Mechanik: Dynamik

Schiefer Wurf

Der schiefe Wurf beschreibt viele Systeme der klassischen Mechanik , angefangen beim einfachen Beispiel eines geworfenen Balls. Wenn du also schon immer einmal durchrechnen wolltest, wie weit du beim Werfen kommst – hier erfährst du alles, was du dafür brauchst!

In unserem Video zum schiefen Wurf  kannst du das alles übrigens noch bequemer und schneller lernen. Schau doch mal rein!

Inhaltsübersicht

Schiefer Wurf einfach erklärt

Der schiefe Wurf oder auch schräge Wurf beschreibt ein physikalisches System, bei dem ein Körper „schräg nach oben und nach vorne geworfen“ wird – seine Anfangsgeschwindigkeit bildet also einen Winkel mit der Horizontalen – und dann unter dem Einfluss der konstanten Erdbeschleunigung nach unten fällt.

Vernachlässigt man die Luftreibung, so ist die Flugbahn, auch Bahnkurve genannt, des Körpers parabelförmig. Wird der Luftwiderstand berücksichtigt, so ergibt sich aus der bisherigen Wurfparabel die realistischere ballistische Kurve.

Schiefer Wurf Formeln

Die Bewegung beim schrägen Wurf ergibt sich durch das Superpositionsprinzip (ungestörte Überlagerung) der Bewegungen in horizontaler x-Richtung und vertikaler y-Richtung. Dabei haben wir in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten (Anfangs-)Geschwindigkeit v_{0,x} und und in y-Richtung eine beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v_{0,y} und der konstanten Erdbeschleunigung g\approx 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2} nach unten.

Schiefer Wurf Parabelbahn Schräger Wurf
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Schiefer Wurf

Die gesamte Anfangsgeschwindigkeit v_0 können wir in die Komponenten in x– und y-Richtung zerlegen

v_{0,x} = v_0\cos(\alpha) \qquad v_{0,y} = v_0\sin(\alpha)

mit \alpha dem Winkel der Anfangsgeschwindigkeit zur Horizontalen. Dem Anfangsort, also dem Startpunkt des Wurfes, geben wir die Koordinaten x_0 und y_0 . Zudem wählen wir die Anfangsgeschwindigkeiten positiv: v_0>0, v_{0,x}>0, v_{0,y}>0.

Zeit-Ort-Gesetz

Mit den zeitabhängigen x– und y-Koordinaten des Körpers beschreiben wir seine Flugbahn beim schiefen Wurf. Für diese Koordinaten finden wir das folgende „Zeit-Ort-Gesetz“

\begin{aligned} & x(t) = v_{0,x}t + x_0 = v_0\cos(\alpha)t + x_0 \\ & y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0,y}t + y_0 =  -\frac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha)t + y_0 \end{aligned} .

Wir sehen, dass die Bewegung in x-Richtung nur linear in der Zeit t ist. Sie verläuft also mit der konstanten Geschwindigkeit v_{0,x}. Das ergibt Sinn, denn in x-Richtung wirkt keine Beschleunigung. In y-Richtung hingegen starten wir zwar mit der Anfangsgeschwindigkeit v_{0,y}, es wirkt aber die konstante Erdbeschleunigung g nach unten und die beschleunigte Bewegung ist quadratisch in der Zeit.

Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz

Für die Geschwindigkeiten der Bahnkurve des Körpers beim schiefen Wurf finden wir ein zum „Zeit-Ort-Gesetz“ analoges „Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz“

\begin{aligned} & v_x = v_{0,x} = v_{0,x}\cos(\alpha) \\ & v_y(t) = v_{0,y} - gt = v_0\sin(\alpha) - gt \end{aligned} .

Auch hier sehen wir die Gleichförmigkeit der x-Bewegung und die Beschleunigung in y-Richtung. In x-Richtung bleibt die Geschwindigkeit bei der konstante Anfangsgeschwindigkeit v_{0,x}, während sie in in y-Richtung immer weiter abnimmt.

Schräger Wurf Flugbahn berechnen

Betrachten wir nun die Flugbahn eines solchen schiefen Wurfes und bestimmen einige charakteristische Größen, im Speziellen die Wurfhöhe und –weite sowie die Steig– und Fallzeit und die insgesamte Flugzeit, bis der Körper (wieder) auf den Boden bei y=0 trifft. Dafür setzen wir fürs Erste die Anfangshöhe des Körpers auf Null, y_0 = 0, und werfen also vom Boden aus. Wir können außerdem immer x_0=0 wählen, da wir es in dieser Richtung nur mit einer gleichförmigen Bewegung zu tun haben.

