Mechanik: Dynamik

Der Impuls

Was genau ist der Impuls in der Mechanik? Das erklären wir diesem Beitrag!

Der Impuls in der Mechanik

Impuls, was ist das überhaupt? Darunter versteht man das Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner Geschwindigkeit. In einer Formel ausgedrückt sieht das so aus:

\vec{p}=m\ast\vec{v}

Die Einheit des Impulses ist kg mal m/s.
Nun betrachten wir die zeitliche Änderung des Impulses, also die Ableitung. So finden wir die auf die Masse wirkenden äußeren Kräfte. Das wird in der Dynamik Impulssatz genannt und ist definiert durch:

\frac{dP}{dt}=\frac{d(m\ast\vec{v})}{dt}=\vec{F}

Das Impulserhaltungsgesetz

So weit, so gut. Kommen wir nun zum Impulserhaltungssatz. Dieser stellt einen Sonderfall des Impulssatzes dar: Wenn keine Kraft auf die betrachtete Masse wirkt, ist die Ableitung des Impulses Null. Dementsprechend muss dann der Impuls konstant sein und bleibt, z.B. nach einem Stoß, erhalten. Dabei ist es egal ob wir einen Massenpunkt oder ein Massenpunktsystem betrachten. Wir stellen uns einen Körper als Massenpunktsystem vor, der aus unendlich vielen verbundenen Massenpunkten besteht. Dazu bilden wir die Summe über alle, an den einzelnen Massenpunkten angreifenden Kräften:

\sum_{i=1}^{n}F_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{d(m_i\vec{v_i})}{dt}=\sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{a_i}}

Der Impuls Erhaltungssatz
Der Impuls Erhaltungssatz

Du erinnerst dich vielleicht, dass die Summe aller Kräfte auch als resultierende Kraft R bezeichnet werden kann. Als nächstes stellen wir noch einmal die Formel für den Massenschwerpunkt r_S auf:

m\vec{r_S}=\sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{r_i}}

Den Term leiten wir jetzt ab und können durch den Impulssatz eine weitere Gleichung aufstellen:

\vec{R}=\sum_{i=1}^{n}F_i=\sum_{i=1}^{n}{m_i\vec{a_i}}=\sum_{i=1}^{n}{m_i\ddot{\vec{r_i}}}=m\ddot{\vec{r_S}}=m\vec{a_s}

Diese Formel wird auch Schwerpunktsatz genannt und hat eine wichtige Bedeutung: Ein Körper, egal wie groß er ist, bewegt sich wie ein Massenpunkt durch den Raum.

Drall und Drehimpuls

Nachdem wir jetzt den Impulssatz kennen, kommen wir zum Drall: Der Begriff ist dir vermutlich vom Fußball bekannt. Ein anderer Begriff für den Drall ist auch Drehimpuls. Doch wie berechnet man diesen? Im Prinzip bildet der Drall für den Impuls das, was bei den Kräften das Moment bildet. Es ergibt sich also die Definition des Dralls zu:

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

Drall und Drehimpuls
Drall und Drehimpuls

Betrachten wir hier jetzt wieder die Ableitung, erhalten wir, analog zum Impuls, das angreifende Moment:

\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}

Nun können wir darauf den Schwerpunktsatz anwenden, sodass wir eine einfache Gleichung für den Zusammenhang von M und L bekommen:

M_{0R}=\dot{L_S}

Das heißt: das resultierende Moment, das an unserem Körper angreift, ist die Ableitung des Dralls bezüglich des Schwerpunkts. In der Dynamik ist dieser Satz sehr zentral. Im Video „Drallsatz“ wird das Ganze noch einmal genauer unter die Lupe genommen.

Der zentrale gerade Stoß

Zum Ende betrachten wir noch den zentralen geraden Stoß: Hier haben wir keine äußere Kraft. Deshalb können wir den Impulserhaltungssatz anwenden. Wir schauen uns jetzt zwei Massen A und B an, die jeweils eine Geschwindigkeit, v_A und v_B, also einen Impuls, besitzen. Wir wollen nun wissen, welche Geschwindigkeit nach dem Stoß herrscht. Dafür wenden wir den Schwerpunktsatz an. Das heißt, dass der gesamte Impuls bezüglich des Schwerpunkts der gleiche ist. Damit ist v_S vor dem Stoß gleich v_S nach dem Stoß. Betrachten wir jetzt noch den gesamten Impuls im Inertialsystem vor und nach dem Stoß, dann erhalten wir:

v_S\left(m_A+m_B\right)=m_Av_A+m_Bv_B=m_Av_{A0}+m_Bv_{B0}

Der zentrale Stoße
Der zentrale Stoße

v_A_0 und v_B_0 sind dabei die Geschwindigkeiten vor dem Stoß. Wir können also die konstante Geschwindigkeit vS bestimmen. Um die beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß zu erhalten, wird eine empirische Stoßzahl Epsilon bestimmt:

\varepsilon=\frac{v_B-v_A}{v_{A0}-v_{B0}}

Dabei gilt: wenn Epsilon gleich 1 ist, ist der Stoß elastisch. Dann findet kein Energieverlust statt. Bei Epsilon gleich 0 ist der Stoß rein plastisch. Das bedeutet, dass wir einen Zusammenschluss der Massen haben. Epsilon selbst ist Materialabhängig und wird durch Versuche ermittelt.
Du siehst: Nach diesem Video ist die Theorie zum Impuls kein Problem mehr für dich. Aber probieren geht bekanntlich über Studieren – also mach doch gleich mit dem nächsten Video weiter. Bis dann!

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.