Mechanik: Dynamik

Arbeit und Energie

Was spielen Arbeit und Energie in der Mechanik für eine Rolle? Das erklären wir dir in diesem Beitrag.

Arbeit und Energie in der Mechanik berechnen

Arbeit und Energie sind Weg- bzw. Ortsabhängige Größen, die durch Kräfte und Momente hervorgerufen werden. Die Arbeit bildet hier die Differenz der Energie, die im Allgemeinen nach dem Energieerhaltungssatz 0 ist. Betrachtet man jedoch z.B. nur die Bewegungsenergie, ist die Arbeit in der Regel ungleich 0. Um die Herleitung der verschiedenen Arbeiten bzw. Energien nicht zu komplex zu gestalten, betrachten wir am Anfang nur die Kräfte.

Der Begriff der Arbeit

Der Begriff der Arbeit sollte dir aus der Statik bekannt sein und ist definiert über:

W=\int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}{\vec{F}\ast d\vec{r}}=\int_{s_0}^{s}{F_tds}

Ft steht dabei für die ortsabhängige Tangentialkraft, mit der wir die kinetische Energie herleiten können. Das heißt wir betrachten nur die Kraftkomponente, die tangential zur Bahnkurve ist und können direkt ein skalares Integral bilden. Doch was bringt uns das? Wir können die Kraft Ft darstellen als:

F_t=a_tm=m\frac{dv}{dt}

Da wir eine Lösung für das Integral Ft ds suchen, müssen wir den Term für Ft mit ds erweitern. Um nun den entstandenen Term zu vereinfachen, können wir die Kettenregel rückwärts anwenden und erhalten:

F_tds=m\frac{dv}{dt}ds=m\frac{1}{2}d{(v)}^2

Jetzt setzen wir das Ganze in die Arbeit ein:

W=\int_{v_0^2}^{v^2}{\frac{m}{2}d{(v)}^2}=\frac{m}{2}(v^2-v_0^2)

Die Formel erinnert dich wahrscheinlich an die kinetische Energie. Die Arbeit beschreibt in diesem Fall also die Differenz der Kinetischen Energie zwischen zwei Zuständen.

Die verschiedene Energieformen

Die kinetische Energie wird auch Bewegungsenergie genannt. Neben dieser gibt es noch die potentielle Energie bzw. die Höhenenergie. Sie entsteht, indem ein Körper entgegen der Schwerkraft angehoben wird und so im Körper als Höhenenergie gespeichert wird. Fällt der Körper wieder zu Boden wird sie als potentielle Energie wiedergewonnen. Bei der potentiellen Energie setzt man sich ein Nullniveau, da sie sich schwer als absoluten Wert festlegen lässt. Denn wenn ein Gegenstand auf einem Tisch steht, so besitzt er gegenüber dem Boden meist eine andere Höhenenergie als gegenüber dem Meeresspiegel. Die Energie kann dabei auch negativ sein, falls die Höhe „negativ“ ist.
Die kinetische und die potentielle Energie beschreiben zusammen die Energiezustände eines Massenpunkts. Es gilt dabei die Energieerhaltung:

E_{pot}+E_{kin}=konst

Betrachten wir nun die Bewegung eines Massenpunkts: Zu Beginn hat der Massenpunkt die potentielle Energie Epot 0 und die kinetische Energie Ekin 0. Betrachten wir den Punkt zu einem späteren Zeitpunkt, also wenn sich der Punkt auf der Bahnkurve weiterbewegt hat, sehen wir, dass sich sowohl der Ort des Massenpunkts als auch die potentielle Energie verändert hat. Gemäß der Energieerhaltung muss sich also auch die kinetische Energie ändern und wir erhalten:

E_{pot}^{(0)}+E_{kin}^{(0)}=E_{pot}^{(1)}+E_{kin}^{(1)}

Epot 0 und Ekin 0 beschreiben hier die potentielle bzw. kinetische Energie zum anfänglich betrachteten Zeitpunkt. Epot 1 und Ekin 1 hingegen beschreiben die potentielle bzw. kinetische Energie zu einem späteren Zeitpunkt.