Schiefer Wurf vom Boden mit allen Größen
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Schiefer Wurf vom Boden mit allen Größen

Wurfhöhe und Steigzeit

Uns interessiert zuerst, wie hoch der Körper beim schiefen Wurf maximal geworfen wird und wie lange er bis zu dieser Wurfhöhe braucht. Die maximale Höhe ist durch v_y =0 charakterisiert. Der Körper erreicht also den Scheitelpunkt seiner Bewegung, bleibt bei der maximalen Höhe kurz stehen und fällt dann zu Boden. Dadurch bestimmen wir die Steigzeit t_\text{Steig} wie folgt

v_y(t_\text{Steig}) = v_{0,y} - gt_\text{Steig} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad t_\text{Steig} = \frac{v_{0,y}}{g} = \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} .

Mit der Steigzeit können wir jetzt die maximale Wurfhöhe H berechnen

\begin{aligned} H & = y(t_\text{Steig}) = -\frac{1}{2}gt_\text{Steig}^2 + v_0\sin(\alpha)t_\text{Steig} = \\ & = -\frac{1}{2}g\frac{v_0^2\sin^2(\alpha)}{g^2} + v_0\sin(\alpha)\frac{v_0\sin(\alpha)}{g} = \\ & = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha)}{2g}\end{aligned} .

Wir sehen, dass die Steigzeit und die Wurfhöhe für \alpha = \frac{\pi}{2} maximal werden. Das entspricht dem Wurf gerade nach oben.

Wurfweite und Flugzeit

Die maximale Weite des schrägen Wurfes wird dadurch bestimmt, wann der Körper (wieder) den Boden erreicht, also wann y=0 gilt. Aus dieser Bedingung können wir die Flugzeit t_\text{Flug} berechnen

y(t_\text{Flug}) = -\frac{1}{2}gt_\text{Flug}^2 + v_{0,y}t_\text{Flug} = t_\text{Flug}\left(-\frac{1}{2}gt_\text{Flug} + v_0\sin(\alpha)\right) = 0 .

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: t_\text{Flug}^{(1)} =0, was dem Start am Boden entspricht und

t_\text{Flug}^{(2)} = \frac{2v_0\sin(\alpha)}{g} ,

was die Zeit bis zum „Ende des schiefen Wurfes“ angibt. Jetzt können wir mit t_\text{Flug}^{(2)} die Wurfweite W berechnen

W = x(t^{(2)}_\text{Flug}) = v_0\cos(\alpha)\frac{2v_0\sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} ,

wobei wir \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) verwendet haben. Hier sehen wir jetzt, dass wir für \alpha = \frac{\pi}{2} eine Wurfweite von W=0 erhalten – wenn wir gerade nach oben werfen, kommen wir natürlich nicht besonders weit – und sich für \alpha = \frac{\pi}{4} die maximale Weite W=\frac{v_0^2}{g} ergibt. Letzteres entspricht dem Wurf im 45 Grad-Winkel.

Fallzeit

Zuletzt bestimmen wir noch die Fallzeit t_\text{Fall}, also die Zeit, die der Körper vom höchsten Punkt bis zum auftreffen auf dem Boden benötigt. Wir finden sie gegeben als

t_\text{Fall} = t^{(2)}_\text{Flug} - t_\text{Steig} = \frac{2v_0\sin(\alpha)}{g} - \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} = t_\text{Steig} .

Die Steig- und Fallzeit sind gleich und die Bewegung also symmetrisch, sodass die Endgeschwindigkeit des Körpers am Boden v_y(t_\text{Flug}) = -v_{0,y} beträgt.

Schiefer Wurf Wurfparabel

Wie aber sehen wir, dass die Flugbahn beim schiefen Wurf eine Parabel ist? Dazu müssen wir die Flugbahn reparametrisieren und x anstelle von t als Parameter verwenden. So können wir die Bahnkurve berechnen, indem wir y als Funktion von x angeben. Hierfür invertieren wir zuerst x(t)

x(t) = v_0\cos(\alpha)t \quad\Leftrightarrow\quad t(x) = \frac{x}{v_0\cos(\alpha)} .

