Mechanik: Dynamik

Arbeit und Energie Übung

Inhaltsübersicht

Du willst wissen wie du Arbeit und Energie am schnellsten berechnest? Das zeigen wir dir in diesem Beitrag an dem Beispiel eines Festlagers berechnet.

Arbeit und Energie berechnen

Zu Beginn gehen wir noch einmal kurz die Grundlagen durch. Wir unterscheiden zwischen drei verschiedenen Arten von Energien: der kinetischen Energie, der potentiellen und der inneren potentiellen Energie. Letztere wird dabei nur beim Einsatz von Federn betrachtet. Die kinetische Energie E_{kin} ist definiert durch:

E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2

Dabei ist m die Masse des Körpers und v seine Geschwindigkeit. Die potentielle Energie E_{pot} ergibt sich mit dem Ortsfaktor g und der Höhe h durch:

E_{pot}=mgh

Die innere potentielle Energie U lässt sich für eine Feder mathematisch wie folgt formulieren:

U = \frac{1}{2} ks^2

D ist die Federkonstante und s die Auslenkung aus der Ruhelage. Für eine Drehfeder gilt:

\ U=\frac{1}{2}D\varphi^2

Mit dem Direktionsmoment D und dem Auslenkungswinkel \varphi.

Innere potentielle Energie

Bei der inneren potentiellen Energie müssen wir zwischen einer normalen Feder, die du aus dem Alltag kennst, und einer sogenannten Drehfeder unterscheiden, die nur ein Moment verursacht. Dabei bilden k bzw. D die Federkonstante der Feder bzw. Drehfeder. Bei der potentiellen Energie ist noch zu beachten, dass wir uns die sogenannte Nullniveau-Linie selbst definieren müssen und h somit nur der Abstand zu dieser Linie ist. Dieser kann auch negativ sein, falls wir uns unterhalb der Linie befinden. Die Nullniveau-Linie ist die Referenzlinie, bei der die potentielle Energie gleich Null ist. Dabei kannst du dir selbst überlegen, wo du die Nullniveau-Linie platzierst, um die Rechnung zu vereinfachen. Um nun Bewegungsgleichungen aufzustellen, muss die Energieerhaltung gelten. Das heißt, dass die Summe aus den drei Energien konstant sein muss!

Beispiel Festlager

Nun zum Beispiel: Eine Masse mit dem Gewicht m= 5kg ist durch einen Stab der Länge L = 1,5m an einem Festlager angebracht und wird durch eine Drehfeder mit der Federkonstante D = 20Nm an der Drehbewegung gehindert. Die Feder ist dabei am Festlager fixiert.

Festlager, Arbeit, Energie, potentielle Energie, kinetische Energie, innere Energie, Null-Niveaulinie, Ruhelage
Festlagerbeispiel

Nun möchten wir die Bewegungsgleichung aufstellen, damit wir das System zu jedem Zeitpunkt vollständig beschreiben können. Hier bedeutet es, dass du eine Differentialgleichung aufstellst. Die Lösung müssen wir dabei allerdings nicht betrachten, da die Differentialgleichung das System bereits vollständig beschreibt.
Zu Beginn musst du die Null-Niveaulinie definieren, damit wir einen Referenzwert zur Bestimmung der potentiellen Energie haben. Wir ermitteln zusätzlich die statische Ruhelage, also den Ort, an dem wir ein Kräfte- und Momentengleichgewicht haben. Denn das System bewegt sich immer um die Ruhelage. Dazu kannst du dir ein Pendel vorstellen: Es schwingt immer um den Punkt herum, an dem der Faden senkrecht nach unten zeigt, solange bis es sich nicht mehr bewegt.