Energiesatz bei Massenpunktsystemen

Da aber in der Dynamik nicht nur Massenpunkte, sondern auch Massenpunktsysteme relevant sind, müssen wir auch deren Energiesatz anschauen. Wir betrachten also n Massenpunkte, die miteinander verbunden sind. Es gilt grundsätzlich wieder die Energieerhaltung. Nur mit der Ausnahme, dass zusätzlich nur die innere potentielle Energie miteinbezogen werden muss, die aus den Verbindungen zwischen den Massenpunkten entsteht. In der Mechanik stellt man sich diese Verbindungen als Federn vor. Zu Beginn betrachten wir die die kinetische Energie. Bei dieser gilt allgemein:

E_{kin}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{m_iv_i^2}

Da der Schwerpunkt des Massenpunktsystems nicht in den einzelnen Massenpunkten liegt, müssen wir zusätzlich die Differenzgeschwindigkeit zur Schwerpunktgeschwindigkeit betrachten. Dies setzen wir in die Formel für die kinetische Energie ein und multiplizieren den Term aus. Das sieht dann so aus:

Formel einsetzen
Formel einsetzen

Wir nutzen beim ersten Term aus, dass die Summe über alle Massenpunkte gleich der Gesamtmasse ist und vs konstant bleibt. Dadurch ergibt sich:

\frac{1}{2}mv_{s=}^2\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{m_iv_s^2}

Als nächstes betrachten wir die mittlere Summe und werden feststellen, dass diese gleich 0 ist. Dazu setzen wir die Gleichung für die Differenzgeschwindigkeit wieder ein und nutzen, dass die Schwerpunktgeschwindigkeit unabhängig vom Massenpunkt ist. Danach können wir dann umformen und erhalten:

Formel umformen
Formel umformen

Nun können wir die Definition des Schwerpunkts verwenden:

m\vec{v_s}=\sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{v_i}}

Um die zweite Summe zu lösen, verwenden wir die Tatsache, wie vorher, dass die Summe über alle Massen gleich der Gesamtmasse ist. Dadurch ergibt sich:

\vec{v_s}\left(m\vec{v_s}-m\vec{v_s}\right)=0

Die kinetische Energie eines Körpers besteht also aus der kinetischen Energie, wenn die gesamte Masse im Schwerpunkt ist und der Relativbewegung der Massenpunkte zum Schwerpunkt. Die Relativbewegung ist in der Regel eine Drehung um den Schwerpunkt.

Die potentielle Energie

Nachdem wir die kinetische Energie betrachtet haben, schauen wir uns als nächstes die potentielle Energie an. Wie du vielleicht noch weißt, ist die potentielle Energie das Resultat der Gewichtskraft. Die Gewichtskraft selbst greift immer im Schwerpunkt an, sodass die potentielle Energie für Massenpunktsysteme gleich der potentiellen Energie für einen einzelnen Massenpunkt ist:

E_{pot}=mgh

Zum Schluss betrachten wir die innere potentielle Energie. Wie du schon weißt, stellt man sich in der Mechanik die Verbindungen zwischen den Massenpunkten als Federn vor. Wir betrachten jetzt den Zustand einer Feder vor, die du parallel zum Boden eindrückst. Du hast Energie aufgewendet, um sie zusammen zu drücken, allerdings ist keine Höhendifferenz vorhanden. Dementsprechend benötigst du die innere potentielle Energie, um den Energieerhaltungssatz zu entsprechen.
Die innere potentielle Energie einer Feder ergibt sich also aus der Arbeit der Federkraft über den Weg:

W=\int_{0}^{s_1}ksds=\frac{1}{2}ks^2=U

Die Federkraft greift, wie die Gewichtskraft immer im Schwerpunkt an, sodass auch hier keine Relativbewegung betrachtet werden muss.
Schauen wir uns nun alle Energien an, können wir die verrichtete Arbeit darstellen durch:

\left.\ W\right|_0^1=E_{pot}^{(1)}-E_{pot}^{\left(0\right)}+E_{kin}^{\left(1\right)}-E_{kin}^{\left(0\right)}+U^{\left(1\right)}-U^{\left(0\right)}=0

Die Arbeit bildet sich also aus den Differenzen der kinetischen, der potentiellen und der inneren potentiellen Energie. Das heißt wir betrachten die Energiedifferenz zwischen zwei Punkten. Diese ist gemäß der Energieerhaltung gleich Null.
Bislang haben wir nur die Arbeit bzw. Energie betrachtet, die durch Kräfte hervorgerufen wird, damit die Herleitung nicht zu komplex wird. Bei Momenten ist es etwas komplizierter. Der Unterschied in der Berechnung ist, dass nicht über einen Weg integriert wird, sondern über den Drehwinkel:

W=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}{M\ d\varphi}

Dabei werden Momente, die von außen angreifen, der kinetischen Energie zugeordnet. Momente, die durch eine Drehfeder erzeugt werden, gehören zur inneren potentiellen Energie.
Mit der Arbeit bzw. der Energie haben wir also die Möglichkeit ein System vollständig zu beschreiben. So kann man vergleichsweise komplexe Systeme einfach darstellen.

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