Mechanik: Dynamik

Impulserhaltungssatz

Inhaltsübersicht

Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze in der Physik. Er kann in der klassischen Mechanik, Quantenmechanik und der speziellen Relativitätstheorie angewandt werden. Wenn du genau wissen willst, was die Impulserhaltung ausmacht und wie sie angewandt wird, dann schau dir doch unser Video dazu an. Dort erklären wir dir das alles in kürzester Zeit!

Impuls Physik

Der Impuls ist definiert als:

\vec{p}\ =\ m\ \cdot\ \vec{v}

Dabei bezeichnet m die Masse und \vec{v} die Geschwindigkeit des beobachteten Objekts. Die Masse m ist eine skalare Größe. \vec{v} und \vec{p} sind Vektoren, die in dieselbe Richtung zeigen. Somit ist die Bewegungsrichtung gleich der Impulsrichtung. Je schwerer und schneller nun der beobachtete Körper ist, desto größer ist auch sein Impuls.

Wenn der Impuls eines Körpers verändert wird, so verändert sich die Geschwindigkeit von diesem mit. Die Veränderung des Impulses für eine bestimmte Zeit entspricht somit der Kraft \vec{F}.

\frac{d\vec{p}}{dt}\ =\ \vec{F}

Impuls Einheit

In diesem Kapitel wird die Einheit des Impulses hergeleitet. Dafür wird ein Körper definiert, der eine Masse von 1kg und eine Geschwindigkeit von 1\frac{m}{s} besitzt. Dies wird in die Formel des Impulses eingesetzt und ergibt:

\vec{p}\ =\ 1kg\ \cdot\ 1\frac{m}{s}\ =\ 1\frac{kg\ \cdot\ m}{s}

Das erinnert sehr stark an die Einheit der Kraft, welche als Newton [N] definiert ist.

N\ =\ \frac{kg\ \cdot\ m}{s^2}

So kann der obige Zusammenhang verändert werden, sodass sich die Einheit des Impulses ergibt:

\vec{p}\ =\ 1\ Ns

Impulserhaltung

Der Impulserhaltungssatz wird aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom abgeleitet. Wenn keine Kraft auf eine betrachtete Masse wirkt, so muss die Ableitung des Impulses null sein. Daraus folgt, dass der Impuls konstant sein muss. Anders formuliert ergibt sich der Impulserhaltungssatz: Die Änderung des Impulses in einem kräftemäßig abgeschlossenen System ist gleich null.

Dabei ist es egal, ob ein Massepunkt oder ein System von Massenpunkten betrachtet wird. Dieser Zusammenhang gilt immer. Als ein kräftemäßig abgeschlossenes System wird ein System bezeichnet, auf das keine Kraft von außen wirkt, die den Impuls verändern könnte.

Schwerpunktsatz

Die Tatsache, dass es keine Rolle spielt, ob ein Massepunkt oder ein Massepunktsystem betrachtet wird, beruht auf dem Schwerpunktsatz. Dieser besagt, dass sich der Massenschwerpunkt eines Systems genauso bewegt, als wären alle Massenpunkte in ihm vereinigt und alle äußeren Kräfte wirken nur auf ihn.

Impulserhaltungssatz Formel

Der Impulserhaltungssatz kann bei dem Zusammentreffen zweier Körper mit unterschiedlichen Massen 1 und 2 verdeutlicht werden. Es wirkt keine äußere Kraft. Damit handelt sich um ein kraftmäßig abgeschlossenes System. Prallen die zwei Objekte aufeinander, entsteht nach dem dritten Newtonschen Axiom eine Kraft von Körper 1 auf den zweiten \vec{F_1}  und von Körper 2 eine auf den ersten \vec{F_2}. Diese sind einander entgegengesetzt:

-\ \vec{F_1}\ =\ \vec{F_2}

Da die Kraft als Masse m mal die Beschleunigung a definiert ist, lässt sich schreiben:

-m_1\ \cdot\ a_1\ =\ m_2\ \cdot\ a_2

Die Beschleunigung ist eine Veränderung der Geschwindigkeit über einen Zeitraum t hinweg:

-m_1\ \cdot\ \frac{\Delta v_1}{\Delta t}\ =\ m_2\ \cdot\ \frac{\Delta v_2}{\Delta t}

Jetzt kann mit \Delta t multipliziert werden. Daraufhin werden noch die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten (v_1^A und v_2^A) eingeführt, um das Delta aufzulösen.

-m_1\ \cdot\ (v_1^E\ -\ v_1^A)\ =\ m_2\ \cdot\ (v_2^B\ -\ v_2^A)

Zum Schluss werden alle Variablen vor dem Stoß auf die linke und alle Variablen für nach dem Stoß auf die rechte Seite gebracht. Das ergibt:

m_1\cdot v_1^A\ +\ m_2\cdot v_2^A\ =\ m_1\cdot v_1^E\ +\ m_2\cdot v_2^E

Da \vec{p}\ =\ m\ \cdot\ v kann die Formel noch vereinfacht werden:

p_1^A\ +\ p_2^A\ = \ p_1^E\ + \ p_2^E

An der Gleichung kann festgestellt werden, dass der Impuls vor der Wechselwirkung der zwei Körper gleich dem Impuls nach der Wechselwirkung dieser ist. Das ist der Impulserhaltungssatz.

Zentraler gerader Stoß

Der zentrale gerade Stoß ist ein Fall, bei dem der Impulserhaltungssatz angewandt werden kann. Es stoßen zwei Körper 1 und 2 gerade aufeinander. Dabei handelt es sich um ein gegen Kräfte abgeschlossenes System. Die Impulserhaltung lässt sich dann wie im vorigen Kapitel herleiten und bestimmen.

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Der zentrale Stoß

Des Weiteren kann von jedem Stoß die Stoßzahl \mathbf{\varepsilon} bestimmt werden. Die Kennzahl wird auch Restitutionskoeffizient genannt. Die Formel setzt sich aus den jeweiligen Geschwindigkeiten vor und nach der Wechselwirkung durch den Zusammenstoß der Körper zusammen.

\varepsilon\ =\ \frac{v_2^E\ -\ v_1^E}{v_1^A\ -\ v_2^A}

Dabei gilt, dass Stöße, die durch ein \varepsilon\ =\ 1 gekennzeichnet sind, elastisch verlaufen. Bei einem Restitutionskoeffizient von 0 hingegen ist der Zusammenstoß rein plastisch oder auch unelastisch. Der Koeffizient selbst ist dabei materialabhängig und wird durch Versuche empirisch ermittelt.

Drehimpuls

Der Impuls und der Impulserhaltungssatz können beide auch auf Rotationsbewegungen angewandt werden. Ein System hat beispielsweise einen Drehimpuls, wenn es sich um einen Schwerpunkt dreht. Der Drehimpuls ist durch folgendes Vektorprodukt definiert:

\vec{L}\ =\ \vec{r}\ \times\ \vec{p}

Der Ortsvektor ist dabei \vec{r} und \vec{p} ist der Impuls des beobachteten Körpers.

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Der Drehimpuls

Wird der Drehimpuls nach der Zeit abgeleitet, ergibt sich das Drehmoment M, was auch so im Drallsatz festgehalten ist:

\frac{d\vec{L}}{dt}\ =\ \vec{M}


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