Mechanik: Dynamik

Arbeit und Energie II

Du willst wissen wie du Arbeit und Energie am schnellsten berechnest? Das zeigen wir dir in diesem Beitrag

Arbeit und Energie berechnen

Zu Beginn gehen wir noch einmal kurz die Grundlagen durch. Wir unterscheiden bei Körpern zwischen drei verschiedenen Arten von Energien: der kinetischen Energie, der potentiellen und der inneren potentiellen Energie. Letztere wird dabei nur beim Einsatz von Federn betrachtet. Die kinetische Energie ist definiert durch:

E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2

die potentielle Energie durch:

E_{pot}=mgh

und die innere potentielle Energie durch:

U=\frac{1}{2}ks^2\ oder\ U=\frac{1}{2}D\varphi^2

Innere potentielle Energie

Bei der inneren potentiellen Energie müssen wir zwischen einer normalen Feder, die du aus dem Alltag kennst, und einer sogenannten Drehfeder unterscheiden, die nur ein Moment verursacht. Dabei bilden k bzw. D die Federkonstante der Feder bzw. Drehfeder. Bei der potentiellen Energie ist noch zu beachten, dass wir uns die sogenannte Nullniveau-Linie selbst definieren müssen und h somit nur der Abstand zu dieser Linie ist. Dieser kann auch negativ sein, falls wir uns unterhalb der Linie befinden. Die Nullniveau-Linie ist die Referenzlinie, bei der die potentielle Energie gleich Null ist. Dabei kannst du dir selbst überlegen, wo du die Nullniveau-Linie platzierst, um die Rechnung zu vereinfachen. Um nun Bewegungsgleichungen aufzustellen, muss die Energieerhaltung gelten. Das heißt, dass die Summe aus den drei Energien konstant sein muss!

Beispiel Festlager

Nachdem wir die Grundlagen noch einmal aufgefrischt haben, betrachten wir nun ein Beispiel: Eine Masse mit dem Gewicht m= 5kg ist durch einen Stab der Länge L=1,5m an einem Festlager angebracht und wird durch eine Drehfeder mit der Federkonstante D=20 Nm an der Drehbewegung gehindert. Die Feder ist dabei am Festlager fixiert.

Versuchsaufbau
Versuchsaufbau

Nun möchten wir die Bewegungsgleichung aufstellen, damit wir das System zu jedem Zeitpunkt vollständig beschreiben können. In der Regel heißt das, dass wir die Differentialgleichung aufstellen. Die Lösung müssen wir dabei allerdings nicht betrachten, da die Differentialgleichung das System bereits vollständig beschreibt.
Zu Beginn müssen wir die Null-Niveaulinie definieren, damit wir einen Referenzwert zur Bestimmung der potentiellen Energie haben. Wir ermitteln zusätzlich die statische Ruhelage, also den Ort, an dem wir ein Kräfte- und Momentengleichgewicht haben. Denn das System bewegt sich immer um die Ruhelage. Dazu kannst du dir ein Pendel vorstellen: Es schwingt immer um den Punkt herum, an dem der Faden senkrecht nach unten zeigt, solange bis es sich nicht mehr bewegt.

Die Nullniveau-Linie ziehen wir parallel zum Boden genau durch das Gelenk, an dem die Stange festgemacht ist. Das heißt: wenn der Stab waagerecht ist, liegt dieser genau auf der Nullniveau-Linie. Für die statische Ruhelage bilden wir ein Momentengleichgewicht am Festlager. Dabei müssen wir beachten, dass die Lage an einem Ort um den Winkel phi0 nach unten verschoben wird. Daraus ergibt sich:

Versuchsaufbau mit bewegter Masse
Versuchsaufbau mit bewegter Masse

\sum M=0=-M_{Feder}+mgL\cos{\left(\varphi_0\right)}=-D\varphi_0+mgL\cos{\left(\varphi_0\right)}

Das formen wir um und erhalten für die statische Ruhelage:

\frac{\varphi_0}{\cos{\left(\varphi_0\right)}}=\frac{mgL}{D}=3,68

Das zu lösen ist jetzt rein algebraisch nicht mehr möglich. Deshalb treffen wir eine Vereinfachung in Form der Kleinwinkelnäherung und behaupten, dass phi0 sehr klein ist. Die Kleinwinkelnäherung besagt, dass bei kleinen Winkeln Sinus gleich Null beziehungsweise Cosinus gleich 1 ist. Damit können wir Cosinus phi0 gleich 1 setzen und erhalten, dass phi0 gleich 3,68 Radiant ist.