Die Nullniveau-Linie ziehen wir parallel zum Boden genau durch das Gelenk, an dem die Stange festgemacht ist. Das heißt: wenn der Stab waagerecht ist, liegt dieser genau auf der Nullniveau-Linie. Für die statische Ruhelage bilden wir ein Momentengleichgewicht am Festlager. Dabei müssen wir beachten, dass die Lage an einem Ort um den Winkel \varphi_0 nach unten verschoben wird. Daraus ergibt sich:

Festlager, Auslenkwinkel, Momente, Masse, Arbeit, Energie, Ortsfaktor
Festlager mit bewegter Masse

\sum M=0=-M_{Feder}+mgL\cos{\left(\varphi_0\right)}=-D\varphi_0+mgL\cos{\left(\varphi_0\right)}

Das formen wir um und erhalten für die statische Ruhelage:

\frac{\varphi_0}{\cos{\left(\varphi_0\right)}}=\frac{mgL}{D}=3,68

Das zu lösen ist jetzt rein algebraisch nicht mehr möglich. Deshalb treffen wir eine Vereinfachung in Form der Kleinwinkelnäherung und behaupten, dass \varphi_0 sehr klein ist. Die Kleinwinkelnäherung besagt, dass bei kleinen Winkeln der Sinus gleich 0, beziehungsweise der Cosinus gleich 1 ist. Damit können wir Cosinus \varphi_0 gleich 1 setzen und erhalten, dass \varphi_0 einen Radiant von 3,68 hat.

Ermittlung der Bewegungsgleichung

Als nächstes ermitteln wir die Bewegungsgleichung, um das System vollständig zu beschreiben. Dazu stellen wir für die jeweiligen Energien die Gleichungen auf. Wir beginnen mit der kinetischen Energie:

E\ kin=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2

Da wir hier eine Kreisbewegung haben, kann die Geschwindigkeit der Masse durch die Winkelgeschwindigkeit, also der Änderung des Winkels \dot{\varphi}, dargestellt werden.
Als nächstes betrachten wir die potentielle Energie:

\ E\ pot=mgh=-mgL\funcapply\sin{(\varphi+\varphi_0)}

In unserem Beispiel geht die potentielle Energie positiv nach unten. Deshalb ist sie negativ. Zusätzlich haben wir noch die Anfangsauslenkung \varphi_0, die noch berechnet werden muss.
Zum Schluss betrachten wir die innere potentielle Energie:

U=\frac{1}{2}D\varphi^2=\frac{1}{2}D{(\varphi+\varphi_0)}^2

Auch hier muss die anfängliche Auslenkung miteinbezogen werden, da die Feder dadurch schon gespannt wird.
Jetzt stellen wir die Gleichung nach dem Energiesatz, bzw. der Energieerhaltung auf:

E\ pot+E\ kin+U=\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2-mgL\sin{(\varphi+\varphi_0)}+\frac{1}{2}D\left(\varphi+\varphi_0\right)^2=konst

Da die Ableitung einer Konstanten gleich Null ist, müssen wir den Term nur noch nach der Zeit ableiten. Die einzelnen Terme ergeben sich zu:

\frac{d\ E\ kin}{dt}=\frac{d\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2}{dt}=mL^2\dot{\varphi}\ddot{\varphi}

\frac{d\ E\ pot}{dt}=-\frac{dmgL\sin{\left(\varphi+\varphi_0\right)}}{dt}=-mgL\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}\dot{\varphi}

\frac{dU}{dt}=\frac{d\frac{1}{2}D\left(\varphi+\varphi_0\right)^2}{dt}=D\left(\varphi+\varphi_0\right)\dot{\varphi}

Dadurch erhalten wir für den gesamten Term:

\frac{d\ E\ kin}{dt}+\frac{d\ E\ pot}{dt}+\frac{dU}{dt}=mL^2\dot{\varphi}\ddot{\varphi}-mgL\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}\dot{\varphi}+D\left(\varphi+\varphi_0\right)\dot{\varphi}=0

Am Ende stellen wir die Gleichung noch nach der höchsten Ableitung um und erhalten die Differenzialgleichung, die die Bewegung vollständig beschreibt:

\ddot{\varphi}-\frac{g}{L}\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}+\frac{D}{mL^2}\left(\varphi+\varphi_0\right)=\ddot{\varphi}-6,54\frac{1}{s^2}\cos{\left(\varphi+3,68\right)}+1,75\frac{1}{s^2}\left(\varphi+3,68\right)=0

Wir nutzen also die Arbeit bzw. die Energie, um die Bewegungsgleichung in Form einer Differentialgleichung aufzustellen.
Du siehst: mit dem Energiesatz kannst du die Gleichung für die Bewegung eines Systems Schritt für Schritt ermitteln.


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