Mechanik: Dynamik

Drallsatz

Du willst wissen was der Drallsatz ist? Dann bist du hier genau richtig, denn den erklären wir dir in diesem Beitrag

Anwendung des Drallsatzes

Zu Beginn erklären wir dir kurz die wichtigsten Grundlagen zum Drall. Er bildet das Gleiche für den Impuls, was das Moment für die Kraft bildet. Dementsprechend wird der Drall ähnlich gebildet durch:

\vec{L}=\vec{r}\times\ m\vec{v}

Im Falle des starren Körpers nehmen wir an, dass dieser aus vielen, miteinander verbundenen, Massenpunkten besteht. Weiterhin nutzen wir, dass der Drall der einzelnen Massenpunkte zum Gesamtdrall L0 bezüglich des Ursprungs summiert werden kann:

\vec{L_0}=\sum_{i}\vec{L_i}=\sum_{i}{{\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_i}

Nachdem wir den Drall definiert haben, betrachten wir im nächsten Schritt den Drallsatz. Dieser besagt: Wenn wir den Drall zeitlich ableiten, erhalten wir das dort herrschende Moment, also:

\frac{d\vec{L}}{dt}\ =\ \vec{M}

Der Drallsatz lässt sich genauso auf den starren Körper anwenden:

\vec{M}=\sum_{i}{\vec{M}}_i=\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_{i}{{\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_i}

Bestimmung der Momente

Damit wir keine Abhängigkeit vom Koordinatensystem haben, werden in der Regel der Drall bzw. die Momente bezüglich des Schwerpunkts bestimmt:

Bestimmung der Momente
Bestimmung der Momente

Dabei ist MS das Gesamtmoment bezüglich des Schwerpunkts, delta ri der Abstand des jeweiligen Massenpunkts zum Schwerpunkt und delta vi die Relativgeschwindigkeit des jeweiligen Massenpunkts zum Schwerpunkt. Delta vi wird also in der Regel durch eine Drehung verursacht.
Diese Formel ist ziemlich kompliziert, oder? Deshalb suchen wir im nächsten Schritt eine einfache Formel, mit der wir gut rechnen können. Dazu ersetzen wir als erstes die Summe durch ein Integral und integrieren über den ganzen Körper mit der kontinuierlichen Masse m. Die Voraussetzung dafür ist, dass unsere Punktmassen infinitesimal klein sind, denn das Integral beschreibt im Endeffekt nur eine Summe über infinitesimal kleine Teilchen. Das heißt: aus mi wird dm. Der Ort bzw. die Geschwindigkeit der einzelnen Masseteilchen bleiben allerdings gleich. Demensprechend können wir den Drallsatz nun schreiben als:

Umformung des Drallsatz
Umformung des Drallsatz

Das dm können wir hier einfach aus dem Kreuzprodukt herausziehen. Denn bei skalaren Größen, wie dm, ist die Reihenfolge unwichtig.

Integral vereinfachen

Das Integral sieht jetzt auch noch ziemlich kompliziert aus, oder? Vereinfachen wir es also nochmals. Dazu überlegen wir uns als erstes wie wir die Geschwindigkeit umschreiben können. Aus der kinematischen Beziehung wissen wir:

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}

Daraus folgt also für unseren Fall:

Einsetzten Drallsatz
Einstzen

Mit Hilfe der Graßmann-Identität können wir das doppelte Kreuzprodukt noch vereinfachen:

Graßmann-Identität einsetzen
Graßmann-Identität einsetzen

Als nächstes können wir beide Integrale jeweils noch einmal vereinfachen. Dazu betrachten wir zuerst das erste Integral. Das Skalarprodukt von delta r mit sich selbst ergibt sich zum Betragsquadrat des Vektors delta r
Weiterhin ist die Winkelgeschwindigkeit unabhängig von der Masse. Dadurch lässt sich Omega einfach vor das Integral ziehen.

Auflösen des zweiten Integrals

Im nächsten Schritt betrachten wir das zweite Integral. Hier können wir nur das Skalarprodukt auflösen, dürfen es aber nicht vor das Integral ziehen.

