Mechanik: Dynamik

Geschwindigkeit

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du die Geschwindigkeit berechnen kannst und definieren die Formel genau. Außerdem erklären wir dir das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm und berechnen die Durchschnittsgeschwindigkeiten in einem Beispiel.

Schau dir doch unser Video dazu an. Wir erklären dir das alles in unter 5 Minuten!

Geschwindigkeit Berechnung

Die Schnelligkeit und die Richtung, in welcher ein Körper seinen Ort abhängig der Zeit ändert, wird durch die Geschwindigkeit beschrieben. Es ergibt sich folgender Zusammenhang. Geschwindigkeit Formel: Geschwindigkeit \mathbf v ist gleich der zurückgelegte Weg \mathbf s in Abhängigkeit der Zeit, geteilt durch die Zeit \mathbf t.

v\ =\ \frac{s\left(t\right)-s_0}{t}

Dabei ist \mathbf{s(t)} der gesamt zurückgelegte Weg und \mathbf{s_0} der zurückgelegte Weg zum Startzeitpunkt.

Formel Geschwindigkeit

Um die Schnelligkeit zu berechnen, muss zunächst geklärt werden, um welche Art von Bewegung es sich handelt. Es kann dabei zwischen der gleichförmigen und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung eines Objektes unterschieden werden. Bei der gleichförmigen Variante ist der Körper immer gleich schnell. Das bedeutet wiederum, dass die Beschleunigung \mathbf a null ist. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegungsart hingegen ist \mathbf a von null verschieden. Allerdings bleibt die Variable der Beschleunigung konstant und verändert sich über einen längeren Zeitraum nicht. Die Geschwindigkeit \mathbf v nimmt so also gleichmäßig zu.

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Geschwindigkeit: Gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Für die mathematische Beschreibung des Ablaufs der Bewegung eines Massenpunktes wird in der Physik das Weg-Zeit-Gesetz verwendet. Dieses hilft auch bei der Bestimmung der Formel der Geschwindigkeit. Es lautet wie folgt:

s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0

Dabei ist s der Weg und s_0 der bereits am Anfang zurückgelegte Weg. Diese Variable hängt auch von der Wahl des Koordinatensystems ab. Die Variable v_0 beschreibt die Schnelligkeit des physikalischen Objekts am Anfang der Bewegung und t spiegelt die Zeit wider.

Um eine allgemeine Formel für die Geschwindigkeit zu erhalten, wird dieses Gesetz einmal nach der Zeit t abgeleitet. Das ergibt:

v(t) = a \cdot t + v_0

Zum Zeitpunkt t ergibt sich die Geschwindigkeit aus der Beschleunigung mal der Zeit plus die Schnelligkeit am Anfang v_0.

Für die Berechnung der gleichförmigen Bewegung fällt der erste Teil des Weg-Zeit-Gesetzes weg, da die Beschleunigung \mathbf a gleich \mathbf 0 ist. So ergibt sich:

s(t) = v \cdot t + s_0

Es kann hier nach v umgeformt werden und so entsteht die Formel der Geschwindigkeit für die gleichförmige Bewegungsart:

v = \frac{s(t) - s_0}{t}

Je nach Wahl des Ausgangspunktes oder des Koordinatensystems wird s_0 zu 0 und fällt somit aus den Berechnungen.

Mit folgender Merkhilfe kannst du dir den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit ganz einfach merken.

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Merkhilfe der Geschwindigkeit Formel

Je nachdem welche Variable du suchst, deckst du diese mit deinem Finger ab. Für die Rechenzeichen wird der horizontale Strich symbolisch für den Bruchstrich und der senkrechte für ein Produkt verwendet. So ergibt sich dann zum Beispiel s aus v mal t oder t ergibt sich als s geteilt durch v.

Weg-Zeit Diagramm

Bei einem Weg-Zeit-Diagramm wird der Weg gegen die Zeit aufgetragen. Der Weg s wird auf der y-Achse des Diagramms und die Zeit t auf der x-Achse eingezeichnet. Deshalb wird dieses Diagramm auch oft als s-t-Diagramm oder t-s-Diagramm bezeichnet. Ein Beispiel eines solchen findest du unterhalb.

Die Steigung des Graphen in diesem Diagramm gibt die Geschwindigkeit des Objekts wieder. Je steiler nun dieser ist, desto schneller ist der Körper.

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Weg-Zeit Diagramm und Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

In obigem Diagramm wird die Schnelligkeit für eine bestimmte Zeit verzeichnet. Deshalb wird diese Graphik auch oft als v-t-Diagramm oder t-v-Diagramm bezeichnet. Anhand des so entstehenden Graphen kann die Beschleunigung abgelesen werden. Diese ergibt sich aus der Steigung, des im Diagramm entstandenen Graphen. Die Fläche unterhalb des Graphen bis zur t-Achse gibt dabei den Wert an, den das Weg-Zeit Gesetz zu einer bestimmten Zeit t annimmt. Gegebenenfalls muss der bereits am Anfang schon zurückgelegte Weg s_0 zu der Formel hinzuaddiert werden.

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen

Im letzten Abschnitt berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der entsprechenden Formel. Dabei denken wir uns einen Ausflug mit dem Fahrrad. Wir fangen bei Kilometer 20 an zu messen, also ist das \mathbf s_0 gleich 20km. Insgesamt sind wir 29,3 Kilometer gefahren, weshalb \mathbf s gleich 29,3km ist. So berechnen wir die Schnelligkeit für einen zurückgelegten Weg von 9,3km. In dem Bild zu dem s-t-Diagramm und v-t-Diagramm sind genau diese Werte verzeichnet. Wenn wir jene nun in der Geschwindigkeits Formel durch die Dauer teilen, erhalten wird die durchschnittliche Schnelligkeit. Die für die Strecke benötigte Zeit ist 50 Minuten. So ergibt sich unsere Formel zu:

v = \frac{s - s_0}{t}

Setzen wir die Werte ein und rechnen die Einheiten um, bekommen wir:

v = \frac{s - s_0}{t} = \frac{9,3 km}{50 min} = \frac{9300 m}{3000 s} = 3,1 \frac {m}{s}

So erhalten wir eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 3,1 Meter pro Sekunde.


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