Analysis Schüler
Ableitung von Funktionen
 – Video

%@<strong>Vorkorrekturen</strong>: Die letzten beiden Absätze mit den Tabellen müssen nicht Korrektur gelesen werden :)In diesem Artikel erfährst du, wie du die Wurzel ableiten kannst. Dabei gehen wir auf die Kettenregel ein und zeigen dir viele Beispiele, in denen wir Wurzeln ableiten. Wenn du in kürzester Zeit alles Wichtige zum Ableiten von Wurzel x erfahren möchtest, schau dir unser Video an.

Wurzel ableiten einfach erklärt

Die Ableitung von Wurzel x kannst du dir ganz einfach merken:

Wurzel ableiten

    \[f(x) = \sqrt{\textcolor{blue}{x}} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\textcolor{blue}{x}}}\]

Etwas schwieriger wird es, wenn unter der Wurzel nicht nur ein x steht, sondern eine andere Funktion. Dann brauchst du zum Ableiten die Kettenregel .

Schau dir dazu das Beispiel f(x) = \sqrt{\textcolor{blue}{2x}} an. Die Funktion unter der Wurzel ist hier 2x. Die Ableitung davon ergibt 2. Deshalb ist die gesamte Ableitung der Wurzel:

    \[f(x) = \sqrt{\textcolor{blue}{2x}} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\textcolor{blue}{2x}}} \cdot \textcolor{red}{2}\]

Allgemein kannst du dir merken:

    \[f(x) = \sqrt{\textcolor{blue}{\text{Funktion}}} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\textcolor{blue}{\text{Funktion}}}} \cdot \textcolor{red}{\text{Ableitung der Funktion}}\]

Beispiel 1 — Kettenregel

Schau dir gleich noch weitere Beispiele an, wie du bei komplizierteren Wurzelfunktionen die Ableitung bestimmen kannst. Du brauchst dafür immer die Kettenregel.

Bestimme die Ableitung der Funktion

    \[f(x)=\sqrt{\textcolor{blue}{2x^2+1}}\]

Dafür gehst du so vor: 

  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung der Funktion in der Wurzel . Dafür verwendest du die Potenzregel . Die Funktion in der Wurzel nennst du dafür g(x).

        \[g(x) = \textcolor{blue}{2x^2+1} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad g'(x) = \textcolor{red}{4x}\]

  • Schritt 2: Berechne die gesamte Ableitung der Wurzel.

        \[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\textcolor{blue}{g(x)}}}\cdot \textcolor{red}{g'(x)}=\frac{1}{2\sqrt{\textcolor{blue}{2x^2+1}}}\cdot \textcolor{red}{4x}\]

Beispiel 2 — Dritte Wurzel

Schau dir noch ein weiteres Beispiel für die Ableitung einer Wurzel an:

    \[f(x)=\sqrt[3]{6x-2}\]

Du siehst, dass es hier nicht mehr um eine Quadratwurzel geht, sondern um die 3. Wurzel. Um die ableiten zu können, musst du sie als Erstes umschreiben:

    \[f(x)=\sqrt[\textcolor{teal}{3}]{6x-2} = \left(6x-2\right)^{\frac{1}{\textcolor{teal}{3}}}\]

Jetzt betrachtest du für die Kettenregel:

  • wie gewohnt g(x) = 6x – 2
  • die äußere Funktion h(y) = \sqrt[\textcolor{teal}{3}]{y} = y^{\frac{1}{\textcolor{teal}{3}}. Anstatt 6x -2 schreibst du also einfach erstmal ein y in die Wurzel. 

Dann gehst du so vor:

3. Wurzeln ableiten
  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung von g(x): g'(x) = 6
  • Schritt 2: Bestimme die Ableitung von h(y). Das kannst du wie gewohnt mit der Potenzregel machen:

        \[h'(y) = \frac{1}{\textcolor{teal}{3}} \cdot y^{\frac{1}{\textcolor{teal}{3}}-1} = \frac{1}{\textcolor{teal}{3}} \cdot y^{-\frac{2}{3}}\]

  • Schritt 3: Setze g und h mit der Kettenregel zusammen.

        \[f'(x) = h'(\textcolor{blue}{g(x)}) \cdot \textcolor{red}{g'(x)} =  \frac{1}{\textcolor{teal}{3}} \cdot (\textcolor{blue}{6x-2})^{-\frac{2}{3}} \cdot \textcolor{red}{6}\]

Schon gewusst? Du kannst \sqrt[3]{y}, \sqrt[4]{y}, \sqrt[5]{y}, … auch mit einer Formel ableiten. Allgemein gilt für die n-te Wurzel:

    \[\sqrt[n]{y}=\frac{1}{n} \cdot y^{\frac{1-n}{n}} = \frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{y^{1-n}}}\]

Ableitung Wurzel

Bisher haben wir beim Wurzel Ableiten neben der Kettenregel nur die Potenz- und die Faktorregel  angewandt. Bei den folgenden Beispielen musst du, um die Funktion mit der Wurzel ableiten zu können, noch weitere Ableitungsregeln anwenden.

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls kennen und anwenden können.

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