Wie du ja bereits weißt, ist Omega unabhängig von der Masse. Dementsprechend stellen wir als nächstes die Integrale so um und führen sie wieder zusammen, dass wir Omega aus dem Integral herausziehen können. Dazu betrachten wir jetzt jede Richtung einzeln. Dabei verzichten wir der Einfachheit halber auf die Betrachtung des Integrals. Wir beginnen zunächst mit der x-Richtung:

\omega_x\left(x^2+y^2+z^2\right)-x\left(\omega_xx+\omega_yy+\omega_zz\right)

Als nächstes betrachten wir die y-Richtung:

\omega_y\left(x^2+y^2+z^2\right)-y\left(\omega_xx+\omega_yy+\omega_zz\right)

Und als letztes schauen wir uns die z-Richtung an:

\omega_z\left(x^2+y^2+z^2\right)-z\left(\omega_xx+\omega_yy+\omega_zz\right)

Du hast wahrscheinlich schon gesehen, dass sich Omega x mal x quadrat bzw. Omega y mal y Quadrat bzw. Omega z mal z Quadrat in den jeweiligen Richtungen rauskürzen lassen. Dadurch erhalten wir:

x-Richtung:\omega_x\left(y^2+z^2\right)-x\left(\omega_yy+\omega_zz\right)\

y-Richtung:\omega_y\left(x^2+z^2\right)-y\left(\omega_xx+\omega_zz\right)\

z-Richtung:\ \omega_z\left(x^2+y^2\right)-z\left(\omega_xx+\omega_yy\right)

Da Omega ein Vektor ist und als Ergebnis wieder ein Vektor entsteht, kannst du dir vielleicht denken, dass wir eine Matrix erhalten müssen, damit das möglich ist. Wir suchen also eine Matrix, in die wir den Vektor Omega quasi reinlegen können. Er soll uns dann für die jeweiligen Richtungen die Gleichungen ergeben. Mit Hilfe dieser Matrix können wir Omega aus dem Integral herausziehen und müssen nur die Richtungen integrieren. Das Integral über die Matrix wird in der Mechanik Massenträgheitsmoment genannt und ist rein geometrisch zu bestimmen. Abgekürzt wird dieses durch I S und ergibt sich zu:

\vec{I_S}=\int\left(\begin{matrix}y^2+z^2&-xy&-xz\\-yx&x^2+z^2&-yz\\-zx&-zy&x^2+y^2\\\end{matrix}\right)dm

Die Formel für den Drallsatz lautet dann:

\vec{M_S}=\frac{d}{dt}\left[\int\left(\begin{matrix}y^2+z^2&-xy&-xz\\-yx&x^2+z^2&-yz\\-zx&-zy&x^2+y^2\\\end{matrix}\right)dm\ \vec{\omega}\right]=\frac{d}{dt}\left[\vec{I_S}\ \vec{\omega}\right]

Hauptachsensystem verwenden

Nun sieht das Massenträgheitsmoment nicht gerade schön aus. In der Regel legen wir das Koordinatensystem so, dass wir ein sogenanntes Hauptachsensystem verwenden. In diesem Fall werden alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen sind, zu Null. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen kannst du dann meistens auf eine bekannte Bewegung reduzieren. Zur Veranschaulichung betrachten wir eine Punktmasse, die sich auf einer Kreisbahn mit dem konstanten Radius r bewegt: Den Ursprung legen wir genau in die Mitte des Kreises. Das Hauptachsensystem ist hier, wenn die x-Achse immer auf den Massenpunkt zeigt und sich somit mit dreht.

In diesem Fall sind y und z immer gleich Null, da wir uns nur in einer Ebene bewegen und sich das Koordinatensystem mit dreht. Der x-Wert ist dadurch immer konstant gleich dem Radius und wir erhalten für das Massenträgheitsmoment:

\vec{I_S}=\left(\begin{matrix}0&0&0\\0&x^2&0\\0&0&x^2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\\\end{matrix}\right)m

Setzen wir das ganze nun in den Drallsatz ein, sehen wir, dass I S konstant sein muss, da der Radius konstant ist. Wir müssen also nur noch die Winkelbeschleunigung betrachten:

\vec{M_S}=\vec{I_S}\frac{d}{dt}\left[\ \vec{\omega}\right]=\vec{I_S}\dot{\vec{\omega}}

In unserem Fall ist Omega nur in z-Richtung und, da wir die Kreisbahn behalten wollen, auch Omega Punkt. Wir müssen also nur die z-Komponente betrachten, um die Gleichung zu lösen.
Wenn du also das Hauptachsensystem verwendest, findest du schnell das Moment, das bezüglich des Schwerpunkts wirkt.
Du siehst: Nach diesem Video bist du ein Profi in Sachen Drallsatz und kannst weiter draußen Fußball spielen. Viel Erfolg und bis bald!

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