Jetzt setzen wir t(x) in die Funktion y(t) ein und erhalten insgesamt eine Abhängigkeit y(t(x)) = y(x)

\begin{aligned} y(t(x)) &= -\frac{1}{2}gt^2(x) + v_0\sin(\alpha)t(x) = \\ &= -\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2(\alpha)} + v_0\sin(\alpha)\frac{x}{v_0\cos(\alpha)} = \\ &= -\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2 + \tan(\alpha)x\end{aligned} .

Wir haben die Bahngleichung der Wurfparabel bestimmt.

Schräger Wurf mit Anfangshöhe

Zu Beginn unserer Rechnungen zum schiefen Wurf haben wir y_0 =0 gesetzt. Das ist natürlich nicht der allgemeine Fall. Im Allgemeinen werfen wir nicht vom Boden aus, sondern von einer Anfangshöhe y_0=h. Wir können aber immer noch x_0=0 behalten.

Die Steigzeit t_\text{Steig} = \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} bleibt von der neuen Anfangshöhe natürlich unbeeinflusst und wir finden analog zu vorher die neue Wurfhöhe

H = y(t_\text{Steig}) = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha)}{2g} + h .

Für die Flug- und Fallzeit t_\text{Flug} und t_\text{Fall} sowie die insgesamte Wurfweite W des schiefen Wurfes finden wir jetzt aber natürlich andere Formeln. Die Flugdauer bestimmen wir wieder über den Auftreffpunkt des Körpers am Boden y=0 und erhalten

\begin{aligned} & y(t_\text{Flug}) = -\frac{1}{2}gt_\text{Flug}^2 + v_{0,y}t_\text{Flug} + h = 0 \quad\Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad t_\text{Flug}^{(1,2)} = \frac{v_0\sin(\alpha) \mp \sqrt{v_0^2\sin^2(\alpha) + 2gh}}{g} \end{aligned} .

Das dem Minus entsprechende t_\text{Flug}^{(1)}<0 entspricht der in der Vergangenheit liegenden Zeit, zu der das System am Boden hätte starten müssen, um ein schiefer Wurf vom Boden wie oben zu sein. Dem Plus entspricht t_\text{Flug}^{(2)}>0, die Flugzeit bis zum Ende des schiefen Wurfes, die wir zur Bestimmung der Wurfweite verwenden

W=x(t_\text{Flug}^{(2)}) = v_0\cos(\alpha)t_\text{Flug}^{(2)} = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{2g} + \frac{v_0\cos(\alpha)}{g}\sqrt{v_0^2\sin^2(\alpha) + 2gh} ,

wobei wir für den ersten Summanden wieder \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) genutzt haben. Hier ist wichtig, zu beachten dass die maximale Wurfweite jetzt nicht mehr für \alpha = \frac{\pi}{4} erreicht wird, stattdessen ist der „perfekte Winkel“ \alpha_\text{max. Weite } jetzt wie folgt gegeben

\sin\left(\alpha_\text{max. Weite}\right) = \frac{v_0}{\sqrt{2v_0^2 + 2gh}} ,

was für h\rightarrow 0 in \sin\left(\alpha_\text{max. Weite}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, also \alpha_\text{max. Weite} = \frac{\pi}{4}, übergeht.

Für die Fallzeit ergibt sich jetzt

t_\text{Fall} = t_\text{Flug}^{(2)} - t_\text{Steig} = \frac{\sqrt{v_0^2\sin^2(\alpha) + 2gh}}{g} \quad\stackrel{h\rightarrow 0}{\rightarrow}\quad t_\text{Steig} .

Schiefer Wurf Aufgaben

Zuletzt wollen wir noch ein paar kurze Aufgaben zum schrägen Wurf durchrechnen. Wir wollen einen Ball mit v_0 = 15\frac{\text{m}}{\text{s}} unter einem Winkel von \alpha = \frac{\pi}{3} vom Boden abwerfen. Wie hoch und weit kommt er also? Setzen wir einmal ein

\begin{aligned} & H = \frac{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 8,6\,\text{m} \\ & W = \frac{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 9,9\,\text{m} \end{aligned} .

Und jetzt lassen wir den schiefen Wurf nicht am Boden beginnen, sondern starten bei einer Anfangshöhe von h=2,0\,\text{m}. Wie weit kommen wir jetzt? Auch hier hilft simples Einsetzen

\begin{aligned} W &= \frac{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} + \frac{15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\sqrt{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + 2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 2,0\,\text{m}} \approx \\ &\approx 21\,\text{m} \end{aligned}

und wir sehen, dass wir mehr als doppelt so weit kommen.

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