Mechanik: Statik

Mechanische Arbeit Formel und konservative Kraft

Der Begriff der Arbeit kann vielerlei Bedeutungen haben. Hier erklären wir dir, was die Mechanische Arbeit ist und was die konservative Kraft mit der Arbeit Physik zu tun hat. Zudem wird die Mechanische Arbeit Formel dargestellt und ausführlich erklärt.

Was bedeutet Mechanische Arbeit und was versteht man unter der konservativen Kraft?

Mechanische Arbeit Formel – Herleitung

Den Begriff Mechanische Arbeit hast du in der Schule sicher schon einmal gehört und kennst bestimmt schon die vereinfachte Mechanische Arbeit Formel. Mechanische Arbeit wird nämlich verrichtet, wenn eine Kraft dazu führt, dass ein Körper bewegt oder verformt wird. Daraus lässt sich ableiten, dass die allgemeine Definition der Mechanischen Arbeit wie folgt lautet:

W\ =\ F\ \ast s

  • W steht für die Arbeit in NewtonMeter [Nm]
  • F ist die Kraft in Newton [N]
  • s steht für die Strecke in Meter [m]

Ausführlicher beschreibt man die Mechanische Arbeit Formel mit einem Integral:

A_{12}=\int_{x_1}^{x_2}{\vec{F\ }\left(x\right)\ast\ d\vec{x}}

Diese Definition der Mechanischen Arbeit kann man in einem Kraft-Weg-Diagramm darstellen, das folgendermaßen aussieht:

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Kraft-Weg-Diagramm

Mechanische Arbeit Formel – Vereinfachung

Da die Mechanische Arbeit Formel so noch etwas kompliziert aussieht, werden wir das Ganze mit ein paar Annahmen vereinfachen: Zum einen betrachten wir meistens ortsunabhängige bzw. wegunabhängige Kräfte, zu denen die konservativen Kräfte zählen. Das heißt, wir können sie in diesem Integral als konstant ansehen. Wenn wir dann auch noch unsere Laufkoordinate x in Kraftrichtung nehmen, dann können wir die Mechanische Arbeit auf eine einfache Formel reduzieren:

A_{12}=F\left(x_2-x_1\right)

Hier beschreibt x_1 den Ort zu Beginn der betrachteten Bewegung und x_2 den Ort zum Ende der Bewegung.

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Mechanische Arbeit Formel – Vereinfachung

Konservative Kräfte und Mechanische Arbeit – Beispiel

Nehmen wir nun als Beispiel das Heben und Senken eines Gewichtes. Das Heben entspricht einer Bewegung gegen die Kraftrichtung der Gewichtskraft.  Damit ist x_2 kleiner x_1 und die Arbeit ist kleiner 0. Beim Senken ist es genau andersherum: x_2 ist größer als x_1 und die Arbeit ist dann größer 0.

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Konservative Kräfte – beispielhafte Darstellung

Die wegunabhängigen Kräfte werden in der Mechanik konservative Kräfte genannt. Für die konservative Kraft ist die Arbeit, wie du an vorherigem Beispiel erkennen kannst, nur vom Start- und vom Endpunkt abhängig. Das kannst du dir so vorstellen, wie wenn du einen schweren Klotz von einem Startpunkt A zum Endpunkt B bewegen willst: Dann nimmst du intuitiv den kürzesten Weg, weil dieser weniger Mechanische Arbeit kostet. Die Gewichtskraft ist beispielsweise eine konservative Kraft, die Reibkraft aber nicht.

Konservative Kräfte haben noch eine weitere Eigenschaft, die man in folgender Formel ausdrücken kann:

A_{12}=\oint{\vec{F\ }\left(x\right)\ast\ d\vec{x}=0}

Das heißt für uns einfach, dass keine Mechanische Arbeit geleistet oder verbraucht wurde, wenn unser Endpunkt gleich dem Startpunkt ist. Nehmen wir zur Veranschaulichung noch einmal die Gewichtskraft: das Heben ist ja anstrengender als das Senken. Also haben wir zwei verschiedene Vorzeichen und die Arbeiten summieren sich zu null. Bei der Reibkraft, die keine konservative Kraft darstellt, ist das anders: Schiebst du ein Gewicht über eine Fläche, ist das in beide Richtungen anstrengend. Dementsprechend addieren sich hier die beiden Arbeiten nicht zu null.

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Reibkraft – beispielhafte Darstellung

Mechanische Arbeit, konservative Kräfte und Potential

Eine dritte Eigenschaft der konservativen Kräfte ist, dass sie ein sogenanntes Potential besitzen:

U_a=-A=-\int{\vec{F\ }\left(x\right)\ast\ d\vec{x}}

Das Potential einer Kraft ist also einfach die negative Arbeit. Eine Art von Potential kennst du sicher aus der Schule: die sogenannte potentielle Energie. Sie bildet das Potential der Gewichtskraft. Du kennst sie vermutlich als m\ast g\ast h . Überprüfen wir nun, ob das richtig ist: Unsere Kraft ist die Gewichtskraft mit m\ast g . Wir heben das Gewicht um h an und wissen von vorhin:

A=-mgh

Und mit Hilfe der Definition des Potentials ergibt sich:

U_a=mgh

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Konservative Kräfte und Potential

Mechanische Arbeit am starren Körper

Nachdem wir die Grundlagen geklärt haben, gehen wir nun zum Bereich Mechanische Arbeit am starren Körper. Dazu benötigen wir folgende Formel:

A=\int_{1}^{2}{\vec{R\ }\left(x\right)\ast\ d\vec{x}}+\int_{1}^{2}{\vec{M\ast}d\vec{\varphi}}

Hier sind mit 1 und 2 nur der Ort zu Beginn und zum Ende gemeint.

Das heißt also, dass nicht nur Kräfte, sondern auch Momente Mechanische Arbeit leisten können. Am starren Körper leisten die resultierende Kraft und das resultierende Moment die Arbeit. Diese ist bei der Kraft wieder abhängig vom Weg und beim Moment abhängig vom Drehwinkel.

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Mechanische Arbeit am starren Körper

Die Mechanische Arbeit kannst du in der Regel so wie eben beschrieben berechnen, da äußere Lasten normalerweise konservativ sind und deshalb keine Vektorrechnung notwendig ist. Wir können das Ganze in folgender Regel vereinfachen:

A=R\left(x_2-x_1\right)+M(\varphi_2{-\varphi}_1)

Beachten solltest du hier nur, dass es konservative Kräfte und Momente sind, die weder abhängig vom Weg noch vom Drehwinkel sind. Das heißt, wenn bei der resultierenden Kraft anstelle einer konservativen Kraft zum Beispiel die Reibkraft mitspielt, musst du zwangsläufig das Integral lösen.

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Mechanische Arbeit am starren Körper – Integral lösen

Jetzt weißt du, was mit dem Begriff Mechanische Arbeit gemeint ist und wie die Mechanische Arbeit Formel im Detail aufgebaut ist. Außerdem macht dir in Bezug auf die konservative Kraft keiner mehr so schnell etwas vor.

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