Mechanik: Dynamik

Dynamisches Gleichgewicht nach dem d’Alembertschen Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip ist eine große Hilfe bei Berechnungen in der mechanischen Dynamik.

Am Anfang solltest du wissen, dass wir uns wir uns beim dynamischen Gleichgewicht nach d‘Alembert nicht mehr in der Kinematik, sondern in der Kinetik des Massenpunktes befinden. Grundlage hierfür sind die drei Newton‘schen Axiome. Wir betrachten also nicht mehr nur noch die Bewegung an sich, sondern auch deren Ursachen, z.B. die Kräfte.

Die d’Alembert’sche Trägheitskraft als Hilfskraft

Was heißt jetzt nun dynamisches Gleichgewicht? Dazu erinnern wir uns zurück an die Statik: Gleichgewicht bedeutet, dass sich nichts bewegt bzw. um genau zu sein, dass wir ein Kräftegleichgewicht haben. Ähnliches gilt auch beim dynamischen Gleichgewicht. Denn das Prinzip von d’Alembert ist eine Erweiterung des Prinzips der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verrückung, PdvV) auf die Dynamik.

Nur hier verwenden wir die sogenannten „d’Alembert’schen Hilfskräfte“, um das Gleichgewicht zu bilden. Diese beschreiben die Trägheitskräfte, die bei einer Bewegung wirken. Mit ihrer Hilfe ist es möglich ein virtuelles Gleichgewicht zu bilden. Um dies etwas anschaulicher darzustellen, betrachten wir das Beispiel einer fallenden Kugel.

Beispiel Trägheitskraft und Kugel im freien Fall

Eine Kugel mit der Masse m erfährt die Erdbeschleunigung g und besitzt somit das Gewicht G:

    \[ $G = m \cdot g$ \]

Befindet sich die Kugel nun im freien Fall, wirkt auf sie ihre Gewichtskraft. Das gilt aber nur für die Beobachtung von einem ruhenden Inertialsystem aus. Beobachten wir die Kugel während wir uns neben ihr befinden und dieselbe Beschleunigung erfahren, gehen wir von einem mitbeschleunigten System (kein Intertialsystem) aus. Aus dieser Beobachtungsperspektive ruht die Kugel in jenem mitbeschleunigten System.

Damit sich die Kugel in diesem System aber in Ruhe befinden kann, muss eine der Gewichtskraft der Kugel entgegengesetzte Kraft auf die Kugel wirken – die Summe aller Kräfte ist gleich null. Diese Kraft wird Trägheitskraft genannt:

    \[ $F_T = - m \cdot g$ \]

 

Zusammenfassend bedeutet das, dass ein einem Körper in einem mitbeschleunigten System neben einer beschleunigenden Kraft F, auch eine entgegengesetzte Trägheitskraft wirkt. Somit befindet sich die Kugel für den Beobachter im beschleunigten System in Ruhe, da die Summe aller Kräfte auf die Kugel gleich null ist. In allgemeiner Form sieht das dann so aus:

    \[ $F$ - $F_T = 0$    mit    $F_T = - m \cdot a$ \]

    \[ $F$ - $m \cdot a = 0$ \]

Treten Kräfte in x-, y- und z- Richtung auf, gibt es je Koordinatenachse eine Hilfskraft. Dazu werden als erstes alle Beschleunigungen und Geschwindigkeiten positiv in Koordinatenrichtung angenommen bzw. angetragen und danach, entgegengesetzt dazu, die Hilfskräfte. So erhalten wir folgende drei Gleichungen in Komponentendarstellung:

    \[ $\sum F_x -m \cdot \ddot{x} ̈=0 \]

    \[ $\sum F_y -m \cdot \ddot{y} ̈=0 \]

    \[ $\sum F_z -m \cdot \ddot{z} ̈=0 \]

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Drei Gleichungen nach d’Alembert

Erklärung am Rechenbeispiel mit Seilkräften

Das wirkt alles noch etwas abstrakt. Deshalb erklären wir das an einem einfachen Beispiel.

Wir betrachten eine Masse, die durch zwei Seile festgehalten wird. Diese sind wiederrum mit zwei Festlagern verbunden. Unser Koordinatensystem legen wir nun so, dass unsere y-Achse in Richtung Seil 1 zeigt und die x-Achse entgegen Seil 2.  Aus der Statik können wir dann ganz einfach das Gleichgewicht bilden:

    \[ $\sum $F_x$ = S_2-G*cos⁡(a)=0\quad und\quad \sum F_y = S_1-G*sin⁡(a)=0$ \]

Die Seilkräfte sind dann:

S_1=G*sin⁡(a) \quad und\quad S_2=G*cos⁡(a)

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D’Alembert am Beispiel von Seilkräften

Nun schneiden wir Seil 2 durch und überlegen uns was passiert: Als erstes wissen wir, dass eine Bewegung einsetzen wird. Diese entsteht durch eine Beschleunigung. Durch Newton wissen wir, dass die Summe aller Kräfte in diesem Fall nicht Null ist, sondern die Masse mal einer Beschleunigung. Deshalb erhalten wir zwei neue Gleichungen für die Summe aller Kräfte in x- und y-Richtung:

    \[ $\sum F_x=S_2-G*cos⁡(a)=ma_x\quad und \quad \sum F_y=S_1-G*sin⁡(a)=ma_y \]

Wenn wir nun beachten, dass wir zum Zeitpunkt des Durchschneidens keine Beschleunigung in y-Richtung haben, können und wir m mal ax auf die linke Seite bringen.

So erhalten wir folgende Gleichungen für das dynamische Gleichgewicht:

Gleichungen für das dynamische Gleichgewicht

Kräftebilanz nach Newton vs. Kräftegleichgewicht durch Hilfskräfte

Diese Gleichungen kommen dir jetzt vielleicht bekannt vor. Wenn du in erstgenannter ax durch x Punkt Punkt ersetzt, erhältst du wieder die vorherige Gleichung:

    \[ $\sum F_x=S_2-G*cos⁡(a)-m\ddot{x} ̈=0 \]

Aber Achtung! Die beiden Gleichungen sind nicht die gleichen. Bei der ersten wurde die Kräftebilanz nach Newton aufgestellt. Bei der zweiten Gleichung wurde die Summe über die angreifenden Kräfte gebildet und dann eine Hilfskraft hinzugenommen, um ein Gleichgewicht zu bilden.

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Kräftebilanz nach Newton vs. Kräftegleichgewicht durch Hilfskräfte

In der Anwendung musst du da jedoch keinen Unterschied machen.

Du siehst also: mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert kannst du ein dynamisches Problem geschickt lösen, denn durch die Hilfskräfte wird ein dynamisches Problem auf ein statisches Problem abgeleitet. Das Prinzip von d’Alembert fordert ein Gleichgewicht aller Zwangskräfte. Laut dem Prinzip der virtuellen Arbeit, verrichten diese Kräfte bei einer virtuellen Verrückung keine Arbeit, wenn ein Gleichgewichtsfall vorliegt. Daraus folgt dann das d’Alembertsche Prinzip.

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