Mechanik: Dynamik

Beschleunigung Formel

Inhaltsübersicht

Die Beschleunigung ist einer der wichtigsten Konzepte für die Bewegung ohne Krafteinflüsse. In unserem Video erklären wir dir das Thema in kürzester Zeit, ohne, dass du vielen langen physikalischen Text lesen musst.

Beschleunigung Definition

Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit eines Körpers zeitlich ändert. Sie hat das Formelzeichen \mathbf{a} und ist eine gerichtete, beziehungsweise vektorielle Größe. Gerichtet bedeutet, dass die messbare Eigenschaft von a, sowohl durch einen Betrag, als auch durch eine Richtung gekennzeichnet ist. Die Beschleunigung Formel lautet:

\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}

Es muss sich also der Betrag, die Richtung oder beides gleichzeitig ändern, damit es sich um eine Beschleunigung handelt. Folgend, ist jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung. Das a hat ein negatives Vorzeichen, falls es sich bei der Veränderung um einen Bremsvorgang handelt. Beispielsweise ist auch die gleichförmige Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung. Der Grund liegt in der ständigen Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors.

Beschleunigung berechnen

Bei der Formel der Beschleunigung entspricht \Delta\vec{v} der Änderung der Geschwindigkeit und \Deltat ist die Änderung der Zeit. Wirkt die Beschleunigung nicht in die Richtung der Geschwindigkeit, muss die Differenz der Geschwindigkeiten vektoriell bestimmt werden. Deshalb kann die Formel für \vec{a} auch so umgeschrieben werden:

\vec{a} = \frac{\vec{v}(t_2) - \vec{v}(t_1)}{t_2 - t_1}

Zu der Geschwindigkeit und den entsprechenden Formeln, haben wir dir hier das entsprechende Video verlinkt.

Als Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Fahrrads im Abstand von einer Minute zweimal gemessen. Bei dem ersten Mal wird 18\frac{km}{h} und das zweite Mal 12\frac{km}{h} gemessen. Die mittlere, oder durchschnittliche Beschleunigung über den Zeitraum von einer Minute ergibt sich dann zu:

\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Deltat} = \frac{\vec{v}(t_2) - \vec{v}(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{12\frac{km}{h} - 18\frac{km}{h}}{60s} = -0,0277\frac{m}{s^2}

Somit wird das Fahrrad mit circa 0,028\frac{m}{s^2} negativ beschleunigt. Bei der Bewegung handelt es sich also um einen Bremsvorgang.

Beschleunigung Einheit

Die Beschleunigung \vec{a} hat eine Einheit von einem Meter pro Quadratsekunde \frac{m}{s^2}]. Dies kann auf die Geschwindigkeit zurückgeführt werden. Eine Geschwindigkeit gibt an, wie viel Wegstrecke in einer bestimmten Zeit geschafft wurde. Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Schnelligkeit in einer bestimmten Zeit verändert. Somit kann folgendermaßen umformuliert werden.

\vec{a} = \frac{\vec{v}}{t}

Mit \vec{v} = 1\frac{m}{s} und t = s:

\vec{a} = \frac{\frac{m}{s}}{s} = \frac{m}{s^2}

Dies ist die Einheit der Beschleunigung.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ist die Beschleunigung während des gesamten Beschleunigungsvorgangs konstant, spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Da die Beschleunigung \vec{a} dann immer gleichbleibt, ändert sich die Geschwindigkeit linear. Ein Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist die Erdbeschleunigung. Sie beträgt konstant 9,81\frac{m}{s^2}.

Damit ist die notwendige Bedingung für eine solche Bewegung:

\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{s}} = konstant

Ebenfalls entspricht \vec{a} der ersten Ableitung der Geschwindigkeit und der zweiten zeitlichen Ableitung des Weges. Alle diese müssen konstant sein.

Wichtige Formeln für die Beschleunigung ist einmal die Kraft und zum anderen das Weg-Zeit Gesetz. Genaueres zum Thema Kraft kannst du dir in dem Artikel zu den Newtonschen Axiomen anschauen. Letzteres lautet:

s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 + s_0

Mit v_0 der Anfangsgeschwindigkeit und s_0 der anfangs zurückgelegte Weg. Durch eine zeitliche Ableitung von diesem ergibt sich das Geschwindigkeit-Zeit Gesetz:

v(t) = \dot{s}(t) = a \cdot t + v_0

Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung im Weg-Zeit, Geschwindigkeit-Zeit und Beschleunigung-Zeit Diagramm sieht wie folgt aus:

Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

In unserem Beispiel wird eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung betrachtet. Dementsprechend ist der Graph im Beschleunigung-Zeit Diagramm eine Gerade. In dem Beispielfall bei 2\frac{m}{s^2}. Die Geschwindigkeit v im v-t-Diagramm hingegen erhöht sich linear von 0 auf 20\frac{m}{s}. Der zurückgelegte Weg im s-t-Graph wächst quadratisch auf bis zu 100m an.

Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ist die beschleunigte Bewegung nicht über die Zeit hinweg konstant, wird von einer ungleichmäßigen Beschleunigung gesprochen. Das heißt, mit der Zeit ändert sich nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Beschleunigung dieser. In diesem Fall muss die Geschwindigkeit nach der Zeit abgeleitet werden. Die Geschwindigkeit \vec{v}(t) ergibt sich durch eine Integration der Beschleunigung über die Zeit plus eine Anfangsgeschwindigkeit \vec{v_0}. Der Weg ergibt sich, wenn die Geschwindigkeit über die Zeit integriert wird plus den Anfangsweg \vec{s_0}.

\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}

\vec{v}(t) = \int{\vec{a} dt} + v_0

\vec{s}(t) = \int{\vec{v}(t) dt} + s_0

Bei der ungleichmäßig beschleunigten Bewegung kann das Beschleunigung-Zeit Diagramm und somit auch das Geschwindigkeit-Zeit und das Weg-Zeit Diagramm sehr unterschiedlich ausfallen. Dies liegt daran, dass die Geschwindigkeitszunahme \vec{a} jeden beliebigen Wert annehmen und sich auch ändern kann.

Diagramme einer ungleichmäßig beschleunigten Bewegung

Hier siehst du beispielsweise eine geradlinig ungleichmäßig beschleunigte (gelb) und eine exponentiell ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (blau).


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