Mechanik: Dynamik

Elastischer Stoß

Inhaltsübersicht

Der elastische Stoß kennzeichnet sich dadurch, dass keine Energie in eine innere Energie umgewandelt wird. Es kommt also zu keiner Deformierung der zwei aufeinanderstoßenden Körper.

Wenn du nicht so langen Text durchlesen willst, erklären wir dir in unserem Video alles rund um den elastischen Stoß in kürzester Zeit!

Elastischer Stoß Definition

Ein Stoß ist ein Vorgang, bei dem zwei oder mehr Körper eine Kraft aufeinander ausüben. Als Konsequenz ändern die beteiligten Objekte ihren Bewegungszustand. Der Stoß ist dabei elastisch, wenn keine Energie in innere Energie umgewandelt wird. Es kommt zu keiner Deformierung oder Wärmeentwicklung der zusammenstoßenden Körper.

Die Energie beim elastischen Stoß bleibt also erhalten. Das bedeutet, dass die Summe der Bewegungsenergien vor dem Stoß gleich der Summe der Bewegungsenergien nach dem Stoß sein muss. Diese Überlegungen stammen aus dem Energieerhaltungssatz. Genauere Infos dazu findest du hier. Mathematisch kann das wie folgt festgehalten werden:

\Delta E = 0

Die Differenz der Energien vor und nach der Wechselwirkung ist null.

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Energetische Wechselwirkungen bei einem elastischen Stoß

Neben dem Energieerhaltungssatz gilt noch der Impulserhaltungssatz. Durch das Weglassen von Reibungskräften und Vernachlässigen des Luftwiderstands gibt es keine äußeren Kräfte, weshalb wir uns in einem abgeschlossenen System befinden.  Das ist der Grund für die Anwendbarkeit der Impulserhaltung. Falls du mehr zum Thema Impulserhaltungssatz wissen willst, haben wir dir hier unser Video verlinkt.

So handelt es sich bei dem elastischen Stoß um eine Idealisierung, die in der Realität kaum vorkommt. Beispielsweise geht aufgrund von Reibung und Luftwiderstand immer etwas Energie verloren und die Energieerhaltung gilt nicht ganz. Genauso stimmt die Impulserhaltung durch das Wirken von äußeren Kräften nicht. Hingegen ist dieser idealisierte elastische Stoß in der Quantenmechanik eher verbreitet.

Elastischer Stoß Formel

Die Geschwindigkeit der zwei Körper nach dem elastischen Stoß kann durch die zwei Gleichungen für die Energieerhaltung und Impulserhaltung berechnet werden.

Die Impulserhaltung im Fall des elastischen Stoßes lautet:

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1^N + m_2 \cdot v_2^N

Der Energieerhaltungssatz der kinetischen Energien sieht wie folgt aus:

\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (v_1^N)^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (v_2^N)^2

Mit m_{1,2} wird die Masse des Körpers eins und zwei beschrieben. Die Geschwindigkeit vor dem Stoß ist v_{1,2} für das jeweilige Objekt und nach dem Stoß v_{1,2}^N.

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Energieerhaltungssatz vor und nach dem elastischen Stoß

Aus diesen Gleichungen kann je nach umstellen und einsetzen zwei Variablen berechnet werden. Meistens werden die Geschwindigkeiten der zwei Körper nach dem Stoß gesucht. Die Formel für die Geschwindigkeit nach dem elastischen Stoß ergibt sich dann zu:

v_1^N = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot (2 \cdot v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}

v_2^N = \frac{m_2 \cdot v_2 + m_1 \cdot (2 \cdot v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}

Elastischer Stoß Sonderfälle

Anhand von diesen elastischen Stoß Formeln lassen sich 3 Sonderfälle beschreiben. Dabei ist zu beachten, dass Bewegungsgeschwindigkeiten in die positive x-Achsenrichtung mit einem positiven Vorzeichen versehen sind. Geschwindigkeiten nach links werden mit einem negativen Zeichen beschrieben.

Der erste wäre, wenn der Körper zwei vor dem Stoß ruht und gleichzeitig eine wesentlich größere Masse als das erste Objekt hat. Als Ergebnis bleibt hier der zweite Gegenstand auch nach dem elastischen Stoß stehen und bewegt sich nicht. Körper eins hingegen ändert seine Richtung nach dem Aufprall in die entgegengesetzte Bewegungsrichtung.

Bei dem zweiten Fall ist die Masse beider Körper gleich groß und die Geschwindigkeit von Körper 2 v_2 ist null. Kommt es nun zu der elastischen Wechselwirkung, so ist v_1^N gleich 0 und die Geschwindigkeit von v_2^N entspricht der v_1. So hat das erste Objekt praktisch seine Geschwindigkeit an das zweite Objekt weitergegeben.

Bei dem letzten Fall für den elastischen Stoß sind wieder beide Massen gleich groß. Zwar sind die Geschwindigkeiten auch gleich groß, aber dafür entgegengesetzt.

v_1 = - v_2

Treffen die Körper nun mit diesen Eigenschaften aufeinander, so wechseln sie die Richtung ihrer Geschwindigkeiten.

v_1^N = - v_1

v_2^N = - v_2

Elastischer Stoß Aufgaben

Eine Billardkugel mit der Masse m_1 = 170g bewegt sich nach rechts und stößt elastisch mit einer Snooker Kugel zusammen. Die Snooker Kugel hat eine Masse m_2 = 130g und eine Geschwindigkeit von v_2 = 0,5\frac{m}{s}. Nach dem Stoß sind die Geschwindigkeiten v_1^N = 4\frac{m}{s} und v_2^N = 6\frac{m}{s}. Nun ist die Geschwindigkeit der Billardkugel vor dem elastischen Stoß gesucht.

Diese kann man sich mit dem Impulserhaltungssatz berechnet werden. Vor dem Stoß lautet dieser:

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0,17kg \cdot v_1 + 0,13kg \cdot 0,5\frac{m}{s}

Das wird der Impulserhaltung nach dem Stoß gleichgesetzt. Jener ist:

m_1 \cdot v_1^N + m_2 \cdot v_2^N = 0,17kg \cdot 4\frac{m}{s} + 0,13kg \cdot 6\frac{m}{s} = 1,46

Nun können die zwei Impulserhaltungen gleichgesetzt werden:

0,17kg \cdot v_1 + 0,13kg \cdot 0,5\frac{m}{s} = 1,46

v_1 = \frac{1,46 - 0,13kg \cdot 0,5\frac{m}{s}}{0,17kg} = 8,2\frac{m}{s}

Damit hatte die Billardkugel eine Geschwindigkeit von \mathbf{8,2\frac{m}{s}} vor dem elastischen Stoß.


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