Mechanik: Dynamik

Corioliskraft berechnen

In diesem Artikel lernst du was die Corioliskraft ist und wie sie in unserem Alltag mitwirkt. Außerdem zeigen wir dir ein Beispiel, wie du die Corioliskraft mathematisch herleiten und berechnen kannst.

Für den maximalen Lernerfolg haben wir das Thema für dich audiovisuell aufbereitet. Schau dir daher am besten noch unser Video  zur Corioliskraft an.

Inhaltsübersicht

Corioliskraft einfach erklärt

Die Corioliskraft ist eine Scheinkraft, deren Wirkung auf Körper innerhalb rotierender Bezugssysteme beobachtet wird. Ein solches Bezugssystem kann zum Beispiel eine Drehscheibe sein, über die du einen Ball rollen lässt.

Stell dir hierzu vor, dass du in der Mitte einer rotierenden Scheibe stehst. Du willst einen Ball zum dir gegenüberliegenden Rand der Scheibe rollen lassen. Dabei stellst du fest, dass sich der Ball nicht gemäß dem zweiten newtonschen Gesetz bewegt. Für dich, als auf der Drehscheibe befindlichen Beobachter, scheint es, als ob der Ball senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung beschleunigt wird. Damit wird seine gradlinige Bewegung, seitlich abgelenkt. Diese Beschleunigung bezeichnet man auch als Coriolisbeschleunigung.
Die Corioliskraft wird als Scheinkraft bezeichnet, da sie nur in Zusammenhang mit einer Beschleunigungskraft auftritt.

Corioliskraft einfach erklärt, Definition, Bild, anschaulich
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Corioliskraft einfach erklärt

Wie du dir sicher schon denken kannst, sieht ein Außenstehender Beobachter den Ball geradlinig auf den Rand zurollen und somit keine Abweichung von den Newtonschen Axiomen.
Diese Trägheitskraft wurde 1775 von Pierre-Simon Laplace aus den newtonschen Gesetzen der Mechanik hergeleitet. Benannt wurde sie aber nach Gaspard Gustave de Coriolis, der sie 1835 ausführlich in einer Veröffentlichung behandelt hat.

Zu den Newtonschen Axiomen und Beschleunigung haben wir im Übrigen schon zwei Videos für dich vorbereitet. Schau sie dir zur Ergänzung hierzu am besten nochmal an.

Corioliskraft auf der Erde

Zum Video: Corioliskraft auf der Erde
Zum Video: Corioliskraft auf der Erde

Bei allen Bewegungen in rotierenden Systemen wirkt die Corioliskraft auf Körper, welche sich senkrecht zur Drehachse bewegen. Sie macht sich vor allem bei großräumigen Bewegungen, wie Luftströmungen zwischen Hoch- und Tiefdruckgebieten bemerkbar. Die Luftströme werden von der Corioliskraft auf Kreisbahnen gezwungen, was zu den bekannten Satellitenaufnahmen von Wolkenwirbeln führt. Dabei bewegen sich die Luftströmungen auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn und auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn. Da die Erde eine kugelförmige Gestalt hat und in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse rotiert, ist die Bahngeschwindigkeit auf der Erde von dem Breitengrad abhängig. Sie ist dabei am Äquator am größten und nimmt zu den Polen (Nordpol, Südpol) hin ab. Im folgenden zeigen wir zuerst, weshalb es auf der Nordhalbkugel zu einer Ablenkung im Uhrzeigersinn kommt und anschließend betrachten wir die Ablenkung entgegen dem Uhrzeigersinn auf der Südhalbkugel.

Ablenkung auf der Nordhalbkugel

Betrachten wir nun, in welche Richtung man auf der Nordhalbkugel abgelenkt wird, wenn man sich vom Äquator nach Norden bewegt oder umgekehrt. Angenommen wir befinden uns auf dem Äquator und fliegen direkt in Richtung Norden, dann behalten wir die Bahngeschwindikeit vom Äquator bei. Da jedoch die Bahngeschwindigkeit der Erde unter uns in Richtung Nordpol immer kleiner wird und wir aber die Bahngeschwindigkeit des Äquators beibehalten, eilen wir sozusagen der Erdoberfläche voraus. Dies resultiert, von oben betrachtet, zu einer Ablenkung im Uhrzeigersinn. Die gleichen Überlegungen kann man nun anstellen, wenn man von einem Ort auf der Nordhalbkugel in Richtung Äquator fliegt. Dann hat man eine kleinere Bahngeschwindigkeit als am Äquator. Je weiter wir in Richtung Äquator fliegen, desto größer wird die Bahngeschwindigkeit der Erde unter uns. Von oben betrachtet werden wir im Uhrzeigersinn abgelenkt.

