Mechanik: Dynamik

Drallsatz

Der Drallsatz ist ein wichtiges Thema in der klassischen Mechanik und verbindet den Drehimpuls mit dem Drehmoment. Falls dir das alles zu viel physikalischer Text zum Lesen ist, schau dir doch unser Video zum Thema Drallsatz an! Dort erklären wir dir alles in kürzester Zeit.

Drallsatz Formel

Der Drallsatz wird auch als Momentensatz oder Drehimpulssatz bezeichnet. Er gibt wieder, dass zu einer Veränderung des Drehimpulses eines physikalischen Objekts ein Drehmoment an diesem angebracht werden muss. Dieser Zusammenhang ist gleich dem bei der mechanischen Kraft. Durch eine zeitliche Veränderung des Impulses ergibt sich eine Kraft.

Falls du zu den Themengebiete Drehimpuls und Drehmoment mehr wissen willst, haben wir dir den jeweiligen Artikel verlinkt. Diese sind die Grundlagen zum Drall und sind für die Drallsatz Formel wichtig. Mathematisch lässt sich die Veränderung des Drehimpuls durch die zeitliche Ableitung schreiben. Damit ergibt sich folgende Drallsatz Formel:

\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}

Das Drehmoment ist dabei \vec{M} und der Drehimpuls \vec{L}. Letzteres ist definiert durch:

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}

Dabei ist \vec{v} die Geschwindigkeit und m die Masse des betrachteten physikalischen Objekts. Dieser Zusammenhang ist in dem Video zum Impulserhaltungssatz genauer erklärt.\vec{r} ist der Radius zu dem Körper vom Mittelpunkt der Kreisbewegung aus.

Drehimpulserhaltung

Genau wie bei dem Impuls gibt es auch für den Drehimpuls einen Erhaltungssatz. Dieser besagt, dass wenn in einem abgeschlossenen System kein Drehmoment wirkt, der Drehimpuls konstant ist.  Damit handelt es sich um eine erneute Erhaltungsgröße. Mathematisch ausgedrückt:

\frac{d\vec{L}}{dt} = 0

Das gilt aber nur, wenn kein Moment von außen auf das System wirkt. So gilt die Drehimpulserhaltung auch, wenn andere Kräfte anwesend sind, solange diese kein Drehmoment sind.

Drallsatz bei starren Körpern

Im Falle eines starren Körpers wird angenommen, dass dieser aus vielen, miteinander verbundenen Massenpunkten besteht. Weiterhin kann ausgenutzt werden, dass der Drall der einzelnen Massenpunkte zum Gesamtdrall \vec{L_0} bezüglich des Ursprungs summiert werden kann:

\vec{L_0} = \sum_{i}{\vec{L_i}} = \sum_{i}{(\vec{r_i} \times m_i\vec{v_i}})

Der Laufindex i symbolisiert Massenpunkte. In diesen Summen wird über alle vorhandenen Massenpunkte aufsummiert. Mit der Hilfe des Drallsatzes können die Berechnungen umformuliert werden.

\vec{M} = \sum_{i}{\vec{M_i}} = \frac{d\vec{L_0}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{i}{(\vec{r_i} \times m_i\vec{v_i})}

Momente

Auch die Momente werden bezüglich des Schwerpunktes betrachtet. So ergibt sich zunächst:

Drallsatz, Schwerpunkt, Massenverteilung, Massenpunkte, Geschwindigkeit, Radius, Zeit, Drehmoment, Drehimpuls
Bestimmung der Momente

Dabei ist \vec{M_s} und \vec{L_s} das Drehmoment und der Drehimpuls bezüglich des Schwerpunktes. \Delta\vec{r_i} ist der Abstand des jeweiligen Massenpunktes vom Schwerpunkt und \Delta\vec{v_i} seine Geschwindigkeit in Relation zum Körperschwerpunkt. Letzteres wird durch eine Drehung verursacht. Um die Formel zu vereinfachen, wird über den ganzen Körper mit einer kontinuierlichen Masse von m integriert, anstatt über die Massenpunkte aufzusummieren. Die Integrierung verlangt infinitesimal kleine Teilchen. Aus diesem Grund wird aus m_i, dm. Nun kann geschrieben werden:

Drallsatz, Massenverteilung, kontinuierlich, Schwerpunkt, Drehimpuls, Drehmoment, Geschwindigkeit
Umformung des Drallsatz

Die infinitesimal kleine Masse kann aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden.

Geschwindigkeit in Drehbewegungen

Aus der kinematischen Beziehung kann die Geschwindigkeit \vec{v} geschrieben werden als:

\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}

\vec{\omega} ist die Winkelgeschwindigkeit und \vec{r} der Radius zum Mittelpunkt der Kreisbewegung. Daraus folgt:

Kreisgeschwindigkeit, Drallsatz, Drehimpulssatz, Drehimpuls, Drehmoment, Winkelgeschwindigkeit, Radius, Masseverteilung
Kreisgeschwindigkeit einsetzen

Mit der Hilfe der Graßmann-Identität kann das doppelte Kreuzprodukt vereinfacht werden.