Ermittlung der Bewegungsgleichung

Als nächstes ermitteln wir die Bewegungsgleichung, um das System vollständig zu beschreiben. Dazu stellen wir für die jeweiligen Energien die Gleichungen auf. Wir beginnen mit der kinetischen Energie:

E\ kin=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2

Da wir hier eine Kreisbewegung haben, kann die Geschwindigkeit der Masse durch die Winkelgeschwindigkeit, also der Änderung des Winkels phi Punkt, dargestellt werden.
Als nächstes betrachten wir die potentielle Energie:

\ E\ pot=mgh=-mgL\funcapply\sin{(\varphi+\varphi_0)}

In unserem Beispiel geht die potentielle Energie positiv nach unten. Deshalb ist sie negativ. Zusätzlich haben wir noch die Anfangsauslenkung phi0, die noch berechnet werden muss.
Zum Schluss betrachten wir die innere potentielle Energie:

U=\frac{1}{2}D\varphi^2=\frac{1}{2}D{(\varphi+\varphi_0)}^2

Auch hier muss die anfängliche Auslenkung miteinbezogen werden, da die Feder dadurch schon gespannt wird.
Jetzt stellen wir die Gleichung nach dem Energiesatz bzw. der Energieerhaltung auf:

E\ pot+E\ kin+U=\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2-mgL\sin{(\varphi+\varphi_0)}+\frac{1}{2}D\left(\varphi+\varphi_0\right)^2=konst

Da die Ableitung einer Konstanten gleich Null ist, müssen wir den Term nur noch nach der Zeit Ableiten. Die einzelnen Terme ergeben sich zu:

\frac{d\ E\ kin}{dt}=\frac{d\frac{1}{2}m{(L\dot{\varphi})}^2}{dt}=mL^2\dot{\varphi}\ddot{\varphi}

\frac{d\ E\ pot}{dt}=-\frac{dmgL\sin{\left(\varphi+\varphi_0\right)}}{dt}=-mgL\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}\dot{\varphi}

\frac{dU}{dt}=\frac{d\frac{1}{2}D\left(\varphi+\varphi_0\right)^2}{dt}=D\left(\varphi+\varphi_0\right)\dot{\varphi}

Dadurch erhalten wir für den gesamten Term:

\frac{d\ E\ kin}{dt}+\frac{d\ E\ pot}{dt}+\frac{dU}{dt}=mL^2\dot{\varphi}\ddot{\varphi}-mgL\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}\dot{\varphi}+D\left(\varphi+\varphi_0\right)\dot{\varphi}=0

Am Ende stellen wir die Gleichung noch nach der höchsten Ableitung um und erhalten die Differenzialgleichung, die die Bewegung vollständig beschreibt:

\ddot{\varphi}-\frac{g}{L}\cos{\left(\varphi+\varphi_0\right)}+\frac{D}{mL^2}\left(\varphi+\varphi_0\right)=\ddot{\varphi}-6,54\frac{1}{s^2}\cos{\left(\varphi+3,68\right)}+1,75\frac{1}{s^2}\left(\varphi+3,68\right)=0

Wir nutzen also die Arbeit bzw. die Energie, um die Bewegungsgleichung in Form einer Differentialgleichung aufzustellen.
Du siehst: mit dem Energiesatz kannst du die Gleichung für die Bewegung eines Systems Schritt für Schritt ermitteln.

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.