Corioliskraft auf der Nordhalbkugel, Erde, Passatwinde, Passate
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Corioliskraft auf der Nordhalbkugel

Ablenkung auf der Südhalbkugel

Nun möchten wir noch kurz betrachten, wie man auf einer Strecke vom Äquator zum Südpol oder umgekehrt abgelenkt wird. Starten wir vom Äquator aus in Richtung Südpol, so besitzen wir wieder die Bahngeschwindigkeit des Äquators. Je weiter wir nach Süden kommen, desto stärker werden wir mit Blick in Richtung Süden nach links abgelenkt, also von oben entgegen dem Uhrzeigersinn. Genau dieselben Überlegungen kann man nun anstellen, wenn man von einem Ort auf der Südhalbkugel in Richtung Äquator fliegt. Auch hier ist die Ablenkung von oben betrachtet entgegen dem Uhrzeigersinn, da wir eine langsamere Bahngeschwindigkeit haben, als die Erde unter uns. 

Corioliskraft auf der Südhalbkugel, Erde, Passatwinde, Passate
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Corioliskraft auf der Südhalbkugel

Passatwinde

Auch die Richtung der Passatwinde wird im Wesentlichen von der Corioliskraft beeinflusst. Aufgrund der starken Sonneneinstrahlung, erwärmen sich die Luftmassen am Äquator und steigen in die Höhe. Es entsteht dadurch am Äquator ein Tief. In einer bestimmten Höhe, fließen die Lufmassen in Richtung Norden und Süden ab und werden kälter weshalb sie wieder absinken. Dadurch entsteht dann ein Hoch. Da Luft immer von einem Hoch zu einem Tief strömt, entstehen Winde in Richtung Äquator, an welchem die Luftmassen wieder erwärmt werden und aufsteigen. Damit ist der Kreislauf geschlossen. Es bleibt nur noch die Frage der Ablenkung der Winde zu klären. Man unterscheidet den Nordost-Passat und den Südost-Passat. Betrachten wir zunächst den Nordost-Passat. Die Richtung eines Windes bezeichnet man immer aus welcher Richtung er kommt. Der Nordost-Passt kommt also aus Nordost. Der Grund hierfür liegt darin, dass die Luftmassen von der Nordhalbkugel in Richtung Äquator fließen, also vom Hoch zum Tief. Wie oben erklärt werden die Winde dann im Uhrzeigersinn abgelenkt. Das führt dazu, dass die Winde dann in der Nähe des Äquators aus Nordost kommen. Analog kann man sich das für die Südhalbkugel klar machen.

Wasserströmungen

Die gleichen Betrachtungen, welche wir für die Nord- und Südhalbkugel angestellt haben, gelten auch für Wasserströmungen beziehungsweise Meeresströmungen. Auch hier bewirkt die Corioliskraft eine Ablenkung auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Damit lässt sich auch erklären, weshalb zum Beipsiel der Golfstrom auf dem Weg nach Norden, gen Osten abknickt und große Teile Nordeuropas erwärmt.

Wirbelwinde

Die Corioliskraft ist auch an der Entstehung von Wirbelstürmen beteiligt. Diese Stürme können Durchmesser von einigen hundert Kilometern durchmessen. Dies geschieht, indem die feuchtheißen Luftströme durch die Kraft zu rotieren beginnen, bis die zerstörerischen Wirbel entstehen.

Foucaultsches Pendel

Mit dem Foucaultschen Pendel kann man die Erdrotation nachweisen. Dieses große, sphärische Pendel ermöglicht diesen Nachweis ohne die Notwendigkeit für vergleichende Himmelsbeobachtungen.

Corioliskraft Formel

Zur Berechnung der Coriolisbeschleunigung benutzt du die Formel

\vec{a}_C = -2(\vec{\omega} \times \vec{v}).

Hierbei steht \vec{a}_C für die Coriolisbeschleunigung, \vec{\omega} für die vektorielle Winkelgeschwindigkeit  und \vec{v} für die Geschwindigkeit des Körpers.
Da du jetzt die Beschleunigung hast, kannst du analog zum newtonschen Gesetz, damit die zugehörige Corioliskraft definieren.

