Kettenregel
Dieser Artikel erklärt dir, was die Kettenregel ist und wie du sie anwendest. Dafür zeigen wir dir mehrere Beispiele für die Ableitung verketteter Funktionen.
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Kettenregel einfach erklärt
Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung einer verketteten Funktion berechnen.
Dabei ist die äußere und
die innere Funktion. Aus diesem Grund nennt man
-
äußere Ableitung
-
innere Ableitung.
Als Merksatz für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion solltest du dir deshalb „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ gut einprägen.
Das Multiplizieren mit der inneren Ableitung wird auch Nachdifferenzieren genannt.
Verkettete Funktionen
Die Regel zum Ableiten verketteter Funktionen ist an sich nicht besonders kompliziert. Die Schwierigkeit besteht darin die innere und äußere Funktion zu erkennen.
Sieh dir beispielsweise die folgende Funktion an:
Hier sind zwei Funktionen ineinander verschachtelt. Die innere Funktion steht in der Klammer, während du die äußere Funktion
erhältst, indem du die gesamte Klammer durch
ersetzt. In diesem Beispiel gilt also:
-
innere Funktion:
-
äußere Funktion:
Klammern sind hierbei sehr wichtig! Sie dienen als eine Art Platzhalter und signalisieren dir damit, dass Funktionen ineinander gesetzt (verkettet) wurden.
Kettenregel Beispiel
Im Folgenden zeigen wir dir, wie du die Kettenregel anwendest.
Beispiel 1
Möchtest du nun die Ableitung der Funktion
berechnen, musst du zunächst die innere und äußere Ableitung
und
bestimmen. In diesem Fall wäre das
und
Dabei wurden die Potenzregel und die Faktorregel angewandt.
Jetzt setzt du die Ableitungen und
, sowie die Funktion
in die Formel für die Kettenregel von oben ein. Dafür musst du das
in
durch die Funktion
austauschen und erhältst:
Vergiss hier auf keinen Fall die Klammer! Diese musst du immer dann setzen, wenn Ausdrücke ersetzt (substituiert) werden.
Fasst du dein Ergebnis noch weiter zusammen, indem du die Klammer auflöst, liefert dir das die Ableitung:
Für dieses Beispiel mit hättest du die Kettenregel umgehen können, indem du entweder die Produktregel
anwendest oder
mithilfe der binomischen Formel umschreibst.
Angenommen du tust letzteres, dann erhältst du
Die Ableitung kannst du mittels der Potenz- und Faktorregel
recht schnell bestimmen:
Wie du siehst bekommst du dasselbe Ergebnis wie beim Anwenden der Kettenregel.
Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an.
Beispiel 2
Zunächst bestimmst du wieder innere und äußere Funktion, sowie deren Ableitungen:
- innere Funktion/ innere Ableitung:
- äußere Funktion/ äußere Ableitung:
Nun setzt du erneut die Ableitungen und
, sowie
in die Formel der Kettenregel ein und erhältst:
Auch hier hättest du durch Ausmultiplizieren von die Kettenregel meiden können.
Weitere Anwendungsbeispiele der Kettenregel
Allerdings gibt es auch einige Funktionen, bei denen du gezwungen bist die Kettenregel zu verwenden. Sieh dir deshalb für noch mehr Beispiele dieser Art die folgenden Artikel an:
Weitere Ableitungsregeln
Neben der Kettenregel Ableitung gibt es noch weitere Ableitungsregeln mit denen du Ableitungen bestimmen kannst:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel | ![]() |
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Differenzregel | ![]() |
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Produktregel | ![]() |
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Quotientenregel | ![]() |
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Faktorregel | ![]() |
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Potenzregel | ![]() |
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Kettenregel | ![]() |
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