \frac {\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix} \dot{\rho} \cos (\varphi) - \rho \sin (\varphi) \dot{\varphi}\\ \dot{\rho} \sin (\varphi) - \rho \cos (\varphi) \dot{\varphi} \\ \dot{z}\end{pmatrix}

Setzt man den Ortsvektor \vec{r} und die Geschwindigkeit \vec{v} in die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ein, und drückt anschließend die Winkelgeschwindigkeit mit den Basisvektoren aus, liefert dies

\vert \vec{r}^2 \vert \cdot \vec{\omega} = \vec{r} \times \vec{v}

\Leftrightarrow (\rho^2 + z^2) \cdot \vec{\omega} = \dot{\rho} z \vec{e}_{\varphi} + \dot{\varphi} (- z \rho \vec{e}_{\rho} + \rho^2 \vec{e}_z) - \dot{z} \rho \vec {e}_{\varphi}

Stellt man diese Formel nach \overrightarrow {\omega} um, dann lässt sich die Winkelgeschwindigkeit berechnen mit

\vec{\omega} = \frac {1} {(\rho^2 + z^2)} \cdot (\dot{\rho}z \vec{e}_{\varphi} + \dot{\varphi} (- z\rho \vec{e}_\rho + \rho^2 \vec{e}_z) - \dot{z} \rho \vec{e}_{\varphi})

Berechnung in Kugelkoordinaten

Als letztes Beispiel wird gezeigt, wie man die Winkelgeschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnen kann. Dabei gehen wir von folgendem Ortsvektor aus

\vec{r} = \begin{pmatrix} r \sin (\theta) \cos (\varphi)\\  r \sin (\theta) \sin (\varphi) \\ r \cos (\theta)\end{pmatrix}

Hieraus ergeben sich die Basisvektoren

\vec{e}_{r}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial r}} {\left|\frac {\partial\vec {r}}{\partial r}\right|}= \begin{pmatrix} \sin(\theta) \cos( {\varphi})\\ \sin (\theta) \sin (\varphi) \\ \cos (\theta)\end{pmatrix}        \vec{e}_{\theta}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial \theta}} {\left|\frac {\partial\vec{r}}{\partial \theta}\right|}= \begin{pmatrix} \cos (\theta) \cos(\varphi)\\ \cos (\theta) \sin (\varphi) \\ -\sin(\theta)\end{pmatrix}        \vec{e}_{\varphi}  = \frac {\frac {\partial \vec{r}}{\partial \varphi}} {\left|\frac {\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\right|}= \begin{pmatrix} -\sin (\varphi)\\ \cos(\varphi) \\ 0\end{pmatrix}

Berechnet man analog zum vorherigen Beispiel die Geschwindigkeit \overrightarrow {v} durch Differentiation von \vec{r} nach t und setzt das Ergebnis in die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ein, so erhält man

\vec{\omega} = \dot {\varphi} \cdot (\cos (\theta) \vec{e}_r - \sin (\theta) \vec {e}_{\theta}) + \dot {\theta} \vec{e}_{\varphi}

Mit dieser Formel kann man die Winkelgeschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnen.

Winkelgeschwindigkeit Frequenz

Die Winkelgeschwindigkeit kann auch in Abhängigkeit der Frequenz ausgedrückt werden. Die Frequenz f ist der Kehrwert der Periodendauer T.

f = \frac {1}{T}

Hiermit ergibt sich

\omega = \frac {2 \pi}{T} = 2 \pi \cdot f

Winkelgeschwindigkeit Erde

Im Folgenden wird als Beispiel die Winkelgeschwindigkeit der Erde berechnet. Dabei gehen wir annäherungsweise davon aus, dass die Erde sich in 24 Stunden einmal um die eigene Achse dreht. Es werden sämtliche Effekte vernachlässigt, die zu Schwankungen der Umdrehungsdauer führen. Mit der oberen Formel erhält man damit:

\omega = \frac {2 \pi} {24 \mathrm{h}} = \frac {2 \pi}{24 \cdot 60 \cdot 60\mathrm{s}} \approx 7,27 \cdot 10^{-5} \frac {\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

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Winkelschwindigkeit Erde

Die Bahngeschwindigkeit eines bestimmten Objektes auf der Erde hängt im Gegensatz zur Winkelgeschwindigkeit von dem Breitengrad ab, an dem es sich befindet. Direkt über dem Nord– oder Südpol ist die Bahngeschwindigkeit gleich null, da die Rotationsachse der Erde direkt durch den Nord- und Südpol verläuft. Im Gegensatz dazu hat ein Objekt auf der Erde eine maximale Bahngeschwindigkeit, wenn es sich auf dem Äquator befindet. Mit der oberen Formel lässt sich die Bahngeschwindigkeit eines Objektes am Äquator wie folgt ermitteln.

v = \frac {2\pi \cdot 6378\mathrm{km}} {24\mathrm{h}} \approx 1700 \frac {\mathrm{km}}{\mathrm{h}}

wobei r = 6378km den Erdradius repräsentiert. Dieser ist der Abstand vom Äquator zur  Rotationsachse.