\vec{F}_C = m \vec{a}_C = -2m(\vec{\omega} \times \vec{v})

Corioliskraft Herleitung

Die Herleitung der Corioliskraft ist ein wenig komplexer. In diesem Abschnitt lernst du dafür zwei Ansätze kennen.

Herleitung mit Newtonscher Mechanik

Zur Herleitung der Corioliskraft anhand der newtonschen Mechanik betrachtest du ein Bezugssystem K'. Dieses befindet sich in einem Inertialsystem K. Dein Bezugssystem K' rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit \omega und hat einen in K fest verankerten Ursprung. Dadurch treten keine weiteren Relativbewegungen neben der Rotation auf. Schau dir am besten noch unser für dich erstelltes Video zur Winkelgeschwindigkeit  an, damit du für die kommende Herleitung hinreichend vorbereitet bist.
Vom newtonschen Gesetz weißt du, dass das Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung \vec{a} im Inertialsystem gleich der Kraft \vec{F} ist

\vec{F} = m \cdot \vec{a}.

Da du eine analoge Gleichung im Bezugssystem aufstellen willst, müssen deine Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen wie sie im Bezugssystem beobachtet werden können, ausgedrückt werden. Für dein Bezugssystem K' sind das der Ortsvektor \vec{r} ', die Geschwindigkeit \vec{v} ' und die Beschleunigung \vec{a} '. Beachte dabei, dass sich die im Inertialsystem zu beobachtende Geschwindigkeit aus der Geschwindigkeit \vec{v}' und der umlaufenden Bahngeschwindigkeit \vec{\omega}} \times \vec{r}' zusammensetzt. Daher gilt

\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}'.

Leitest du dies nach der Zeit ab erhältst du die Beschleunigung

\vec{a} = (\vec{a}' + \vec{\omega} \times \vec{v}') + (\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' + \vec{\omega} \times (\vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}')).

Formst du diesen Ausdruck nach \vec{a}' um, so ergibt sich

\vec{a}' = \vec{a} - \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' - \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') - 2 \vec{\omega} \times \vec{v}'.

Multiplizierst du jetzt die Masse und berücksichtigst das zweite newtonsche Gesetz \vec{F}=m\vec{a} so ergibt sich dieBewegungsgleichung zu

m\vec{a}' = \vec{F} - m\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') - 2m\vec{\omega} \times \vec{v}'.

Mit dieser Gleichung hast du die äußere Kraft und alle Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem zusammengefasst. Der letzte Term ist die Corioliskraft

\vec{F}_C = -2m(\vec{\omega} \times \vec{v}').

Herleitung mit Lagrange Formalismus

Bei diesem Ansatz brauchst du den Lagrange Formalismus. Das ist eine umfassendere Thematik zu der du dir am besten das für dich vorbereitete Video%VERWEIS auf Lagrange Formalismus (nicht online Stand 15.05.2020) anschaust.

Die Lagrangefunktion ist die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Vernachlässigst du das Potential so erhältst du

L = \frac{1}{2} m \vec{v}^2 = \frac{1}{2} m(\vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}')^2.

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} - \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} = 0.

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter Koordinatentransformationen sind, folgt im bewegten Bezugssystem

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \vec{v}'} = \frac{d}{dt}m(\vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}') = m \vec{a}' + m\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' + m\vec{\omega} \times \vec{v}'

und

\frac{\partial L}{\partial \vec{r}'} = m \vec{v}' \times \vec{\omega} + m(\vec{\omega} \times \vec{r}') \times \vec{\omega}.

Setzt du das in die Euler-Lagrange-Gleichung ein und formst nach m\vec{a}' um, erhältst du

m\vec{a}' = -m\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') - 2m\vec{\omega} \times \vec{v}'.

In diesem Ausdruck erkennst du erneut, dass der letzte Term die Corioliskraft zeigt.

Corioliskraft berechnen

Zur besseren Veranschaulichung erhältst du hier ein kleines Rechenbeispiel zur Corioliskraft.
Ein Panzer der Masse 50.000 t fährt mit 80 km/h in Mainz, bei 50^\circ nördlicher Breite, von Norden nach Süden. Wie groß ist der Betrag der Corioliskraft?

