Mechanik: Dynamik

Beschleunigungsarbeit

Inhaltsübersicht

Die Beschleunigungsarbeit ist eine wichtige mechanische Arbeit. Wenn du genauer wissen willst, wie die Arbeit berechnet wird, dann schau dir doch unser Video an! Dort erklären wir dir alles in kürzester Zeit.

Beschleunigungsarbeit Definition

Die Beschleunigungsarbeit \mathbf{W_B} ist eine mechanische Arbeit. Arbeit wird immer dann verrichtet, wenn ein physikalischer Körper mit einer Kraft bewegt oder verformt wird. Ist diese Bewegung eine Beschleunigung, so wird die verrichtete Arbeit Beschleunigungsarbeit genannt. Die Einheit dafür ist Joule, was durch ein J gekennzeichnet wird. Die Formel lautet:

W_B = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Die Masse des Körpers wird durch m symbolisiert und v ist seine Geschwindigkeit.

Beschleunigungsarbeit Formel

Allgemein ist die mechanische Arbeit W definiert als Kraft F mal Weg s.

W = F \cdot s

Die Einheit ist dabei Joule [J], was gleichbedeutend mit Newtonmeter [Nm] oder Wattsekunde [Ws] ist.

Wenn nun auf einen Körper eine Kraft wirkt, die diesen beschleunigt, so wird von der Beschleunigungsarbeit gesprochen. Dabei ist wichtig, dass die Kraft und der Weg in dieselbe Richtung zeigen. Ist das nicht der Fall, muss die Kraft so zerlegt werden, dass ein Teil dieser in die Bewegungsrichtung zeigt. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie die Kräftezerlegung genau funktioniert, dann kannst du das in unserem Artikel vom Kräfteparallelogramm nachlesen.

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Beschleunigungsarbeit

Die Kraft einer Beschleunigung ist physikalisch gegeben durch:

F = m \cdot a

Die Masse des beobachteten Objekts ist wiederum m und a ist seine Beschleunigung. Das kann nun in die allgemeine Formel für die Arbeit eingesetzt werden, um die Beschleunigungsarbeit Formel zu erhalten.

W_B = m \cdot a \cdot s

Je nach gesuchten Variablen muss diese Formel noch weiter spezifiziert werden. Falls die Strecke, über die beschleunigt wurde, nicht angegeben ist, so kann das Weg-Zeit-Gesetz verwendet werden. Unser Artikel zur Geschwindigkeit beschreibt dieses genauer und ist dir hier verlinkt. Die Berechnung für das Gesetz lautet:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0

Dabei ist t die Zeit, s_0 der am Anfang zurückgelegte Weg und v_0 die Geschwindigkeit am Anfang der Bewegung. Letzteres ist für die Berechnungen nicht relevant, da nur auf die Beschleunigung Wert gelegt wird, egal bei welcher Anfangsgeschwindigkeit.

Die so entstandene Formel für den Weg-Beschleunigung-Zusammenhang in die Beschleunigungsarbeit Formel eingesetzt ergibt:

W_B = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 \cdot t^2

Ist hingegen keine Beschleunigung und nur die Geschwindigkeit des Körper vor v_v und nach der verrichteten Arbeit v_n gegeben, kann folgende Vereinfachung gemacht werden. Dabei ist v definiert als die Differenz der beiden anderen Geschwindigkeit, also:

v = v_n - v_v

Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung hängen wie folgt zusammen:

v = a \cdot t

Nach a umgestellt:

a = \frac{v}{t}

und eingesetzt in die Beschleunigungsarbeit Formel, ergibt:

W_B = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{v^2}{t^2} \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Das ist dieselbe Berechnung, wie für die kinetische Energie.

Beschleunigungsarbeit Berechnung Formeln
Berechnung der Beschleunigungsarbeit

An der Formel kann auch gesehen werden, dass mit steigender Geschwindigkeit die Arbeit, beziehungsweise die Energie mit ansteigt. Je schneller also ein Körper sich bewegt, desto mehr Arbeit muss aufgebracht werden, um ihn zu beschleunigen.

Beschleunigungsarbeit Beispiel

Usain Bolt lief bei seinem Weltrekord die 100 Meter in 9,58 Sekunden. Dabei wog er 94 Kilogramm. Die Frage ist nun, wie viel Arbeit Usain Bolt aufbringen musste, um sich selbst auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen.

Um das zu berechnen, muss zunächst die durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmt werden. Die Formel und deren Herleitung kannst du in unserem Geschwindigkeitsvideo nachschauen.

v=\frac {s}{t}=\frac{100m}{9,58s}=10,438 \frac{m}{s}

Der Weg und die Zeit werden zusammen in die Formel eingesetzt und wir erhalten 10,44 Meter pro Sekunde als mittlere Geschwindigkeit. Dies entspricht circa 37,44 km/h und bildet nur den Mittelwert über die gesamte Zeit ab. Tatsächlich hat Usain Bolt aber bei seinem Rekord eine Spitzengeschwindigkeit von 43,92 km/h erreicht.

Nun wird die mittlere Geschwindigkeit zusammen mit der Masse in unsere Formel eingesetzt. Bei der Berechnung musst du auf die korrekten Einheiten achten.

W_B=\frac{1}{2}\times m\times v^2=\frac{1}{2}\times 94kg\times (10,44 \frac{m}{s})^2= 5122,7 Nm=5,13kJ

Es ergeben sich insgesamt 5,13kJ.


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