Quotientenregel

Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du einen Bruch ableiten kannst, bist du hier genau richtig. %Schaue dir auch unser passendes Video an!

Inhaltsübersicht

Bruch ableiten einfach erklärt
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Quotientenregel Beispiel
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Quotientenregel Herleitung
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Weiter Ableitungsregeln
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Bruch ableiten einfach erklärt

Es gibt für verschiedene Arten von Funktionen verschiedene Ableitungsregeln. Wenn du einen Bruch ableiten musst und sowohl über als auch unter dem Bruchstrich ein x steht, dann brauchst du die Quotientenregel.

Du benutzt die Ableitungsregel also, wenn du eine Funktion f(x) hast, die im Zähler g(x) und im Nenner h(x) ein x enthält. Um dir Schreibarbeit zu sparen, kannst du hier auch die Klammern weglassen.

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad\hat{=}\quad f = \frac{g}{h}$

Quotientenregel Formel

Wenn du eine Funktion f ableiten möchtest, die im Nenner h und im Zähler g von x abhängen, brauchst du die Quotientenregel Formel:

$f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2}$

Quotientenregel Beispiel

Mathe verstehst du am besten mit einem Beispiel: Schaue dir die Funktion

$f(x) = \frac{x^5 + 1}{x^2}$

an. Wenn du diesen Bruch ableiten willst, brauchst du die Quotientenregel, weil sowohl im Zähler x^5 + 1 als auch im Nenner x^2 ein x steht.

1. Schritt: Teilfunktionen g und h ableiten

Leite zuerst den Nenner und Zähler getrennt voneinander ab. Dafür schreibst du sie dir als eigene Funktionen auf und nennst den Zähler g. Der Nenner heißt ab jetzt h.

$\textcolor{red}{g = x^5 +1} \qquad \textcolor{blue}{h = x^2}$

Leite beide Seiten mit der Potenzregel ab. Falls du die nicht mehr ganz im Kopf hast, kannst du hier spicken.

$\textcolor{orange}{g' = 5x^4} \qquad \textcolor{teal}{h' = 2x}$

2. Schritt: Zwischenergebnis in die Formel einsetzen

Als nächstes musst du die Teilfunktionen und ihre Ableitungen in die Quotientenregel-Formel einsetzen, um den Bruch ableiten zu können. Ganz wichtig: Klammern nicht vergessen! % Denk an die Klammern!<span style="color: #008000;"> DONE</span>

$\begin{align*} f' &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\ f' &= \frac{\textcolor{blue}{x^2}\cdot \textcolor{orange}{5x^4} - \textcolor{teal}{2x} \cdot (\textcolor{red}{x^5 +1})}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \end{align*}$

3. Schritt: Terme vereinfachen

Anschließend kannst du den Bruch noch etwas vereinfachen. Falls du dabei noch etwas Übung brauchst, haben wir für dich ein Video über das Vereinfachen von Termen vorbereitet. Hier musst du zuerst die Klammer ausmultiplizieren und die Potenzen im Nenner multiplizieren.

$f' = \frac{x^2\cdot 5x^4 - \textcolor{olive}{2x \cdot (x^5 +1)}}{\textcolor{olive}{(x^2)^2}} = \frac{ x^2\cdot5x^4 - \textcolor{olive}{2x^6 + 2x} }{\textcolor{olive}{x^4}}$

Als nächstes kannst du multiplizieren und subtrahieren. Zuletzt kannst du den Bruch mit x kürzen.

$f' = \frac{ \textcolor{olive}{x^2\cdot5x^4 - 2x^6} + 2x }{x^4} = \frac{ \textcolor{olive}{5x^6 - 2x^6} + 2x }{x^4} = \frac{ \textcolor{olive}{3x^6} + 2x }{x^4} = \frac{ 3x^5 + 2 }{x^3}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{x^5 + 1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = \frac{ 3x^5 + 2 }{x^3}$

Brüche ableiten ist gar nicht so schwer, oder? Wie wäre es mit einem zweiten Beispiel?

Übung Quotientenregel

$f(x) = \frac{e^x}{x}$

1. Schritt: Leite Nenner und Zähler ab.

$\begin{align*} \textcolor{red}{g} = e^x &\Longrightarrow \textcolor{orange }{g'} = e^x\\ \textcolor{blue}{h} = x &\Longrightarrow \textcolor{teal}{h'} = 1 \end{align*}$

2. Schritt: Setze in die Quotientenregel ein.

$\begin{align*} f'(x) &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\ f'(x) &= \frac{\textcolor{blue}{x}\cdot \textcolor{orange}{e^x} - \textcolor{teal}{1} \cdot \textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ \end{align*}$

3. Schritt: Vereinfache die Terme, indem du ausklammerst.

$f'(x) = \frac{(x-1)\cdot e^x }{x^2}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{e^x}{x} \quad\Longrightarrwo\quad f'(x) &= \frac{(x-1)\cdot e^x }{x^2}$

Das wird doch mit jedem Beispiel einfacher, oder? Jetzt bist du für alle Aufgaben gewappnet!

Quotientenregel Herleitung

Die Quotientenregel ist nur eine Abkürzung für die Produkt- und Kehrwertregel. Aber wie kommst du von den anderen Ableitungsregeln zur Quotientenregel? Angenommen, du willst einen Bruch ableiten:

$f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}}$

Dann kannst du ihn auch als Produkt schreiben und mit der Produktregel ableiten.

$f' = (\textcolor{red}{g} \cdot \textcolor{blue}{h^{-1}})' = \textcolor{red}{g} \cdot \textcolor{teal}{(h^{-1})'} + \textcolor{orange}{g'}\cdot \textcolor{blue}{h^{-1}}$

Die Kehrwertregel sagt dir, dass $\textcolor{teal}{(h^{-1})'} = \frac{-\textcolor{teal}{h'}}{\textcolor{blue}{h}^2}$ ist.

$f' = \textcolor{red}{g} \cdot \frac{-\textcolor{teal}{h'}}{\textcolor{blue}{h}^2} + \textcolor{orange}{g'}\cdot \textcolor{blue}{h^{-1}} = \frac{-\textcolor{red}{g}\cdot \textcolor{teal}{h'}}{\textcolor{blue}{h}^2} + \frac{\textcolor{orange}{g'}}{\textcolor{blue}{h}}$

Wenn du den rechten Bruch mit h erweiterst, kannst du die ganze Formel in einen Bruch schreiben und hast damit den Beweis für die Quotientenregel-Formel.

$f' = \frac{-\textcolor{red}{g}\cdot \textcolor{teal}{h'}}{\textcolor{blue}{h}^2} + \frac{\textcolor{orange}{g'} \cdot \textcolor{blue}{h}}{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{blue}{h}} = \frac{ \textcolor{orange}{g'}\textcolor{blue}{h} - \textcolor{red}{g}\textcolor{teal}{h'} }{\textcolor{blue}{h}^2}$

Weiter Ableitungsregeln

Die Quotientenregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Damit du alle Funktionen ableiten kannst, musst du auch alle anderen Regeln kennen. Schaue dir gleich noch unsere Videos zu den anderen Ableitungsregeln an!

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Produktregel	$f(x)=g(x) \cdot h(x)$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Summenregel
Differenzregel
Kettenregel		$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$
Potenzregel		$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$