Mechanik: Dynamik

Drehimpuls

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel behandelt den Drehimpuls in der Mechanik mit der Drehimpulserhaltung und dem zugehörigen Drehimpulserhaltungssatz. Weiterhin wird auf ein Beispiel zur Anwendung eingegangen.

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Drehimpuls Definition

Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe, mit dem der Bewegungszustand eines rotierenden, starren Körpers beschrieben werden kann. Er ist abhängig vom Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers und wird in der Mechanik auch als Drall oder Schwung bezeichnet. In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls als Spin bekannt.

Wirkt auf einen drehbar gelagerten Körper ein Drehmoment, dann ändert sich sein Schwung. Das Drehmoment gibt an, wie stark eine Kraft auf einen drehbar gelagerten Körper wirkt. Mehr zum Drehmoment und eine Beispielrechnung gibt es in dem Artikel Drehmoment.

Allgemein setzt sich der Drall aus zwei Komponenten zusammen. Die erste Komponente ist der Bahndrehimpuls. Dieser beschreibt die Bewegung einer Masse um einen Bezugspunkt. Die zweite Komponente, der Eigendrehimpuls, stellt die Rotation um den Massenschwerpunkt dar.

Drehimpuls Formel

Ein Massepunkt, der sich am Ort r befindet und sich mit dem Impuls p = mv bewegt, wird durch den Schwung in Kreuzproduktform definiert. Wenn dieser Massepunkt eine Drehbewegung ausführt und sich auf der Bahn um den Winkel \Delta \varphi in der Zeit \Delta t bewegt, kann dies mit der Winkelgeschwindigkeit \omega = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t} beschrieben werden.

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Drehimpuls

Die Bahngeschwindigkeit des Massepunktes lässt sich aus der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius herleiten: v = \omega r. Daraus lässt sich der Drehimpuls berechnen als:

\overrightarrow {L} = \overrightarrow {r} \times \overrightarrow {p} = rmv = mr^{2}\omega

Der Ausdruck mr^2 wird als Trägheitsmoment J bezeichnet.

Drehimpuls Einheit

Der Drall lässt sich analog zum Impuls der Translation charakterisieren und hat die Einheit [\frac{kg \cdot m{}}{}] oder [Js]. Der Impuls wurde im Artikel Impulserhaltungssatz genauer erläutert.

Das Trägheitsmoment J [kg \cdot m^2], auch „Drehmasse“ genannt, ist analog zur Masse des Impulses. Es gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung um eine gegebene Achse an. Die Winkelgeschwindigkeit \omega [\frac {1}{s}] kann mit der Geschwindigkeit v des Impulses verglichen werden.

Drehimpulserhaltung

Bei der Rotation kann, analog zum Impulserhaltungssatz der Translation, ein Drehimpulserhaltungssatz definiert werden. Dies bedeutet, dass trotz einer Impulsänderung eines Rotationskörpers der Gesamtimpuls konstant ist. In einem abgeschlossenen System kannst du somit den Gesamtdrehimpuls als Summe aller einzelnen Drehimpulse definieren:

\overrightarrow {L}_{ges} = \(\sum \limits_{i=1}^n J_i \cdot \overrightarrow {\omega}_i = J_1 \cdot \overrightarrow {\omega}_1  + J_2 \cdot \overrightarrow {\omega}_2 + ... + J_n \cdot \overrightarrow {\omega}_n

Drehimpuls in Matrixform

Um den Zusammenhang zwischen dem Schwung eines Körpers \overrightarrow {L} und seiner Winkelgeschwindigkeit \overrightarrow {\omega} als Matrix auszudrücken, verwendest du den sogenannten Trägheitstensor \Theta.

Allgemein gilt:

\overrightarrow {L} = \Theta \cdot \overrightarrow {\omega}

Der Bezugspunkt für die Berechnung des Tensors wird meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt.

Werden die Radien in die Raumrichtungen mit x, y und z bezeichnet, lässt sich der Schwung einer Punktmasse bezüglich des Koordinatenursprungs aufstellen als:

\overrightarrow {L} = \overrightarrow {r} \times \overrightarrow {p} = m\overrightarrow {r} \times (\overrightarrow {\omega} \times \overrightarrow {r})  = m \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2  & -yz\\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{pmatrix} \cdot \overrightarrow {\omega}

Auf die genaue Herleitung des Tensors wird im Artikel Drallsatz eingegangen.

Drehimpuls berechnen

Ein Beispiel für die Anwendung des Dralls ist ein Kinderkarussell auf dem Spielplatz. Das Karussell führt eine Rotationsbewegung um den Schwerpunkt in der Mitte aus.

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Je weiter sich eine Person mit der Masse  im Karussell nach außen bewegt, desto größer wird der Radius r und somit auch das Trägheitsmoment J = mr^2. Aus der Impulserhaltung folgt, dass der Drehimpuls \overrightarrow {L} = J \cdot \omega in einem abgeschlossenen System immer konstant ist. Das bedeutet, dass sich mit der Vergrößerung des Trägheitsmomentes die Winkelgeschwindigkeit \omega verringert. Durch den Zusammenhang v = \omega r wird das Karussell somit langsamer.

Wenn sich die Person nun in Richtung Schwerpunkt bewegt, verkleinert sich der Radius und somit auch das Trägheitsmoment. Die Winkelgeschwindigkeit wird größer und das Karussell wird schneller.

 


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