Mechanik: Dynamik

Kreisfrequenz

Was eine Kreisfrequenz ist, wie du sie berechnest und wie sie mit der Winkelgeschwindigkeit zusammenhängt, genau das erfährst du hier.%Schau dir dazu auf jeden Fall noch das Video Videoverweis an. Darin sind die wichtigsten Punkte für dich audiovisuell aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Kreisfrequenz einfach erklärt

Die Kreisfrequenz sagt dir, welchen Winkel ein Zeiger in einer Sekunde überstreicht. Ihr Zeichen ist das kleine Omega \omega und sie hat die Einheit 1/Sekunde (1/s). Beachte, dass ihre Einheit nicht das Hertz (Hz) ist, sondern nur 1/s (1 pro Sekunde). 
Die Kreisfrequenz ist ein Maß für die Geschwindigkeit einer Schwingung . Im Gegensatz zur Frequenz f, welche dir Auskunft über die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeiteinheit gibt, zeigt dir die Kreisfrequenz den überstrichenen Phasenwinkel der Schwingung pro Zeiteinheit. Eine Schwingungsperiode entspricht einem Phasenwinkel von 2 \pi. Daher unterscheidet sie sich von der Frequenz um einen Faktor 2 \pi

\omega = 2 \pi f=\frac{2 \pi}{T} 

In der Formel steht T für die Periodendauer der Schwingung. Dazu findest du mehr im Video zur Kreisbewegung %Videoverweis Kreisbewegung

Merke

Die Frequenz gibt dir die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeiteinheit. Die Kreisfrequenz gibt dir den überstrichenen Phasenwinkel der Schwingung pro Zeiteinheit.

Kreisfrequenz und Frequenz

Trägst du bei einem Zeigerdiagramm den Sinus des Winkels des Einheitskreises gegen den überstrichenen Winkel auf, so erhältst du eine Sinuskurve, also eine harmonische Schwingung . Anhand dieser Kurve erkennst du, dass die Winkelgeschwindigkeit des Zeigers im Zeigerdiagramm der Kreisfrequenz entspricht.

Diese Darstellung ist jedoch lediglich die mechanische Veranschaulichung eines abstrakten Konzeptes. Die Kreisfrequenz bezieht sich auf die Rotation eines komplexen Zeigers in der komplexen Ebene . Eine derartige Abstraktion ermöglicht es dir, diese auf alle Arten von Schwingungen anzuwenden und hat keinen direkten Bezug zu rotierenden Körpern. 

Zusammenhang Kreisfrequenz und Frequenz

Die Kreisfrequenz beschreibt die Abstrakte Änderungsrate des Phasenwinkels in der komplexen Ebene. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt die Änderung eines physikalischen Winkels an einem physikalischen Körper pro Zeiteinheit. 

Zeigerdiagramm, Winkelgeschwindigkeit, Winkelfrequenz, Zeitdiagramm
direkt ins Video springen
Darstellung eines Zeigerdiagramms mit dessen Projektion. 
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Kreisfrequenz Formel

Die Formel für die Kreisfrequenz hast du am Anfang des Artikel schon einmal gesehen.

\omega = 2 \pi f

Du solltest in den meisten Fällen ist die Angabe der Kreisfrequenz gegenüber der Angabe der Frequenz bevorzugen. In der Schwingungslehre lassen sich viele Formeln kompakter Darstellen, da diese häufig trigonometrische Funktionen aufweisen. Deren Periode ist per Definition 2\pi. Das siehst du bereits an einer einfachen Cosinus-Schwingung :

Mit Frequenz: y=y_A \cdot cos(2\pi f t)

Mit Kreisfrequenz: y=y_A \cdot cos(\omega t)

Kreisfrequenz Berechnen

Zum Abschluss berechnen wir zusammen noch die Kreisfrequenz anhand eines Beispiels.

Eine Kugel wird an einer langen Schnur auf einer Kreisbahn geschleudert. Die Frequenz beträgt f=1,33 \, Hz. Was ist die Kreisfrequenz?

\omega = 2 \cdot \pi \cdot f

\omega = 2 \cdot \pi \cdot 1,33 \, Hz

\omega = 8,35 \, \frac{1}{s}

Damit hast du nun berechnet, das die Kugel eine Kreisfrequenz von 8,35 1/s hat. Beachte, dass die Einheit nicht in Hertz angegeben wird. 

Von Hier aus ist es nun möglich weiterführend die Zentripetalkraft zu berechnen. Dazu brauchst du noch den Radius und die Masse.

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Wie bereits erwähnt, dient die Winkelgeschwindigkeit der Beschreibung physikalischer Körper während die Kreisfrequenz eine Abstraktion ist, welche alle Arten von Schwingungen beschreibt. %Wenn du die Winkelgeschwindigkeit noch genauer kennenlernen möchtest, schau dir unbedingt unser Video dazu an. THUMBNAIL VERWEIS
Um das besser zu verstehen schauen wir uns das Zeigermodell und die Nutzung in der Schwingungslehre an.

Zeigermodell

Du stellst harmonische Schwingungen am besten durch einen rotierenden Zeiger dar, dessen Länge der Amplitude der Schwingung entspricht. Die zu beobachtende Auslenkung, entspricht dann der Projektion des Zeigers auf eine der Achsen. In der komplexen Zahlenebene ist das entweder der Imaginär- oder Realteil. 

Bei der Kreisfrequenz handelt es sich um die Änderungsrate des Phasenwinkels \phi des rotierenden Zeigers. 

\omega = \frac{d\phi}{dt}

Du kannst das Zeigermodell zur Beschreibung aller Arten von Schwingungen und Signalen benutzen.  

Schwingungslehre 

Du beschreibst eine Schwingung allgemein durch eine Funktion der Kreisfrequenz:

x(t) = x_0 sin(\omega t + \phi_0)

In der Elektrotechnik ist es üblich die Schwingung durch den Real- und Imaginärteil eines mit konstanter Geschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers darzustellen. Hier bezeichnest du den zeitabhängigen Winkel \phi (t) = \omega t + \phi_0 als den Phasenwinkel. 

x(t) = x_0 e^{i(\omega t + \phi_0)} = x_0 (cos(\omega t + \phi_0) + i sin(\omega t+\phi_0))

Der Zusammenhang mit dem Sinus und Kosinus ergibt sich aus der Eulerschen Formel .

 

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