Quotientenregel
Wann lässt sich die Quotientenregel für eine Funktion mit einem Bruch anwenden und wie kannst du diese herleiten? In diesem Artikel geben wir die Antworten auf diese Fragen mit einem anschaulichen Beispiel.
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Quotientenregel einfach erklärt
Die Quotientenregel ist eine nützliche Methode der Differentialrechnung. Durch sie kannst du die Ableitungen von Funktionen mit Brüchen berechnen.
Wichtig ist, dass für das Anwenden dieser Regel einerseits im Zähler, andererseits auch im Nenner eine Funktion vorkommen muss, die eine Variable beinhaltet, hier
und
Merksatz
Um dir die Quotientenregel schneller zu merken, hilft dir sicher der folgende Satz weiter:
NAZ minus ZAN durch N Quadrat.
Zur Erklärung: NAZ bedeutet „Nenner mal Ableitung Zähler
.“ Dementsprechend bedeutet ZAN: „Zähler
mal Ableitung Nenner
.“
N Quadrat entspricht einfach nur einem quadrierten Nenner .
Meistens kannst du das Ergebnis der Quotientenregel noch durch Ausklammern oder Zusammenfassen weiter vereinfachen.
Quotientenregel Aufgaben
Soviel zur Theorie, betrachten wir nun ein Beispiel:
Diese Funktion kannst du einfach mit der Quotientenregel ableiten. Zuerst musst du die Ableitungen der beiden Teilfunktionen und
bilden. In diesem Fall sind
und
Potenzfunktionen. Um die Ableitung einer Funktion mit einer Potenz zu bilden, musst du die sogenannte Potenzregel
anwenden.
Sie liefert dir für die Ableitung des Zählers
und für die Ableitung des Nenners
Nun kannst du diese Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel einsetzen. Damit erhältst du:
Diesen Bruch kannst du noch folgendermaßen vereinfachen:
Damit hast du auch schon die Ableitung berechnet.
In diesem Beispiel hättest du die Quotientenregel auch umgehen können, indem du vor dem Ableiten zusammenfasst.
Quotientenregel Herleitung
Im Folgenden wollen wir mithilfe der Produktregel und der Kehrwertregel die Quotientenregel herleiten.
Dazu betrachten wir die allgemeine Funktion:
Diese kannst du auch umschreiben zu:
Die Ableitung dieser Funktion kannst du mit der Produktregel aufstellen:
Um die Ableitung des Kehrwerts zu berechnen, hilft dir die sogenannte Kehrwertregel:
Wendest du diese Regel an, bekommst du:
Nun bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, indem du den linken um erweiterst:
Das Ergebnis ist die Formel der Quotientenregel.
Weitere Ableitungsregeln
Die Quotientenregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Produktregel | ![]() |
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Summenregel | ![]() |
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Differenzregel | ![]() |
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Kettenregel | ![]() |
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Potenzregel | ![]() |
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Faktorregel | ![]() |
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