Fun-Fact: Die Rotation der Erde führt unter anderem dazu, dass man am Äquator etwas leichter ist, als an den Polen.

Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Dies bedeutet, dass die Winkelbeschleunigung die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ist.

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Mathematisch kann dieser Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit \omega und Winkelbeschleunigung \alpha durch die zeitliche Ableitung ausgedrückt werden.

\alpha (t) = \frac {\mathrm{d} \omega} {\mathrm{d}t}

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Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung darf nicht mit der Tangentialbeschleunigung   verwechselt werden, welche die Ableitung der Bahngeschwindigkeit darstellt,

a_T = \frac {\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = r \frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = r \cdot \alpha

wobei r den Abstand zur Rotationsachse repräsentiert. Betrachtet man eine Kreisbewegung, so zeigt die Winkelbeschleunigung in die tangentiale Richtung. Zusätzlich zur Winkelbeschleunigung, wirkt auf den Körper auch noch die sogenannte Radialbeschleunigung, oder auch Zentripetalbeschleunigung genannt. Die Radialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung sind senkrecht zueinander. Da bei einer Kreisbewegung die Geschwindigkeit immer tangential zur Kreisbewegung ist, ändert die Geschwindigkeit ständig ihre Richtung. Die Geschwindigkeit wird andauernd zum Kreismittelpunkt hin beschleunigt. Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt. Die Gesamtbeschleunigung bei einer Kreisbewegung kann dann durch die Summe der Winkelbeschleunigung und der Radialbeschleunigung ausgedrückt werden.

Winkelbeschleunigung Formel

Die Winkelbeschleunigung \alpha (t) lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken.

\alpha (t) = \frac {\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d}t^2}

Wenn \alpha konstant ist, also wenn der Quotient aus der Änderung der Kreisgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit konstant ist, dann spricht man von einer Kreisbewegung mit konstanter Beschleunigung.

Winkelbeschleunigung Einheit

Die Einheit der Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der letztgenannten Formel zu

\frac {\frac {\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}

da die Winkelbeschleunigung das Verhältnis der Änderung der Drehgeschwindigkeit und der Änderung der Zeit beschreibt.

Winkelbeschleunigung berechnen

Zwischen der Winkelbeschleunigung, dem Drehmoment M und dem Trägheitsmoment I besteht eine enge Beziehung, welche folgende Formel zum Ausdruck bringt

M = I \cdot \alpha

Möchtest du mehr über das Drehmoment wissen, dann schau unseren extra Beitrag Drehmoment dazu an. Nach der Eulersche’n Gleichung, entspricht die Änderung des Drehimpulses gerade dem Moment  \vec{M}, so dass man folgenden Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelbeschleunigung erhält

\dot {\vec{L} } = \vec{M} = \b{\b{I}} \cdot  \dot {\vec{\omega} }

Interessiert dich, was der Drehimpuls physikalisch beschreibt und wie du ihn berechnen kannst, dann schau unseren extra Beitrag Drehimpuls dazu an.

Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Im Folgenden wird noch einmal übersichtlich der Zusammenhang zwischen dem Rotationswinkel \varphi, der Winkelgeschwindigkeit \omega und der Winkelbeschleunigung \alpha dargestellt. Geht man von einem Rotationswinkel \varphi aus, dann kann daraus die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden, indem man die Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ableitet

\omega = \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t}

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Zusammenhang Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Durch weiteres einmaliges Ableiten der Drehgeschwindigkeit nach der Zeit, erhält man dann die Winkelbeschleunigung \alpha

\alpha (t) = \frac {\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d}t}

Dies ist gleichbedeutend mit der zweimaligen zeitlichen Ableitung des Rotationswinkels \varphi. Die Winkelbeschleunigung \alpha lässt sich also auch in Abhängigkeit des Rotationswinkels \varphi wie folgt ausdrücken

\alpha (t) = \frac {\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d}t^2} = \frac {\mathrm{d} \omega} {\mathrm{d}t}


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