Corioliskraft berechnen - Beispiel
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Corioliskraft berechnen – Beispiel

Lösung:

Die Corioliskraft wird ausgedrückt durch:

\vec{F_C} = 2m(\vec{v} \times \vec{\omega})

Daraus folgt für den Betrag:

| \vec{F_C} | = 2m| \vec{v} | |\vec{\omega} | \sin (\alpha ) = 2mv \omega \cdot \sin (\alpha )

Hier setzt du nun einfach die gegebenen Werte ein.

| \vec{F} | = 2mv \omega \cdot \sin (\alpha ) = 2 \cdot 50 \cdot 10^6 \mathrm{kg} \cdot \frac{80}{3,6} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \frac{2 \pi}{24 \mathrm{h}} \cdot \sin (50^\circ ) \approx 12,4 \cdot 10^4 \mathrm{N}

Damit ergibt sich für die Corioliskraft ein Wert von ungefähr F_C = 12,4 \cdot 10^4 \mathrm{N}.

Coriolisbeschleunigung

Stell dir vor, dass du auf einer rotierenden Scheibe stehst. So lange du einfach mit rotierst wirkt nur die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft auf dich. Versuchst du dich von der Drehachse zu entfernen oder läufst um die Drehachse herum so musst du Kraft aufwenden. Das Prinzip dahinter wird dir in Folge erklärt.

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung

Erhält dein, sich mit der Scheibe rotierender, Körper eine Radialgeschwindigkeit, legt dieser eine Strecke \Delta r = v \Delta t in der Zeit \Delta t zurück.

Bei einer gradlinigen Bewegung, würde der Körper den Endpunkt von Linie 1 erreichen. In deinem Laborsystem bewegt sich der Körper entlang der Vektorsumme aus dem tangentialen und radialen Pfeil zum Endpunkt 2. Jedoch dreht sich die Scheibe in dieser Zeit um den Winkel \Delta \phi = \omega \Delta t weiter, womit sich der erwartete Endpunkt 1 weiterbewegt zu 3. Wegen

\Delta s = \Delta r \Delta \phi = v \Delta t \omega \Delta t = \frac{1}{2} a \Delta t^2

wächst \Delta s quadratisch mit der Zeit, was einer gleichmäßigen Coriolisbeschleunigung entspricht:

a_C = 2 v \omega.

Coriloisbeschleunigung bei Kreisbewegung

Im Zeitraum \Delta t bewirkt eine Beschleunigung eine radiale Bewegung um die Strecke \Delta r. Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras und einer Gleichsetzung des roten Kreisbogens mit der kleinen Kathete, kommt man zu diesem Schluss. Diese beiden Seiten kann man gleichsetzen indem man den Kreisbogen durch infinitesimale Intervalle annähert. Daraus ergibt sich

\Delta r = \frac{1}{2}\frac{\tilde{v}^2}{r} \Delta t^2.

Anhand der quadratischen Abhängigkeit siehst du, dass eine konstante Beschleunigung vorliegt

a = \frac{\tilde{v}^2}{r}.

Abhängig von der Bedeutung von \tilde{v} und \tilde{\omega}, kannst du dieses Ergebnis verschieden auswerten.
Gilt v=\tilde{v} erhältst du die Zentripetalkraft, die bei jeder Kreisbewegung entsteht.
Hat der Körper jedoch zusätzlich eine Relativgeschwindigkeit v' zur Rotation, so ergibt sich folgendes

a = \frac{v^2_{Umlauf}}{r} + \frac{v'^2}{r} + \frac{v_{Umaluf}v'}{r}.

Die Summe im Laborsystem ist die Summe aus Umlaufgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit v=v_{Umaluf} + v'. Ist die Drehgeschwindigkeit der Scheibe durch \omega gegeben, erhältst du die Umlaufgeschwindigkeit v_{Umaluf} = \omega r. Das eingesetzt ergibt dann die Zentripetalbeschleunigung

a = \omega^2 r + \frac{v'^2}{r} + 2 \omega v'.

Diese Gleichung zeigt, dass sich die Zentripetalbeschleunigung aus den drei Summanden, nämlich der Zentrifugalbeschleunigung, der Beschleunigung in Rotationsrichtung, sowie der Coriolisbeschleunigung, zusammensetzt. Die Aufteilung dieser radialen Komponenten ist abhängig vom gewählten Bezugssystem und damit willkürlich.

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