Graßmann-Identität, Drehimpuls, Drehmoment, Massenpunkte, kontinuierliche Masse, Drallsatz, Drehimpulssatz
Vereinfachung mit der Graßmann-Identität

Die Multiplikation von \Delta\vec{r} mit sich selbst im ersten Integral ergibt ein Betragsquadrat des Vektors. Des Weiteren lässt sich das \vec{\omega} aus dem Integral ziehen, da es massenunabhängig ist.

Auflösung

Das Skalarprodukt im zweiten Integral darf nicht herausgezogen werden. Um die Winkelgeschwindigkeit \omega, die massenunabhängig ist, aus dem Integral hinausziehen zu können, muss jede Richtung des Vektors \vec{r} und \vec{\omega} betrachtet werden.

Wird dies mit dem ersten Integral verrechnet ergibt sich für die x-Richtung:

\omega_x(x^2 + y^2 + z^2) - x(\omega_xx + \omega_yy + \omega_zz)

Bei der y-Richtung ergibt sich:

\omega_y\left(x^2 + y^2 + z^2\right)-y\left(\omega_xx + \omega_yy + \omega_zz\right)

Und für die letzte Richtung, der z-Richtung:

\omega_z\left(x^2+y^2+z^2\right)-z\left(\omega_xx+\omega_yy+\omega_zz\right)

Durch Kürzungen erhält man für die x-Richtung:

\omega_x(y^2 + z^2) - x(\omega_yy + \omega_zz)

Bei der y-Achsenrichtung:

\omega_y(x^2 + z^2) - y(\omega_xx + \omega_zz)

Und für die z-Richtung:

\omega_z(x^2 + y^2) - z(\omega_xx + \omega_yy)

Das \vec{\omega} kann nun als kompletter Vektor ausgeklammert werden. Wichtig dabei ist, dass jetzt eine Matrix zurückbleibt. So wird folgendes Integral erhalten:

\int{\left(\begin{matrix}y^2 + x^2&-xy&xz\\-yx&x^2 + z^2&-yz\\-zx&-zy&x^2 + y^2\\\end{matrix}\right) dm\ \vec{\omega}

Das Integral über die Masse m von der Matrix wird auch Massenträgheitsmoment \mathbf{\vec{I}} genannt. So ergibt sich für den Drallsatz bezüglich des Schwerpunktes:

\vec{M_S}\ =\ \frac{d}{dt}\left[\int\left(\begin{matrix}y^2 + x^2&-xy&-xz\\-yx&x^2 + z^2&-yz\\-zx&-zy&x^2 + y^2\\\end{matrix}\right)\right]dm\vec{\omega} = \frac{d}{dt}\left[\vec{I_S}\dot{\vec{\omega}}}}\right]

Hauptachsensystem

Um die Matrix zu vereinfachen wird meistens ein Hauptachsensystem als Koordinatensystem verwendet. In diesem Fall werden alle Elemente, die nicht auf der Diagonalen sind, zu Null.

Ein Beispiel wird eine Punktmasse betrachtet, die sich auf einer Kreisbahn mit einem konstanten Radius r bewegt. Der Ursprung liegt genau in die Mitte des Kreises. Das Hauptachsensystem kommt zustande, wenn die x-Achse immer auf den Massenpunkt zeigt und sich somit mit dreht.

In diesem Fall sind die y- und die z-Koordinate immer null. Der x-Wert hingegen ist immer konstant und gleich dem Radius. Der Massenträgheitsmoment ergibt sich dann zu:

\vec{I_S} = \left(\begin{matrix}0&0&0\\0&x^2&0\\0&0&x^2\\\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\\\end{matrix}\right)

Daran kann erkannt werden, dass \vec{I_S} konstant sein muss, da der Radius konstant ist. So muss nur noch die Winkelbeschleunigung abgeleitet werden.

\vec{M_S} = \vec{I_S}\frac{d}{dt}\vec{\omega} = \vec{I_S}\dot{\vec{\omega}}

Drallsatz und Drehmoment

Mit der Hilfe des Drallsatzes kann die Formel für das Drehmoment aus dem Drehimpuls bestimmt werden. Der Satz ist:

\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}

Die Ableitung des Impulses ergibt sich zu:

\frac{d\vec{L}}{dt} = m \cdot (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt}

Da es sich bei der Masse um eine Konstante handelt, wird diese bei der Ableitung ausgeklammert. Nun ergibt sich:

\frac{d\vec{L}}{dt} = m(\vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{a}

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt den Nullvektor. Damit fällt die Geschwindigkeit aus der Gleichung:

\frac{d\vec{L}}{dt} = m(\vec{r} \times \vec{a})

Mit der Beziehung, dass die Kraft \vec{F} gleich Masse mal Beschleunigung ist, kann ersetzt werden.

\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}

Das ist die Definition des Drehmoments \mathbf{\vec{M}}. An dieser Gleichung lässt sich feststellen, dass die zeitliche Änderung des Drehimpulses das Drehmoment ergibt.

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